Приложения №2-5 к уроку разноуровневого повторения Геометрический и физический смысл производной
Приложение 2.
Для работы в группе сильным учащимся:
Задача 1. На рисунке изображен график функции
у = ах2 + вх +с и четыре прямые. Одна из прямых - график производной. Укажите номер этой прямой.
Решение.
По рисунку определяем вершину параболы,
это точка (4; -5).
Тогда уравнение параболы имеет вид: y = a(x-4)2 - 5
По рисунку х=1 – корень уравнения a(x-4)2 -5 =0, отсюда
a = 13 QUOTE 1415 .
Получим уравнение параболы у = 13 QUOTE 1415(х – 4)2 -5.
Производная y’ = 13 QUOTE 1415
·2
·(x-4) = 13 QUOTE 1415x - 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415x - 413 QUOTE 1415
При х = 0, y’ = -4 13 QUOTE 1415 ,
при х = 4, y’ = 0.
Значит, графиком производной данной функции является прямая № 3
Задача 2. При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2 ?
Решение.
Пусть х0 – абсцисса точки касания, составим уравнение касательной в этой точке.
у = 3х2 - 4х -2
у0 = 3х 02 - 4х0 -2
y’ = 6х - 4
y0 ’ = 6х0 - 4
Получим уравнение касательной
у = 3х 02 - 4х0 -2 + (6х0 – 4)(х – х0) ,
у = (6х0 – 4)х - 3х02 -2.
Чтобы прямая у = -10х +а являлась касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2 , необходимо, чтобы
6х0 - 4 = -10, отсюда
х0 = -1, тогда
а = - 3х02 -2 = -3-2 = -5
Приложение 3.
Содержание разноуровневой самостоятельной работы
Уровень 1
Вариант 1
Задача 1.
Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t2-3t+6. Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка?
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 6
Задача №2
Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х2-8х+4 параллельна оси абсцисс.
1) -8 2) 1 3) 0 4) 4
Задача№3
Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х2+4х-3 с осью ОХ, в точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 450 2) 300 3) 600 4) 1350
Задача №4.
Найдите значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке максимума.
1) 12,5 2) 13 3)13,5 4) 12
Задача№5.
Найдите все интервалы возрастания функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) (0;1) 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) (-1;0)
Задача №6
Материальная точка движется по закону 13 EMBED Equation.3 1415 (х – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 10м/с2?
1) 6 2) 2 3) 3 4) 4
Уровень 1
Вариант 2
Задача №1.
Материальная точка движется по закону 13 EMBED Equation.3 1415(х – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 8м/с2?
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
Задача №2
На кривой у=х2-х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1.
1) -2 2) 1 3) 2 4) 3
Задача №3.
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=-2х4+3х+5 в его точке с абсциссой 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 67 2) -61 3) 19 4) 72
Задача №4
Найдите значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке минимума.
1) -3 2) -4 3) 3 4) 4
Задача №5.
Найдите все интервалы убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) (2;5)
Задача №6.
Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 4 секунды после начала движения?
1) 123 2) 111 3) 108 4) 121
Уровень 2
Вариант 1
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х6 2х5 + Зх4 + х2 + 4х + 5 в точке х0 = 1.
Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффици ент.
Функция у = /(ж) задана своим графиком на промежутке [8;4] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.
4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = х2 2х - 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3, х4. Опре делите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.
13 EMBED GraphCtrl.Document 1415
Уровень 2
Вариант 2
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х5+ 2х4 + х3, + 12 в точке х0 = 1.
Функция у /(х) определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффици ент.
3. Функция у - f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.
4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у =х2 - 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3, х4. Опре делите количество неотрицательных чисел среди значений произ
·водной у = f'(x) в этих точках.
13 EMBED GraphCtrl.Document 1415
Приложение 4. Содержание задач. 3 уровень.
Задача 1. Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой точке:
Найти угол между кривыми у = 8 – х и у = 13 QUOTE 1415
Решение.
Найдем область определения второй функции:
Х+4
· 0,
Х
· - 4;
2.Найдем точку пересечения графиков,
13 QUOTE 1415 = 8-х,
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
3.Найдем угол наклона касательной к у = 13 QUOTE 1415 в точке с абсциссой х= 0
y’ = 13 QUOTE 1415
y’ (0) = 1 , значит угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох можно определить из равенства tg
· = 1,
· = 450.
4.Угловой коэффициент прямой у = -х + 8 равен -1, значит
tg
· = -1
· = 1350, следовательно, угол
· между кривыми равен
· = 1350 – 450 = 900.
Ответ: 900.
Задача 2. Показать, что графики двух данных функций у = х4 и у = х6 + 2х2 имеют одну общую точку и в этой точке – общую касательную; написать уравнение этой касательной.
Решение.
Найдем точку пересечения кривых
х6 + 2х2 = х4,
х6 - х4+ 2х2 = 0,
х2(х4 – х2 + 2) = 0,
х=0 или х4 – х2 +2 =0
D 13 QUOTE 1415
Составим уравнения касательных к кривым в точке х=0
у = х4
у0 = 0
y’ = 4x3
y’0 = 0, получим касательную у =0.
у= х6 + 2х2
у0 = 0
y’0= 6x5 + 4x
y’0 = 0, получим касательную у =0.
