Решение старинных и занимательных задач

Региональный заочный конкурс по истории математики.
9105901489710
26250905985510Разработка урока по истории математики учителя математики и экономики МБОУ «Бобровская СШ» Архангельской области Приморского района - Антоновой Ларисы Анатольевны.
-7874051435
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Д. Пойа
Тема: Решение старинных и занимательных задач.
Цель:
Повышение интереса учащихся к изучению математики и углублению понимания темы действия с дробями
Расширение кругозора учащихся и повышение их общей культуры.
Задачи:
Создание доброжелательной, деловой обстановки.
Решение задач с историческим содержанием.
Ход занятия:
Вступительное слово учителя:
32823155671185В основе развития математики, как и всякой другой науки, лежат вопросы практической деятельности человека. Возникновение и развитие наук обусловлено производством. Отдельные математические знания, выросшие из практической деятельности человека, из наблюдения им явлений природы, существовали у всех известных нам народов древности. В самые отдалённые времена люди не могли обходиться без математических сведений. Когда – то была объявлена большая премия за книгу на тему: «Как человек без математики жил». Премия осталась невыданной. По-видимому, ни один писатель не сумел изобразить жизнь человека, лишенного всяких математических понятий. Самые ранние сведения о математике у народов нашей Родины относятся к первому тысячелетию нашего летоисчисления. На первом месте по древности математической культуры среди народов бывшего Советского Союза (15 республик) стоят армяне. У армян в VII веке был замечательный ученый Анания из Ширака, труды которого в большом количестве дошли до нашего времени. Он был математиком, астрономом, метеорологом, историком и географом.
3006090127635Анания разбирал в своих сочинениях, помимо чисто арифметических задач, вопросы о шарообразности Земли, о затмениях Луны и Солнца, о применении нуля в математике, о многоугольных числах, о календарных исчислениях, о солнечных часах, - всё это в такую эпоху, когда у европейских народов этими вопросами ещё почти никто не занимался. Из сочинений Анании особенный интерес для нас представляют учебник по арифметике и задачник. Рассмотрим некоторые из его задач.
В городе Афинах был водоём, в который проведены три трубы. Одна из
труб может наполнить водоём в один час, другая, более тонкая, - в два часа, третья, ещё более тонкая,- в три часа. Итак, узнай, в какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём?
Решение:
Производительность
труда Время
Выполненная работа
Первая труба 1 1 час 1
Вторая труба 122 часа 1
Третья труба 133 часа 1

Совместная производительность труда равна 1+ 12 + 13 = 116 . Работа равна производительности труда умноженной на время. Вся выполненная работа принимается нами за 1, тогда 1: 116 = 611 часа.
Ответ: За 611 часа все три трубы вместе наполнят водоём.Один купец прошёл через три города, и взыскали с него в первом городе пошлины: половину и треть имущества, и во втором городе половину и треть (с того, что у него осталось),и в третьем городе снова взыскали половину и треть (с того, что у него было); и когда он прибыл домой. У него осталось11 дехеканов (денежных единиц). Итак, узнай, сколько всего дехеканов было в начале у купца.
Решение:
Было Отдал Осталось
Когда вошёл в первый город х12+13х= 56х 16хКогда вошёл во второй город 16х56∙16х=536х16х - 536х =136хКогда вошёл в третий город 136х12+13∙136х=5216х136х-5216х=1216хили 11 дехеканов
Уравнение: 1216х=11 Х=2376
Ответ: Вначале у купца было 11 дехеканов.
Фараон, царь Египта, праздновал день своего рождения, и обычай был у него раздавать в этот день десяти вельможам, по достоинству каждого, сто мер вина. Итак, раздели это сообразно достоинству всех десяти.
Смысл слов: «сообразно достоинству каждого» означает, что доля первого относится к доле второго, как 1:2, доля второго – к доле третьего, как 2:3 и т.д.
