Конспект урока по алгебре и начала математического анализа: Производная и ее геометрический смысл

Конспект урока по алгебре и начала математического анализа 11 класс.
Тема урока: Подготовка к контрольной работе по теме: « Производная и ее геометрический смысл».
Тип урока: Комбинированный урок.
Цели урока:
Образовательная: Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме, выработать умения нахождения производной, применения правила дифференцирования, составление уравнений касательной к графику функции в заданной точке, закрепление пройденного материала.
Развивающая: Развить логическое мышление, зрительную память, грамотную математическую речью, сообразительность, внимательность.
Воспитательная: Воспитать познавательную активность, культуру речи, аккуратность.
Оборудование урока: Компьютер, видеопроектор.
Методы обучения: Обобщенно репродуктивный метод, дедуктивно-репродуктивный метод.
Литература: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. - 3-е изд. – М. : Просвещение, 2011. - 335 с.
Структура урока:
Организационный момент (3 минуты).
Актуализация знаний (7 минут).
Решение задач (20 минут).
Математический диктант (13 минут).
Подведение итогов (2 минуты).
Ход урока.
1. Организационный момент.
Учитель: Приветствует учащихся, проверяет отсутствующих, объявляет тему и цель урока.
Ученик: Записывают число и тему урока.
2. Актуализация знаний.
Учитель: В чем геометрический смысл производной?
Ученик: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)).
Учитель: Записать на доске уравнение касательной к графику функции.
Ученик: y=f(x0)+f’(x0)(x- x0).
Учитель: Записать на доске уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Ученик: y=y0+k(x-x0).
Учитель: Записать на доске производную частного.
Ученик: f(x)g(x)'=f'xgx-fxg'(x)g2(x)Учитель: Записать на доске производную произведения.
Ученик: f(x)∙g(x)'=f'xgx+f'xg'(x)Учитель: Чему равна производная постоянной?
Ученик: Нулю
Учитель: Чему равна производная sin(x)?
Ученик: cos(x).
Учитель: Чему равна производная cos(x)?
Ученик: - sin(x).
Учитель: Чему равна производная натурального логарифма?
Ученик: 1x3. Решение задач.
Учитель: Решаем №108(1,3). Найти производную. Вызывает ученика.
Ученик: Записывают в тетради и на доске.
1) x3+1x2+2'=x3+1'x2+2-x3+1x2+2'x2+22==3x2x2+2-x3+12xx2+22.3) sinxx+1'=sinx'x+1-sinxx+1'x+12=cosxx+1-sinxx+12.Учитель: №109(2) Найти значение x, при которых значение производной функции f(x) равно 0; положительно; отрицательно.
Ученик: Записывают в тетради и на доске.
2) fx=x+33x-42 f'x=3x+32(x-4)2+2(x+3)3(x-4) f'x=(x+3)2(x-4)(5x-6) (x+3)2x-45x-6=0 x1=-3; x2=4; x3=63;
+ + - +
-3 65 4 x
x>0, при x∈-∞;-3∪-3;65∪4;+∞x<0, при x∈65;4.Ответ: f(x)=0 при x1=-3; x2=4; x3=63;
f(x)>0, при x∈-∞;-3∪-3;65∪4;+∞f(x) <0, при x∈65;4.
Учитель: №99(3). Найти точки графика y=f(x), в которых касательная к этому графику параллельна прямой y=kx, если fx=13x3+x2-2x, k=1.Ученик: Записывают в тетради и на доске.
3) fx=13x3+x2-2x, k=1f'x=x2+2x-2x2+2x-2=1x2+2x-3=0x1,2=-2±4+122=-2±42x1=-3; x2=1;Если x1=-3, то y=(-3)2+2∙-3-2; y=1Если x1=1, то y=12+2∙1-2; y=1Ответ: (-3;1); (1;1)
4. Математический диктант.
Учитель: На интерактивной доске математический диктант. Распределяет варианты.
Математический диктант
Вариант I Вариант II
№1. Найти производную функции.
a) yx=5x8-8x5б) sin2xex+4x
в) 12cos2x cos3xa) yx=9x6-6x9б)x+4sin2xв) cos5x3x2+4№2.Найти точки графика функции y=f(x), в которых касательная к этой графику параллельна прямой y=kx, если:
1) fx=x2+2x, k=81) fx=4x2-2x, k=22Ученик: решают в тетрадях математический диктант.
Ключ к математическому диктанту.
Вариант I.
№1. Найти производную функции.
а) yx=5x8-8x5 y'x=40x7-40x4=40x4(x3-1)б) sin2xex+4x '=sin2x'ex+4x-sin2xex+4x'(ex+4x)2=2cos2x ex+4x-(sin2x)(ex+4x)(ex+4x)2в) 12cos2x cos3x'=-sin2xcos3x+12cos2x-3sin3x№2.Найти точки графика функции y=f(x), в которых касательная к этой графику параллельна прямой y=kx, если:
1) fx=x2+2x, k=8 f'x=2x+2 2x+2=8 2x=6 x=3Если x=3, то y=2∙3+2; y=8
Ответ: (3;8)
Вариант II.
№1. Найти производную функции.
а) yx=9x6-6x9 y'x=54x5-54x8=54x5(1-x3)б) x+4sin2x'=sin2x+x+4(2cos2x)в) cos5x3x2+4'=cos5x'3x2+4-cos5x3x2+4'(3x2+4)2=-5sin5x 3x2+4-6x(cos5x)(3x2+4)2№2.Найти точки графика функции y=f(x), в которых касательная к этой графику параллельна прямой y=kx, если:
1) fx=4x2-2x, k=22 f'x=8x-2 8x-2=22 8x=24 x=3Если x=3, то y=8∙3-2; y=22
Ответ: (3;22)
5. Подведение итогов.
Учитель: Итак, подведем итоги нашего урока. Что мы сегодня повторили?
Ученик: Повторили нахождение производной, геометрический смысл производной, нахождение точек графика y=f(x), в которых касательная к этому графику параллельна прямой y=kx, нахождение значения x, при которых значение производной функции f(x) равно 0; положительно; отрицательно.
Учитель: Объявляет отметки за урок и задает домашнее задание №91(2,5), №109(1), №99(1).
№ 91. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0, если:
2) fx=sinx, x0=П4. f'x= cosx f'x0=cosП4 f'x0=22.
Ответ: 225) fx=3x2-4x, x0=2. f'x=6x-4 f'x0=6∙2-4 f'x0=8Ответ: 8
№ 109. Найти значение x, при которых значение производной функции f(x) равно 0; положительно; отрицательно.
1) fx=-3x3+2x2+4 f'x=-9x2+4x=x(-9x+4) x-9x+4=0 x=0 или -9x+4=0 x=49
+ -
0 49 xx>0, при x∈0;49.x<0, при x∈∞;0∪49;+∞.Ответ: x1=0; x2=49; fx>0,при x∈0;49. fx<0, при x∈∞;0∪49;+∞. № 99. Найти точки графика y=f(x), в которых касательная к этому графику параллельна прямой y=kx, если fx=x2-3x+4, k=1 1) fx=x2-3x+4, k=1 f'x=2x-3 2x-3=1 2x=4 x=2Если x=2, то y2=2∙2-3;y=1Ответ: (2; 1).