Рабочая тетрадь по математике: «Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
« Средняя общеобразовательная школа № 1»
Рабочая тетрадь по математике:
«Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения» Автор: Алишина Ирина Васильевна,
учитель математики.
2015 г.
Содержание
1. Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения……………………………………………………………………………… 4
1.1. Понятие логарифма………………………………………………………………
1.2. Самостоятельная работа 1………………………………………………………..
1.3. Свойства логарифмов………………………………….…………………………
1.4. Самостоятельная работа 2……………………………………………………….
1.5. Задания для самоконтроля…………………………………………………….…
1.6. Логарифмическая функция………………………………………………………
1.7. Самостоятельная работа 3………………………………………………………..
1. 8. Логарифмические уравнения……………………………………………………
1.9. Самостоятельная работа 4………………………………………………………..
1.10. Самостоятельная работа 5………………………………………………………
1.11. Логарифмические неравенства…………………………………………………
1.12. Самостоятельная работа 6………………………………………………………
1.13. Контрольная работа…………………………………………………………….. 5
8
9
11
12
13
14
16
19
21
22
26
27
1. Рабочая тетрадь по математике
Тема: «Логарифмы и их свойства.
Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения».
Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством учителя) изучение обучающимися темы «Логарифмическая функция» в полном объёме. Структура рабочей тетради соответствует разделам учебника Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов, а уровень заданий - требованиям, предъявляемым Государственным стандартам полного сребнего образования по предмету «Математика». Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие логарифма», «Логарифмы и их свойства», «Логарифмическая функция, ее свойства и график», «Решение логарифмических уравнений», «Решение логарифмических неравенств». В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.
Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний учащихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.
4
1.1. Понятие логарифма
Решим уравнение аx= b, где a> 0, a ≠ 1.
Данное уравнение имеет единственное решение при b> 0: x = logab.
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
аlogb= b
таким образом, получим основное логарифмическое тождество
Пример 1. Вычислить 3
Решение: 3=5
Пример 2. Вычислить 7
Решение: 7=(7)=3=
Задание 1
Вычислить:
1) 2 ________________________________________________
2) 5 ________________________________________________
3) 3 ________________________________________________
4) ________________________________________________
Пример 3. Вычислить log2 32
Решение: log2 32 = 5 , т.к. 25 = 32
Пример 4. Вычислить log3
Решение: log3 = -2, т.к. 3-2 =
Пример 5. Вычислить log5 =, т.к. 125 = = 5
Задание 2
1) log216 ________________________________________________
2) log327 ________________________________________________
3) log5 625 _______________________________________________________
4) log64 ________________________________________________
5) log_________________________________________________________________
6) log_________________________________________________________________
7) log4 4 __________________________________________________
8) log8 1 __________________________________________________
Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lgb.
Пример 6. Вычислить lg 10
Решение lg 10 = 1, т.к. 101 = 10
Пример 7. Вычислить lg 0,01
Решение lg 0,01 = -2, т.к. 10-2 = =0,01
Задание 3
Вычислить:
1) lg 100 ____________________________________________________
2) lg 1000 ____________________________________________________
3) lg 0,1 ____________________________________________________
4) lg 0,001 ____________________________________________________
5) 10 ____________________________________________________
6) 10 ____________________________________________________
Пример 8. Решить уравнение log3 (1-x) = 2.
Решение:
По определению логарифма 32 = 1- х,5
1- х = 9,
-х = 8,
Откуда: х = -8
Пример 9. Решить уравнение logx8 = 3
Решение:
По определению логарифма х3 = 8,
х = , х =2
Задание 4
Решить уравнение:
1) log6 x = 3,
х=6?,
х=___.
ответ: ______
2) log2(5- x) = 3
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
3) log3(x+2) = 3
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
4) logx 27 = 3
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
5) logx = -1
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Пример 10. При каких значениях х существует log5 .
Решение:
Так как основание логарифма 5 > 0 и 5 ≠ 1, то данный логарифм существует только тогда, когда > 0.