Решение:
1:2:3:4:5:6:7:8:9:10; 1+10=11, 2+9=11, 3+8=11 и так далее, то есть 5 пар по 11 в сумме равна 55 – это сумма всех частей. 100: 55 =2011 - одна часть или получит первый вельможа, 4011 - получит второй вельможа, 6011 - получит третий вельможа и так далее.Ответ: 2011, 4011 ,6011 и так далее.
В большинстве русских математических рукописей и печатных руководств старого времени встречаются занимательные задачи. Вот одна из занимательных задач из ранних русских источников, из рукописи XVII века:
Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пес съел овцу в три часа. Ино хочешь ведати: все три – лев, волк и пес – овцу съели вместе вдруг, и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми?
Автор рукописи предлагает следующий прием решения: за 12 часов лев съедает 12 овец, волк – 6, а пес- 4. Всего же они съедят за 12 часов 22 овцы; следовательно. В час они съедают 2211=116 овцы, а одну овцу все вместе – в 611 часа.
29870406699885А сейчас давайте рассмотрим математические забавы.
Считаем дни недели, начиная с воскресенья: первый, второй, третий и так далее, до седьмого (субботы). Один учащийся задумывает число, никому его не говорит. Другой ученик отгадывает его, при этом предлагает выполнить про себя следующие действия:
Умножить номер задуманного дня на 2 (пусть задумана пятница, 6 день, 6∙2=12)
Прибавить к произведению 5 (12+5=17)
Умножить сумму на 5 (17∙5=85)
Приписать произведению в конце нуль и назвать результат (850)
От этого числа угадывающий отнимает 250 и получает 600, то есть был задуман 6 день, пятница.
Математическая забава фигурирует и в биографии великого русского поэта М.Ю Лермонтова. Известно, что он был большим любителем математики и в своих вольных и невольных переездах из одного места службы в другое
всегда возил с собою учебник математики. Задумайте число, прибавьте к нему 25, затем прибавьте к нему еще 125, после вычтите37, вычтите то число, которое вы задумали. Остаток умножьте на 5. Разделите полученный результат на2. Теперь у вас должно получиться 282 12.
Решение: пусть задуманное число х, тогда( х+25+125-37-х)∙ 5:2=282,5
х-х=0, поэтому без разницы какое ты число задумываешь , результат у тебя будет один и тот же.
28346405756910Лермонтов постоянно искал новой деятельности, никогда не отдавался весь тому высокому поэтическому творчеству, которое обессмертило его имя и которое, казалось, должно было поглотить его всецело. Таким образом, он одно время исключительно занимался математикой. Однажды, приехав в Москву к Лопухину, Лермонтов заперся у себя в кабинете и до поздней ночи сидел над решением какой- то математической задачи. Не решив её, Лермонтов, измученный, заснул. Задачу эту он решил во сне. Ему приснилось, что пришел какой – то математик и подсказал ему решение задачи. Он даже нарисовал портрет этого математика. Оказалось, что он очень похож на изобретателя логарифмов – шотландского математика Джона Непира (1550-1617). Вероятно, до этого Лермонтов читал о работах Непира и видел его портрет. Этот портрет слился у Лермонтова с его помощником при решении задачи.
Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой (1828-1910) проявлял особый интерес к математике и ее преподаванию, много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой Яснополянской школе, написал оригинальную “Арифметику” и “Руководства для учителя”. Своим гостям Л.Н. Толстой нередко предлагал многие интересные задачи, среди которых находится и следующая.
361569099060Задача Л.Н. Толстого. “Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?”
Пусть эта задача будет для вас вашим домашним заданием.
Решение.
На первом лугу косцы проработали  дня — вся бригада и  дня — половина бригады, что  составляет рабочего дня. На втором лугу в первый день работала  бригады в течение  дня, т. е. затрачено   рабочего дня целой бригады. Так как по площади второй луг в 2 раза меньше первого, то, для того чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать  дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу останется часть работы всей бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов.
Итоги урока:
Какие задачи вызвали у вас затруднения в решении? В каких задачах вам
встретились непонятные слова? Как вы думаете, различаются ли способы решения задач сейчас и раньше? Какая из разобранных сегодня задач вам больше всего понравилась?