Лекция по математике на тему Трёхгранный угол

Лекция по теме «Трёхгранный угол»
Сегодня мы познакомимся с новой геометрической фигурой - трехгранным углом.
Для изучения сегодняшней темы нам необходимо вспомнить:
1) неравенство треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Картинка:

Текст:
AB < AC + BC,
AC < AB + BC,
BC < AB + AC.
2) теорему о соотношении сторон и углов треугольника: напротив большей стороны лежит больший угол. Картинка:

Текст:
RQ > RL > QL
L >Q > R
3) свойство равнобедренного треугольника:
в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианной и высотой; Картинка:

Текст:
PSL –равнобедренный,
ST – биссектриса,
ST – высота и медиана, т.е. PT=TL, ST PL
3) первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Картинка:

Текст:
А =М, AB=MN, AC=MP
ABC = MNP
Определение: Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя углами с общей вершиной, не лежащих в одной плоскости и имеющими попарно общие стороны.
Общая вершина этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, углы, заключенные между парами лучей являются плоскими углами и называются гранями трехгранного угла. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы. Картинка:

Текст:
Угол OEFG – трехгранный,
О – вершина трехгранного угла,
OE, OF, OG – ребра,
EOF, EOG, GOF – плоские углы (грани трехгранного угла),
углы GOEF, EOFG, EOGF – двугранные углы
Докажет свойство плоских углов трехгранного угла:
Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Доказательство
Рассмотрим трехгранный угол OEFG, предположим, что EOF EOG GOF
Докажем случай EOF<EOG+GOF, остальные два доказываются аналогично.
Существуют два случая
Первый: если угол EOF равен углу EOG, то неравенство EOF<EOG+GOF принимает вид EOF<EOF+GOF, следовательно оно доказано.
Второй, когда EOF >EOG.
Поступим следующим образом на EF выберем точку S, где угол EOG равен углу EOS, а поскольку EOG <EOF, то точка S, находиться между точками E и F.
Следующее, что мы сделаем, построим на луче OG точку R, где OS равно OR. Тогда получаем, что треугольники EOR и EOS равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников получаем, что ES равно ER.
В основании получаем треугольник ERF из неравенства EF< ER+ RF, где EF= ES+SF и ES =ER, следует, что SF < RF.
Развернем двугранный угол EOFR в одну плоскость ROFS и построим биссектрису (ON) угла SOR, равнобедренного треугольника OSR где OS равно OR (по построению), тогда получаем что биссектриса угла SOR является медианной и высотой, как биссектриса, проведенная к основанию, т.е. SN равно NR и ON перпендикулярно SR.
Из выше доказанного следует, что ON пересекает большую из сторон треугольника RDF сторону ER
Тогда получаем что угол SOF меньше угла ROF, т.к. ROF равен сумме углов RON и NOF.
Из всего доказанного, следует, что
угол EOF равен сумме углов EOS и SOF, где EOS равен EOG и все это меньше суммы углов EOR и ROF, т.е. EOG и GOF.
что и требовалось доказать.
Текст:
Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Картинка:
Текст:
Дано: OEFG – трёхгранный угол
Доказать, что:
EOF<EOG+GOF
Текст (доказательство появляется на экране по ходу слов диктора):
Доказательство:
Предположим что EOF EOG GOF.
I. Если EOF = EOG, то из EOF<EOG+GOF EOF<EOF+GOF.
II. Если EOF >EOG.
1) Построим S EF, где EOG = EOS, и EOG <EOF, S находиться между E и F.
2) OG R, где OS = OR. Тогда EOR = EOS (OE – общая, OS = OR – по построению, EOG = EOS пн 1.). ES=ER.
3) вERF: EF< ER+ RF, где EF= ES+SF и ES =ERSF < RF.
4)
Развернем EOFR в плоскость ROFS. ON – биссектриса SOR, OSR – равнобедренного, OS = OR (по построению), ON – медианной и высотой, т.е. SN = NR, ONSR.
Из пн. 1 - 4 ON ER, т.е. SOF<ROF, т.к. ROF = RON + NOF.
EOF =EOS + SOF =EOG + SOF <EOR + ROF=EOG +GOF.
что и требовалось доказать.
Решим задачу
Докажите, что сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 
360º.
Решение. Пусть TMNL – трёхгранный угол с вершиной T.
Точки M, N, L принадлежат ребрам трехгранного угла.
Построим треугольник MNL, получим еще три трехгранных угла. Применим к ним свойство плоских углов трехгранного угла, получим
Неравенства при вершине M (TML+TMN>LMN),
при вершине L
(TLM+TLN >MLN),
при вершине N
(TNL+TNM >LNM).
Далее мы складываем все неравенства, по частям, получаем одно неравенство, где в правой части, находятся углы треугольника MNL, а в левой сумма пар углов треугольников построенных на плоских углах трехгранного угла TMNL.
Используя свойство неравенства отнимает его обе части от положительного числа 540º, поменяв его знак на противоположный, в левой части число 540º представляем в виде суммы трех числе 180º и сгруппировав их,
Получаем неравенство, где в левой части сумма плоских углов трехгранного угла TMNL
Применив теорему о сумме углов треугольника, получаем неравенство
MТL+MTN+LTN<360º
что и требовалось доказать Картинка:
Текст:
Дано: TMNL – трехгранный угол.
T – вершина угла
Доказать, что:
MТL+MTN+
LTN<360º.
Текст:
Доказательство:
1) Построим MNL и по свойству плоских углов трехгранного угла получаем,
TML+TMN>LMN
+TLM+TLN >MLN
TNL+TNM >LNM Складывая все неравенства
TML+TMN +TLM+TLN+ +TNL+TNM>LMN+MLN+LNM
2) Отнимем обе части неравенства от 540, при этом поменяв знак неравенства на противоположный
180º –TML–TMN + 180º – TLM –
–TLN+180º –TNL–TNM<
<540º–LMN–MLN–LNM,
3) Заменяя полученные суммы по теореме об углах треугольника, следует,
MТL+MTN+LTN<360º
что и требовалось доказать.