Мини — сборник задач по физике. Производная и интеграл при решении задач.

Мини - сборник задач по физике.
Производная и интеграл при решении задач.

1. Применение производной для решения задач по физике
Задача 1
Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?
Дано:
m =4 кг
х(t) = t2 +t + 1
t=3 с
Wк ? F?
Решение: Скорость13 QUOTE 1415 есть функция времени, поэтому
13 QUOTE 1415 = х’(t)
13 QUOTE 1415 = 2t + 1
13 QUOTE 1415(3) = 7 м/с
В физике скорость изменения скорости называется ускорением.
a(t) = 13 QUOTE 1415’(t)
a(t) =2м/с2
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.
W = 13 QUOTE 1415
W = 98 Дж
F = ma
F = 8 Н
Ответ: 98 Дж; 8 Н.
Задача 2
Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t выражается уравнением: М(t) = Аt2 +Bt, где А и В – постоянные. Какова скорость реакции?
Дано:
М(t) = Аt2 +Bt13 QUOTE 1415

Скорость химической реакции определяется: 13 QUOTE 1415 = М’(t)
13 QUOTE 1415 = 2 At+ B
Ответ: 2 At+ B
Задача 3
Конденсатор ёмкостью C и зарядом q0 разряжается через резистор R по закону: q = q0 13 QUOTE 1415 Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?
Дано:
q = q0 13 QUOTE 1415
q’(t) ? q’(0) ?
Решение:
q’(t) = (q0 13 QUOTE 1415’ = q0 (13 QUOTE 1415’·(- 13 QUOTE 1415)’ = q013 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
q’(0)= - 13 QUOTE 1415
Ответ: - 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; - 13 QUOTE 1415.
Задача 4
Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 213 QUOTE 1415. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?
Дано:
n(t) = 213 QUOTE 1415
n’(t) ?
Решение:
n’(t) = (213 QUOTE 1415 = 2 (13 QUOTE 1415 · (- 0,05t)’ = 2 13 QUOTE 1415 · (- 0,05) = -0,113 QUOTE 1415
Ответ: -0,113 QUOTE 1415; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.
Задача 5
В двухэлектродной лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 - постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.
Дано:
I(U) = 13 QUOTE 1415
I’(U)?
Решение:
I’(U) = 13 QUOTE 1415)’ = 13 QUOTE 1415
Исходя из определения производной I’(U) = tg13 QUOTE 1415
I’(U) = lim 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415.
Задача 6
Каково изменение периода колебаний математического маятника при изменении его длины?
Решение:
Период колебаний математического маятника определяется по формуле:
T = 213 QUOTE 1415.
T’(l) = (213 QUOTE 1415)’ = 213 QUOTE 1415((13 QUOTE 1415)’ ·(13 QUOTE 1415 )’ = 213 QUOTE 1415 · 13 QUOTE 1415(13 QUOTE 1415· 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415· 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415
Задача 7
Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10-6 13 QUOTE 1415. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.
Дано:
q = 10-6 13 QUOTE 1415
I(t) ?
Решение:
I(t) = q’(t) = 10-6· 10413 QUOTE 1415 = 10-2 13 QUOTE 1415
Ответ: 10-2 13 QUOTE 1415

Применение интеграла для решения задач по физике
Задача 1
Уравнение скорости материальной точки имеет вид: 13 QUOTE 1415 Напишите уравнение движения x = x(t).
Дано:

x = x(t)?
Решение:
x = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415= 6· 13 QUOTE 1415 - 3· 13 QUOTE 1415 = 2t3 –t2.
Ответ: 2t3 –t2
Задача 2
По закону Гука сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?
Дано:
F = 100 H
x = 0,02 м
А?
Решение:
По закону Гука: F = kx, k = 13 QUOTE 1415.
K = 500 13 QUOTE 1415
А = 13 QUOTE 1415
A = 13 QUOTE 1415 = k·13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
A = 0,1 Дж
Ответ: 0,1 Дж
Задача 3
ЭДС изменяется по закону: 13 QUOTE 1415 = - 0,01 13 QUOTE 1415. Как изменяется магнитный поток?
Дано:
13 QUOTE 1415 = - 0,01 13 QUOTE 1415
Ф = Ф(t)?
Решение:
Ф = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = - 0,0113 QUOTE 1415 ·13 QUOTE 1415 (- 13 QUOTE 1415 =
0,01 13 QUOTE 1415.
Ответ: 0,01 13 QUOTE 1415.
Задача 4
Электрические заряды q1 = 1 нКл, q2 = 4 нКл расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.
Дано:
q1 = 1 нКл
q2 = 4 нКл
r1 = 20 см
r2 = 40 см
А?
Решение:
По закону Кулона F =k 13 QUOTE 1415.
A = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415dr = kq1q213 QUOTE 1415 = kq1q213 QUOTE 1415 dr = kq1q2 (13 QUOTE 1415 =
= kq1q2(13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415A = 90·10-9 Дж = 90 нДж.
Ответ: 90 нДж.
Задача 5
Из шахты глубиной 200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия клети.
Дано:
h = 200 м
P = 15 000Н
P0 = 30 Н
А?
Решение:
Работа, необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и каната.
А =А1 + А2
Работа по поднятию клети А1 = P h
Работа по поднятию каната А2 = 13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415= P0· 13 QUOTE 1415 = P0· 13 QUOTE 1415 .
А = P h + P0· 13 QUOTE 1415.
А = 3,6 · 106 Дж
Ответ: 6,6 МДж
Задача 6
На оси ОХ закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой 20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку с координатой 20 м.
Дано:
m1 = 10 кг
m2 = 20 кг
r1 = 10 м
r2 = 20 м
А?
Решение:
Так как сила тяготения будет направлена к началу координат, поэтому
F = - 13 QUOTE 1415.
A = 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415 = - 13 QUOTE 1415 = - G13 QUOTE 1415(- r)- 1 = G13 QUOTE 1415(13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415).
A =
Задача 7
Найти работу изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь цилиндра S, объём изменяется от V1 до V2, а высота столба газа от L1 до L2.
Дано:
S, V1 ,V2
L1 ,L2
A?
Решение:
Работа силы давления газа равна
A = 13 QUOTE 1415.
Cилы давления газа равна: F = PS
Из уравнения Менделеева-Клапейрона получается:
P = 13 QUOTE 1415Обозначим 13 QUOTE 1415 как С. V = SL. Тогда А = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = c 13 QUOTE 1415.
dV = SdL, A = C13 QUOTE 1415 ln 13 QUOTE 1415 = C(ln13 QUOTE 1415) = C·ln13 QUOTE 1415.
Ответ: C·ln13 QUOTE 1415
15