Решая это неравенство методом интервалов: найдём корни числителя и знаменателя: х=1, х =2;
х

2
1

Ответ: (1;2)
Задание 5
Выяснить, при каких значениях х существует логарифм:
log(4-х);
4-х >0,
-х >_____
х
х <_____
Ответ:
1) log8.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________6
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
2) lg (49 – x2)
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
*3) logx(2x – 1)
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
7
1.2. Самостоятельная работа 1
1. Вычисли логарифмы и впиши буквы в соответствующие клеточки таблицы.
log25 Ф
lg 100 Г
log6 И
log7 А
lоg1255 К
log Р
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2 - -2
2) Решить уравнение: log4 (0,5 +х) =1
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3) При каких значениях х существует логарифм log0,7(5-х)
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
8
1.3. Свойства логарифмов
При работе с логарифмами применяются следующие их свойства:
1. log a 1 = 0
2. log a a = 1
3. log a (xy) = log a x + log a y
4. log a = log a x - log a y
5. log a x =p log a x
6. log a = log a x
7. log a =
8. log a x =
Пример 1. Вычислить log6 18 + log6 2
Решение: По 3 свойству log6 18 + log6 2 = log6 (18 ·2) = log6 36 = 2
Пример 2. Вычислить log12 48 - log12 4
Решение: По 4 свойству log12 48 - log12 4 = log12 () = log12 12 =1
Пример 3. Вычислить log 3
Решение: По 5 свойству log 3 =log 3 3= log 3 3 = · 1 =
Задание 1
Вычислить:
1) log12 2 + log12 72
_________________________________________________________________
2) log3 6 + log3
_________________________________________________________________
3) lg2 + lg5
_________________________________________________________________
4) log5 75 - log 5 3
_________________________________________________________________
5) log2 15 - log 5
_________________________________________________________________
6) log8 - log 8 32
_________________________________________________________________
7) log 13
_________________________________________________________________
8) log 11
_________________________________________________________________
Пример4.Вычислить: log5 - log5 12 + log5 50
Решение: log 5 - log 5 12 + log 5 50 = log 5 - log 5 12 + log 5 50 =

= log5 = log5 = log5 25 = 2.
Пример 5. Вычислить:
9
Решение: По 8 и 7 свойству = log8 = log2= .
Пример 6. Вычислить logax , если logа b = 3, logа с = -2 и х = ab
Решение: По 3 и 5 свойству log a x = log a (ab) = log a+ log a b+log a= 3 log a +2 log b + log c = 3 + 2· 3 + · (-2) = 8.
Задание 2
Вычислить:
1) log8 12 - log8 15 + log8 20
_______________________________________________________________
2) log7 36 - log7 14 - 3 log7
_______________________________________________________________
3)
_______________________________________________________________
4)
_______________________________________________________________
5) Вычислить logax , если logа b = 5, logа с = 4 и х = abс
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
10
1.4. Самостоятельная работа 2
1)Вычислить:
а) log9 15 + log9 18 - log9 10
_______________________________________________________________
б) 2log6 - log400 + 3log
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
2) Решить уравнение:
log3(x - 5) = 2
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
3)При каких х существует логарифм
log0,5(4х+35)
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
*4)Вычислить 36+10- 8
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
11
1.5. Задания для самоконтроля
Вычисление логарифмов
1 вариант 1 2 3 4 5
1. Вычислить:
log555 0 -1 1 25
2. Вычислить:
log510 1 5 -5 -1
3. Вычислить:
log156254 -4 -3 -5 25
4. Вычислить:
log5125-3 5 25 -5 3
5. Вычислить:
36log656 5 25 -2 -5
1 вариант 1 2 3 4
Вычислить :
log216-log864у
1 2
К м
3 т
4
Вычислить:
log124+log3133к
1 у
0,5 -3,5
Р и
3
Вычислить:
log3log28-8log82-1
Ю о
1 р
0 м
2
Определить х, если:
log4х=-31
л о
34с
-4 3164к
Вычисления с использованием основных свойств логарифма.