Значит, кривые имеют общую точку (0;0) и общую касательную у=0.
Задача 3. Составить уравнение касательной к графику функции
у =13 QUOTE 1415 , х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.
Решение.
Пусть х = с – абсцисса точки касания, тогда уравнение касательной имеет вид:
у = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 ( х – с),
у = - 13 QUOTE 1415 х +13 QUOTE 1415
При х =0, у = 13 QUOTE 1415
При у = 0 , х = 13 QUOTE 1415с.
Площадь отсекаемого треугольника равна
13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415
·13 QUOTE 1415с = 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 = 1, с =1.
Получим уравнение касательной
у = - 13 QUOTE 1415 х +13 QUOTE 1415
у = -2х + 3
Ответ: у = -2х + 3
Приложение 5. Домашнее задание
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
1. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет наибольший угловой коэффициент.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
2. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
3 Прямая пересекает ось абсцисс при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, касается графика функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
4. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415. Используя изображенный на рисунке график производной 13 EMBED Equation.3 1415, определите количество касательных к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415, которые составляют угол 13 EMBED Equation.3 1415 с положительным направлением оси Ox.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
5. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415. На рисунке изображен график производной 13 EMBED Equation.3 1415. Определите число касательных к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415, тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.
6. Прямая пересекает ось ординат при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, касается графика функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
7. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На рисунке изображен график производной этой функции.
К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.
8. Прямая пересекает ось ординат при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, касается графика функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найдите 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
9. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415. Используя изображенный на рисунке график производной 13 EMBED Equation.3 1415, определите количество касательных к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415, которые составляют угол 13 EMBED Equation.3 1415 с положительным направлением оси Ox.
10 Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определена на промежутке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет наибольший угловой коэффициент. 13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
У
х
y
х
13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рисунок 1Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 1Рисунок 1Рисунок 1TIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New Romany = f Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New Roman
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·g on
·
·
·
·
·
·
·
·e
·
·
·
·
·
·
·d
·
·
·bl
·
·§’
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·)
·
·
·
·
·
·
·
·g on
·
·
·
·
·
·
·
·e
·
·
·
·
·
·
·d
·
·
·bl
·
·§’
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·)
·
·
·
·G
·
·
·
·
·g th
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·K
·
·
·
·
·
·
·
·
·t
·
·
·)c
·
·
·
·
·)
·
·
·
·
·
·
·
·G
·
·
·.
·
·
·
·
·
·o 9
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·rket
·
·
·
·N
·
·
·
·
·
·тne c
·
·
·c
·
·?.4
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.4
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13ne c
·
·
·c
·
·?.4
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·vy c
·
·
·
·
·
·1.4
·
·
·
·
·
·
·
·ne-c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·рne c
·
·
·c
·
·o.
·ne c
·
·
·c
·
·?.5
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.5
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13ne c
·
·
·c
·
·?.5
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.5
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.6
·рne c
·
·
·c
·
·?.5
·рne c
·
·
·c
·
·?.4
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.5
·рvy c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·рvy c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·ur
·
·
·
·
·c
·
·я.189
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New Romany = f Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes 15w RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New Roman
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·g on
·
·
·
·
·
·
·
·e
·
·
·
·
·
·
·d
·
·
·bl
·
·§’
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·)
·
·
·
·
·
·
·
·я (c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·
·«
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·y
·
·
·
·
·
·
·@
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·й
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·a
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·U
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·я
·
·z
·
·
·
·
·
·
·
·І
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·'
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·o 9
·
·o 1
·
·
·
·
·
·
·
·rket
·
·
·
·N
·
·
·
·
·
·тvy c
·
·
·
·
·
·1.4
·
·
·
·
·
·
·
·ne-c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·рne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·/.
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·я.128
·ne c
·
·
·c
·
·ї.1
·ne c
·
·
·c
·
·я.142
·vy c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.9
·
·
·
·
·Li
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13ne c
·
·
·c
·
·ї.1
·ne c
·
·
·c
·
·ї.1
·ne c
·
·
·c
·
·я.123
·
·
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·я.124
·
·
·
·
·
·
·ne-c
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·No
·
·
·
·
·3
·
·
·
·
·Wa
·
·
·
·o
·
·
·
·
·
·
·
·13
·
·
·
·
·
·
·
·de.1
·
·
·Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeTimes New RomanTimes New RomanTIMES NEW ROMAN
Times New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New RomanTimes New Roman
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·g on
·
·
·
·
·
·
·
·e
·
·
·
·
·
·
·d
·
·
·bl
·
·§’
·
·
·
·
·
·
·
·
·#
·
·i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·)
·
·
·
·G
·
·
·
·
·g th
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·K
·
·
·
·
·
·
·
·
·t
·
·
·)c
·
·
·
·
·)
·
·
·
·
·
·
·
·G
·
·
·.
·
·
·
·
·
·Tt (
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·n
·ЇA
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·y
·
·
·
·
·
·
·@
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·a
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·I
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·0
·
·M No
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·ack
·
·
·
·тrm T
·
·
·
·an f
·
·
·
·
·
·
·
·
·d
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ye
·
·ow
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·d fi
·
·
·
·
·
·
·
·ial
·
·8p
·
·
·
·
·ne c
·
·
·c
·
·?.1
·тne c
·
·
·c
·
·