Конспект урока по алгебре Исследование функции с помощью производной (10 класс).
Применение производной к исследованию функций.
Тема: Примеры применения производной к исследованию функций.
Урок № 2.
Цели: развивать навыки исследования функций с помощью производной и построения графиков функций.
Ход урока:
Устная работа:
Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)
·(х) = 1 – 2х;
Решение:
D (
·) = R.
·’(x) = - 2 < 0 для любого х, поэтому
·(х) убывает на всей числовой прямой.
б)
·(х) = 14х – 5;
Решение:
D (
·) = R.
·’(x) = 14 > 0 для любого х, поэтому
·(х) возрастает на всей числовой прямой.
в)
·(х) = - х2 + 2х – 3;
Решение:
D (
·) = R.
·’(x) = - 2х + 2 = - 2(х – 1).
·’(x) > 0,если -2(х – 1) > 0, x < 1;
·’(x) < 0, если -2(х – 1) < 0,
x > 1.
Функция возрастает на ( -
·; 1]; убывает на [1; +
·). 2. Знак производной
·’(x) меняется по схеме, изображенной на
рисунке:
- + - - +
- 6 0 1 3 х
Определите на каких промежутках функция возрастает и на каких убывает.
3. На рисунке изображен график дифференцируемой функции
у = h(x).
Определите знак производной на промежутках:
а) [- 5; - 2); б) (– 2; 3); в) (3; 5]. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.
4. Какие из данных функций возрастают, а какие убывают на всей числовой прямой:
а) y = 2x + cosx; б) y = 3sin(x +
· /4) + 4x – 7; в) у = - 6х + 9; г) у = 2х3?
Ответ: а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая;
г) возрастающая.
5. Определите точки экстремума функции:
а)
·(х) = 4х + 1; б)
·(х) = х2 - 3х + 1; в)
·(х) = 5х - х2 .
Решение:
а) D (
·) = R.
·’(x) = 4, т. к. 4 > 0, то
·(х) возрастает на всей её области определения, точек экстремума нет.
б) D (
·) = R.
·’(x) = 2х - 3
если
·’(x) > 0, то 2x – 3 > 0
x > 1,5.
если
·’(x) < 0, то 2x – 3 < 0
x < 1,5.
·(х) – возрастает х Є [1,5; +
·);
·(х) – убывает на х Є ( -
·;1,5]
х = 1, 5 – точка минимума.
6. Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке: У
х1 х2 х3 х4 х5 0 х6 х7 х8 Х
Ответ: х2 ; х4 ; х5 ; х6 ; х7 .
Назовите точки максимума и минимума функции. Существует ли произ
·водная в соответствующей точке, если существует, то чему равно её значение?
7. Какие из функций являются четными, какие нечетными:
а) у = cosx – x2; б) у = sinx + 1; в) у = sinx + x; г) у = x2 – 5.
Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная; г) четная.
8. ( Все вместе). Повторить общую схему исследования функции:
1) область определения;
2) исследование на четность, нечетность, периодичность;
3) точки пересечения графика с осями координат;
4) промежутки знакопостоянства;
5) промежутки возрастания и убывания;
6) точки экстремума и значение
· в этих точках;
7) исследование поведения функции в окрестности «особых» точек и при больших по модулю х.
II. Выполнение упражнений:
Решить № 297(г)
Решение:
·(х) = 3х2 – х3.
а) D (
·) = R;
б) функция не является ни четной, ни нечетной, не периодической;
в) найдем точки пересечения графика с осью ОХ (т. е. нули функции):
х2(3 – х) = 0; х1 = 0; х2 = 3.
Пересечение с осью ОУ: если х = 0, то
·(0) = 0;
г) находим производную:
·’(x) = 3x(2 – x).
·’(x) = 0, при х = 0, х = 2;
д) найденные критические точки разбивают числовую прямую на три промежутка: ( -
·; 0), (0; 2), (2; +
·).
·(0) = 0,
·(2) = 4.
Составим таблицу:
х
( -
·; 0)
0
(0; 2)
2
(2; +
·)
·’(x)
-
0
+
0
-
·(x)
0
4
min
max
Строим график:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Исследовать функцию и построить её график:
х
У = х2 – 4
Учащиеся решают задание в тетрадях, обсуждая с учителем каждый шаг решения. Учитель демонстрирует решение задачи на экране с помощью мультипроектора.
3. Решить № 301 (в).
·(x) = х
·2 - х .
Указание: D (
·) = ( -
·; 2), возрастает на ( -
·; 1], убывает на
[1; 2]; х = 1 - точка максимума.
График:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Дополнительное задание на карточках, ученикам быстро справившимся с № 301(в):
По данным таблицы схематически построить график в тетради:
Вариант № 1
х
( - 7; 1)
1
(1; 6)
6
(6; 7)
·’(x)
+
0
-
0
+
·(x)
10
- 3
Вариант № 2
х
( - 3; 0)
0
(0; 4)
4
(4; 8)
8
(8; +
·)
·’(x)
+
0
-
0
+
0
-
·(x)
-3
-5
6
III. Итоги урока.
IV. Домашнее задание: п. 24; выполнить № 297 (б, в), № 301(б, г).
13PAGE 15
13PAGE 14115
0 2 Х
У
4
1
0 1 2 Х
У
ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская», Москва
«Исследование функции
с помощью производной»
Урок алгебры, 10 класс.
Выполнила:
Учитель математики
Назарова Г.А.
Заголовок 715