1 вариант 1 2 3 4
1.Определить log572, если известно, что log52=а, log53=в.у
3а+2в К
2а+3в м
а-в т
а+в
2. Вычислить:
log915+log918-2∙log910к
0,5 у
-0,5 л
1 р
1,5
3.Вычислить:
log224-12∙log272log318-13∙log372Ю
14ё
12о
98м
434.Вычислить:
(log715+log74-log76)∙lg7Л
2 к
1 с
0,5т
-1
12
1.6. Логарифмическая функция
В математике и её приложениях часто встречается функция у = logах , где а – заданное число, а>0, а≠1.2539365191135Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.
Множествозначений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x>0, если а>, и убывающей, если 0<а<1.Если а>1 , то функция у = logах принимает положительные значения при х>1, отрицательные при 0 <х<1. Если 0<а<1, то функция у = logах принимает положительные значения при 0<х<1, отрицательные при х>1.Отметим, что график любой логарифмической функции у = logах проходит через точку (1;0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Теорема: Если logах=logау , где а > 0, а ≠ 1, х > 0, у > 0 то х = у.
Применение свойств функции при решении задач.
Свойство монотонности ( возрастания, убывания ) функции часто применяются при решении заданий сравнения чисел, например:
Сравните числа: log365 и log356Решение: функция У=log3Х обладает свойством ВОЗРАСТАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 65>56 , значит, и сами логарифмы этих чисел получат при сравнении тот же знак: log365>log356.
Приведём ещё пример:
Сравните числа: log139 и log1317Решение: функция У=log13Х обладает свойством УБЫВАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 17>9 , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении противоположный знак: log139<log1317.Итак, ВЫВОД: при сравнении логарифмов с основанием, большим 1, ставим знак тот же, что и при сравнении выражений наших логарифмов,
а при сравнении логарифмов, основания которых больше 0 , но меньше 1, знак сравнения выражений логарифмов меняем на противоположный.
А теперь попробуйте сами:
Сравните числа: log1281 и log1293Решение: функция У=log12Х обладает свойством ________________________, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 81_____93 , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении _____________________знак: log1281____log1293. 13
1.7. Самостоятельнаяработа 3
Сравните числа: log13e и log13π__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Сравните числа: log337 и log358__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Сравните числа :lg 2,7 и lg 3,5
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Из предложенных графиков функций укажите график логарифмической функции:

Верный ответ под цифрой: _____________________________________________________________________________
С помощью графиков выясните, сколько решений имеет уравнение:
log2х=2х+1_____________________________________________________________________________
Выясните, является ли функция возрастающей или убывающей функция:
У= log0,075х - эта функция является убывающей, поскольку её основание есть число меньше 1 (0,075<1)
У = log32х- эта функция является ____________, поскольку её основание есть число ________1 (3 2 __1) У = lgх ________________________________________________________________
У = lnх ________________________________________________________________
Выясните, является ли положительным или отрицательным число:
log34,5>0Объяснение очень просто: число 3 и число 4,5 находятся по одну сторону от 1
(3>1 и 4,5>1)
log30,45<0Объясните самостоятельно: _______________________________________________ 14
log525,3________0log0,59,6______0
Пока мы не умеем решать так называемые «Логарифмические уравнения» , поскольку не знаем способов решения, но мы знаем уже достаточно много, чтобы попробовать решить самые простые уравнения, приведём примеры:
Решить уравнение :
log5(3х-2)=log57Используя теорему о равенстве логарифмов, получаем:
3х-2=7,
3х=9,
х=3.
Ответ: 3.
log35х-1=2, такие уравнения рассматривались нами в разделе «Логарифмы. Основные понятия»
Решаем с помощью определения логарифма:
5х-1 =32,
5х-1 = 9,
5х = 10,
х = 2.
Ответ: 2.
log42х-3=1,_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log53х+1=2,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log7х+3=2,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log3(5х+3)=log58,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Найдите область определения функции:
У= log4(х-1), по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:
х-1>0, х>1. Ответ: (1;+∞).
