Урок Правила вычисления производных

Правила вычисления производных.
Цели урока:
Образовательные: познакомить учащихся с правилами вычисления производных.
Развивающая: уметь находить производные функций, математически грамотно объяснять и обосновывать выполняемые действия.
Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, активности, уважительного отношения друг к другу.
Тип урока: комбинированный
Методы: репродуктивные
Межпредметные связи: физика
Оборудование: опорный конспект «Правила дифференцирования», карточки-задания, презентация.
Ход урока
1.Организационный момент.
Приветствие учащихся. Проверка готовности группы к уроку. Преподаватель объявляет тему урока, ставит цели и задачи урока.
2.Проверка домашнего задания.
Опрос по формулам.
3.Изучение нового материала.
1) Проблемный этап. (Слайд 2) Пользуясь определением производной, найдите производные функций f(x) = x3- 4x2 + 7 и f(x) = (x2 -10)x2.
Ребята приходят к выводу, что, зная только алгоритм отыскания производной, такие сложные примеры быстро не решить, значит, существуют какие-то новые правила.
2) Основные правила дифференцирования.
Давайте посмотрим основные правила вычисления производных.
(Слайд 3) Здесь значения функций u и v и их производных в точке xₒ обозначаются для краткости так: u(xₒ) = u, v(xₒ) = v, u'(xₒ) = u', v'(xₒ) = v'.
(Слайд 4) Правило1. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u+ v)'= u'+ v'.
Производная суммы равна сумме производных.
Доказательство: (воспользуемся алгоритмом нахождения производной)
Вычислим приращение суммы функций в точке хₒ:
∆(u + v) = u(xₒ+∆x) + v(xₒ + ∆x) - (u(xₒ) + v(xₒ)) = (u(xₒ + ∆x) - u(xₒ)) + (v(xₒ+∆x) - v(xₒ)) = ∆u+∆v.
Находим разностное отношение:
∆(u + v)/∆x=∆u/∆x + ∆v/∆x.
Функции u,v дифференцируемы в точке xₒ, т.е. при ∆х→0
∆u/∆x→u' ∆v/∆x→v'.
Тогда ∆(u+v)/∆x→u'+v' т.е. (u+ v)'= u'+ v'.
(Слайд 5) Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (u v)'= u' v + u v'.
(доказательство аналогично)
(Слайд 6) Следствие. Если функция u дифференцируема в точке xₒ, а С – постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и (Сu)'= Сu'.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
(Слайд 7) Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u / v также дифференцируемо в этой точке и (u/ v)'= (u' v - u v')/ v².
Следствие. (1/v)'= -v'/v² (слайд 8)
(Слайд 9: Правила дифференцирования: основные формулы и следствия)
4. Закрепление изученного материала.
Найти производные функций
1.f(x)=3x+5 2. f(x)=4x2-5x3+9x 3. f(x) = 3х + хз 4.f(x)= x + 4
5.f(x)=(3x+5)(x-3) 6.f(x)=(x2-5x)(x3-x2) 7. f(x) = 3+хх3
Решение задач из учебника.
Найти производные функций.
№175.
а) f(x)=x²-3x + 1 f(x)'=2x-3
б) f(x)= 2х7 + 5х f(x)' = 14х6 + 52хв) f(x)= 7х8 – 8х7 f(x)' = 56х7 – 56х6
г) f(x)= х5 – 2х3 + 3х – 7 f(x)' = 5х4 – 6х2 + 3
№ 177
Решите уравнение f(x)' = 0
а) f(x) = 3х2 + 8х + 2 б) f(x) = -6х2 + 13х – 1

в) f(x) = з2х2 + 4х – 1 г) f(x) = -0,5х2 – 4х + 0,1
№178
Найдите производную функции f(x) и вычислите ее значение в точке х0:
а) f(x) = х∙(х + 1), х0 = 2
б) f(x) = (х - 2)∙(х + 3), х0 = -1
в) f(x) = х2∙(х - 5), х0 = -2
г) f(x) = х+1х-2, х0 = 1
№179
Решите неравенство f(x)' >0:
а) f(x) = -8х2 – 2х + 1 б) f(x) = х33 - х2 + 2
в) f(x) = 1 + х – 6х2 г) f(x) = - х33 - 12х2 + 67 5. Самостоятельная работа(5мин).
Вариант 1
1.Найдите производную функции
,
2.Найдите , если .
а) ; б) ; в) ; г) .
3.f(x) = 4x+x². Решите уравнение .
а) -2; б) ; в) -; г) 2.
Вариант 2
1.Найдите производную функции
,
2.Найдите , если .
а) ; б) ; в) ; г) .
3.g(x) = 6x + 3x². Решите уравнение .
а) 1; б) 3; в) 0; г) -1.
Ответы (слайд 10):
Вариант1. Вариант 2.
х²/2-х-3 2. г 3. а -х²/2+3х+5 2. в 3. г

6. Д/з(слайд 11): §12, №176, №183
№176 Найдите производную функций:
а) f(x) = 2х2 + 3х
б) f(x) = 15 х5 - 1х4 + 2
в) f(x) = х6 – х3 + 1
г) f(x) = -2х3 + 2х2 – х
№183
Решите уравнение f(x)' = 0
а) f(x) = х3 – 3х2 + 7 б) f(x) = 3х3 – 2х2 – 1
7. Итог, оценивание.