У= log0,31+х,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
У= log2 (4-х2),
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
У= lg3-2х,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Установите, истинны ли следующие утверждения:
Если log2х=-log2у,
то х = -у._____________________________________________________________________
1>log138.______________________________________________________________
15
1. 8. Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида logaf(x)=logag(x),(1)
где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение logaf(x)=logag(x)
(гдеа >0, a ≠1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению
f(x) = g(x) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение f(x) = g(x), а затем проверяют его корни по условиям f(x) >0, g(x) >0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x)=g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(x) =g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).
Пример 1. Решить уравнение: log3x2-3x-5=log37-2x.
Решение:
1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем:
x2-3x-5=7-2x;
x2-x-12=0;
x1=4, x2=-3.
2) Проверим найденные корни по условиям: x2-3x-5>07-2x>0Значение x=4 не удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно заметить, что x=4 не удовлетворяет второму неравенству системы), т.е. x=4 — посторонний корень для заданного уравнения. Значение х =-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х =-3 — корень заданного уравнения.
Ответ: х = -3.
Пример 2. Решить уравнение:log2x+4+log22x+3=log21-2x.
Решение:
1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1). Для этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение log2x+4+log22x+3 выражением log2x+42x+3. Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:log2x+42x+3=log21-2x.2) Потенцируя, получаем:
x+42x+3 =1-2x;
2x2+8x+3x+12 =1-2x;
2x2+13x+11=0,
x1=-1, x2=-5,5.3) Проверим найденные корни по условиям: x+4>0,2x+3>0,1-2x>0.(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению). Значение x=-1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение x=-5,5 не удовлетворяет (это посторонний корень).
Ответ: x=-1.Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств — в примере 2 решением системы неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это — область допустимых значений переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни х1=-1, х2=-5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений. В примере 2 значение х = -1 принадлежит интервалу (-1,5, 0,5), а значение x=-5,5 этому интервалу не принадлежит. Следовательно, x=-5,5 — посторонний корень, т.е. x=-1— единственный корень заданного логарифмического уравнения. 16
Подведем некоторые итоги.
Можно выделить три основных метода решения логарифмических уравнений:
1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.
2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.
3)Метод введения новой переменной.
Пример 3. Решить уравнение log22x-5log2x+6=0.Решение: Введём новую переменную log2x=y, тогда уравнение приобретает вид :
y2-5y+6=0,D=-52-4∙1∙6=1,
y1=5-12=2, y2=5+12=3,Если y=2, то log2x=2, отсюда следует, что x=22, x=4.Если y=3, то log2x=3, отсюда следует, что x=23, x=8.Ответ: 4;8.
Рассмотрим ещё один из способов решения логарифмических уравнений:
Пример 4. Решить уравнение x1-log5x=0,04.Решение: Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это — равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим: log5x1-log5x=log50,04.Учтем, что log5xr=rlog5x и что log50,04=log5125=log55-2=-2.Этопозволит переписать заданное уравнение в виде: 1-log5x∙log5x=-2.Замечаем, что «проявилась» новая переменная y=log5x, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид: 1-y∙y=-2.Далее получаем: y2-y-2=0,y1=2, y2-1.Ноy=log5x, значит, нам осталось решить два уравнения:log5x=2, log5x=-1.Из первого уравнения находим x=52 , т.е. x=25;
из второго уравнения находим x=5-1, т.е. x=15.Ответ: x1=25;x2=15.Задания для самостоятельного выполнения:
Решите уравнения:
log35x+3=log37x+5,
ОДЗ:5x+3>0,7x+5>0;5x>-3,7x>-5;x>…x>….По теореме о равенстве логарифмов:
5x+3=______________ ,
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.
Ответ: _______________________.
17
log2x-5+log2x+2=3,ОДЗ: Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:
log2x-5∙x+2=3,
По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Ответ:____________.
log122x-2log12x-3=0,Решение: введём новую переменную: log12x=y, тогда получим уравнение:
y2-2y-3=0,D=______________________,
y1=___________________, y2=_______________________,Если y=______, то log12x=__________, отсюда следует, что x=____________.Если y= _____________________________________________________________
Ответ: _________________.
18
1.9. Самостоятельная работа 4
Решите графически уравнение: log2x=-x+1;Рассмотрим две функции:у=log2x и у =-x+1 и построим их графики в одной х
у
0
системе координат.
2. Решите уравнение:
а) log0,212x+8=log0.211x+7;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
б) log22x-4log2x+3=0;____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
в) x1+log3x=9;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
г) log3x-2+log3x+2=log32x-1,_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3) Решение простейших логарифмических уравнений и систем.
1 вариант 1 2 3 4
Решить уравнение:
log123x-5=-2у
3 К
4 м
1 т
-2
Решить уравнение:
(log3x)2-log3x=2к
19з
{9;13} Р
3
и
{3;19}Решить уравнение:
log33x-5==log3(x-3)Ю
-4 е
∅р
-2 м
1
Решите уравнения:
log35x+3=log37x+5, 19
ОДЗ:5x+3>0,7x+5>0;5x>-3,7x>-5;x>…x>….По теореме о равенстве логарифмов:
5x+3=______________ ,
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.
Ответ:_______________________.
log2x-5+log2x+2=3,ОДЗ: Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:
log2x-5∙x+2=3,
По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Ответ:_______________________.
log122x-2log12x-3=0,Решение: введём новую переменную: log12x=y, тогда получим уравнение:
y2-2y-3=0,D=______________________,
y1=___________________, y2=_______________________,Если y=______, то log12x=__________, отсюда следует, что x=____________.Если y= _____________________________________________________________________
Ответ: _________________.
20
1.10. Самостоятельная работа 5
1. Решите графически уравнение: log2x=-x+1;х
у
0
Рассмотрим две функции:у=log2x и у =-x+1 и построим их графики в одной системе координат.
2. Решите уравнение:
а) log0,212x+8=log0.211x+7;____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
б) log22x-4log2x+3=0;____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
в) x1+log3x=9;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
г) log3x-2+log3x+2=log32x-1,_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Решение простейших логарифмических уравнений и систем.
1 вариант 1 2 3 4
Решить уравнение:
log123x-5=-2у
3 К
4 м
1 т
-2
Решить уравнение:
(log3x)2-log3x=2к
19з
{9;13} Р
3
и
{3;19}Решить уравнение:
log33x-5==log3(x-3)Ю
-4 е
∅р
-2 м
1
Решить систему:
x+y=8,log12x=1-log12y.Л
(2;6);
(6;2)
о
(2;4);
(4;2)
с
(5;1);
(1;5) К
(1;7);
(7;1)
21
1.11. Логарифмические неравенства
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида logaf(x)>logag(x),(1)
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то:
логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству того же смысла f(x) >g(x) при а > 1;
логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x) <g(x) при 0<а <1.
На практике эту теорему применяют так: переходят от неравенства logaf(x)>logag(x)
при а > 1 к равносильной ему системе неравенств:
f(x)>0,g(x)>0,fx>gx,а при при 0<а <1к равносильной системе неравенств:
f(x)>0,g(x)>0,fx<gx,Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когдаа>1, — либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае, когда 0 <а <1.
Пример 1. Решить неравенства:
а)log32x-4>log314-x;б) log132x-4>log1314-x.
Решение: а) Область допустимых значений переменной для заданного неравенства определяется условиями: 2x-4>0 и 14-x>0. Поскольку основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла: 2x-4>14-x.
В итоге получаем систему неравенств:
2x-4>0,14-x>0,2x-4>14-x.Из первого неравенства системы находим x>2, , из второго —x<14, из третьего — x>6.Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств:
6<x<14.
б) Здесь основание логарифма, т.е. число 13, меньше 1. Значит, соответствующая система неравенств имеет вид:2x-4>0,14-x>0,2x-4<14-x.(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).
Из первого неравенства системы находим x>2, из второго — x<14, из третьего — x<6. 22
Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств: 2<x<6.
Ответ: а) 6<x<14; б) 2<x<6.Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2л; -4 > 14 - я, а второе — 14 - х >0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству транзитивности неравенств) следует, что2а; -4 >0. Что это значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.
Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.
Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.
Пример 2. Решить неравенство: log1216+4x-x2≤-4.Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию 12:
-4=log1212-4=log1216. Это позволит переписать заданное неравенство в виде:
log1216+4x-x2≤log1216..Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1, составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:
16+4x-x2>0,16+4x-x2≥16.Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (еслиА≥16, то тем более А>0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:
x2-4x≤0, xx-4≤0.С помощью метода интервалов (рис.)
получаем 0≤x≤4.Ответ: 0≤x≤4.Пример 3.
Решить неравенство: lgx +lg45-x<2+lg2.Решение: Имеем последовательно:
lgx+lg45-x=lgx45-x=lg45x-x2,2+lg2=lg100+lg2=lg100∙2=lg200.Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду
lg45x-x2<lg200. «Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравенство того же смысла: 45x-x2< 200 . А условия, задающие область допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству; в данном примере они таковы: x>0 и 45-x>0. В итоге получаем систему неравенств:
23
x>0,45-x>0,45x-x2< 200 .Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства 0<x<45.Решая третье неравенство системы, находим:
45x-x2+200>0;x-40x-5>0;x<5;x>40;
Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ранее интервалом 0<x<45, находим их пересечение

т.е. решение составленной выше системы неравенств: 0<x<5; 40<x<45.
Ответ:0<x<5;40<x<45.
Пример 4. Решить неравенство log22x2-5log2x+1≤0.
Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменной y=log2x, но сначала надо разобраться с выражением log22x2.
Имеем: log22x2=log2x22=2log2x2=4log22x.Итак, если у = log2x, то log22x2=4y2.Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде 4y2-5y+1≤0.Найдем корни квадратного трехчлена 4y2-5y+1: y1=1, y2=14.Значит,4y2-5y+1=4y-1y-14, а потому последнее неравенство можно переписать в виде 4y-1y-14≤0.Находим решение неравенства: 14≤y≤1.
Подставив вместоу выражение log2x, получим: 14≤log2x≤1или, что тоже
самое, log2214≤log2x≤log22. Остается «освободиться» от знаков логарифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: 214≤x≤2.Ответ:214≤x≤2.Задание: Решите неравенство:
log3x-14>log310-3xСоставим систему неравенств:
x-14>0,10-3x>0,x-14…10-3x;при переходе от логарифмов к их выражениям знак неравенства _____________________________________________________________________________
х

Ответ:_________.
24
log13x-14>log1310-3x.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log12x+2≤-4.Представим число -4 в виде логарифма -4 =log12…, тогда получим систему неравенств:x+2>0,x+2….._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
х

Ответ:________________.
log32x-2log3x-3≤0.
Введём новую переменную y=log3x, тогда неравенство примет вид: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ:__________________.
log7х+3=2,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log3(5х+3)=log38,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Найдите область определения функции:
У= log4(х-1), по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:
х-1>0,
х>1.Ответ: (1;+∞).
У= log0,31+х,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
У= log2 (4-х2),
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
У= lg3-2х,__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Установите, истинны ли следующие утверждения:
Если log2х=-log2у,
то х = -у.
_____________________________________________________________________________
1>log138.
___________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
25
1.12. Самостоятельнаяработа 6
Решите неравенство:
log414>log4x;
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log0,5x<log0,52;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log22x-5≤2;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log12(x2-1)≥-3;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log15x-1>log1510-6x;_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
log0,12x+3log0,1x-4≤0;_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
х

Ответ:_________.
26
1.13. Контрольная работа
Задание Варианты ответов
1 2 3 4 5
1.Вычислить:
a) log381b) log12641
2 4
0 4
-6 4
-4 0
-6
2.Решить простейшее уравнение:
log2(2x-3)=35 6 4,5 5,5 ∅3.Решить уравнение:
lg2x+lg(5x+15)=2 -1 -5;2 -5-2;1 2
4.Решить неравенство:
log16(5x-4)≥-1(12;5) ∅5;+∞( 4 5; 52;+∞)5.Найти область определения функции:
Y=log12(1-7x) ∅1;+∞-∞;170;1(-∞;027