КУРС ЛЕКЦИЙ В ТАБЛИЦАХ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ГЕОМЕТРИЯ»

-386715-3619500Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное
учреждение Самарской области
«Тольяттинский политехнический колледж»
(ГБПОУ СО «ТПК»)
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по УР
___________ С.А.Гришина___ ____________ 2016
КУРС ЛЕКЦИЙ В ТАБЛИЦАХ
ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА; ГЕОМЕТРИЯ»
для технических специальностей
Тольятти, 2016
ОДОБРЕНА
Протокол ПЦК ЕНД
от ___ _____20__ № ____

Председатель ПЦК ЕНД
________ Л.А. Гончарова
___ ______ 20___
Курс лекций разработан Лабгаевой Э.В. – преподавателем дисциплины «Математика:
алгебра и начала математического анализа; геометрия» ГБПОУ СО «ТПК»
Рецензент:
Курс лекций составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» технических специальностей для студентов первого курса
Содержание
Введение 5
Условные обозначения 6
Латинский алфавит 6
Греческий алфавит 6
Действительные числа 7
Приближённые вычисления 8
Комплексные числа 9
Таблица квадратов 10
Таблица простых чисел 10
Таблица степеней 10
Степени и корни 12
Логарифмы 12
Формулы сокращённого умножения 11
Бином Ньютона 11
Треугольник Паскаля 11
Рациональные уравнения и неравенства 13
Иррациональные уравнения и неравенства 14
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 15
Понятие стереометрии. Аксиомы стереометрии и следствия из них 16
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 17
Параллельность прямых и плоскостей 18
Параллельное проектирование 19
Углы между прямыми и плоскостями 19
Перпендикулярность прямых и плоскостей 20
Комбинаторика 21
Координаты и векторы 22
Уравнения прямой23
Уравнения окружности 23
Основные понятия тригонометрии 24
Решение треугольников 24
Основные тригонометрические формулы 25
Знаки тригонометрических функций 25
Тригонометрический круг 26
Значения тригонометрических функций 27
Простейшие тригонометрические уравнения 27
Основные свойства функции 28
Простейшие преобразования графиков функций 29
Графики степенных функций 30
Квадратичная функция 31
Дробно-линейная функция 32
Графики показательной и логарифмической функций 33
Графики тригонометрических функций 33
Графики обратных тригонометрических функций 34
Графическое решение уравнений и неравенств 34
Многогранники 35
Сечения многогранников 36
Тела вращения 37
Предел функции 38
Производная 39
Исследование функции с помощью производной 40
Неопределённый интеграл 41
Определённый интеграл 42
Объёмы и площади поверхностей 43
Теория вероятностей 44
Случайная величина 45
Математическая статистика 46
Системы линейных уравнений 47
Литература 48
Введение
Курс лекций дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа;
геометрия» предназначен для студентов первого курса технических специальностей.
Курс лекций содержит теоретические сведения дисциплины в форме таблиц, в каждой
из которых компактно и наглядно даются основные положения математики, необходимые для решения задач, для самостоятельного изучения теории, а также для повторения ранее изученного материала студентами первого, а также второго курсов.
Данная методическая разработка рекомендуется для использования преподавателями,
ведущими данный предмет в средних специальных учебных заведениях.
Условные обозначения
Символ Описание Символ Описание
− минус ∏ произведение последовательности
+ плюс ∑ сумма последовательности
± плюс-минус ∧ логическое «и» (конъюнкция)
∗ оператор звездочка, умножить ∨ логическое «или» (дизъюнкция)
⋅ оператор точка, умножить ¬ логическое «не» (отрицание)
умножить ∅ пустое множество или диаметр
÷ разделить ∈ принадлежит
: разделить ∉ не принадлежит
⁄ слэш, разделить ∋ содержит
∼ пропорционально, подобно ∩ пересечение
≈ приблизительное равенство ∪ объединение
= равно ⊂ является подмножеством
≠ не равно ⊃ является надмножеством
≡ тождественное равенство % процент
< меньше аnвозведение числа а в степень n
> больше квадратный корень из числа а
≤ меньше или равно корень n-ой степени из числа а
≥ больше или равно ( ), [ ],{} скобки (круглые, квадратные и фигурные)
∞ бесконечность ∆ треугольник или приращение
√ корень, радикал ' минута
║ параллельно " секунда
⊥ ортогонально, перпендикуляр constконстанта (постоянная величина)
∠ угол limпредел
e экспонента число пи
° градус i мнимая единица
ƒ функция n! факториал
производная |a| модуль числа а
следовательно вектор
равносильно ∫ интеграл
∀ для всех {…} множество
Латинский алфавит Греческий алфавит
A а а N nэн
B bбеO oо
C cцеP pпеD dде Q qку
E eе R rэр
F fэф S sэс
G gже T tте
H hашU uу
I iи V ʋ веJ jжиW wдубль-веK Ʀ ка X xикс
L lэль Y yигрек
M mэм Z zзет
А α альфа N ν ню
В β бета Ξ ξкси
Г γ гамма O о омикрон
Δ δдельта П π пи
Е ԑ эпсилон P ϱ роZ ζ дзэтаΣ σсигма
H η эта T τ тау
Θ ϑ тэта Y ʋ ипсилон
I ι йота Ф ϕ фи
K ϰ каппа Х ххи
Λ λламбдаΨ ψпси
M μ мю Ω ωомега
Действительные числа
Число — это абстрактная сущность, используемая для описания количества
Натуральные числа - числа, используемые для счёта объектов 1, 2, 3,… Натуральные числа используют для счёта, а счёт начинается с единицы. Поэтому ноль не является натуральным числом!
Целые числа – это натуральные числа, число нуль, а также числа, противоположные натуральным 0, ±1, ±2, ±3,…
Рациональными числами - числа, которые можно записать в виде дроби , где m – целое число, а n – натуральное число.
Отношения целых чисел называются рациональными числами, или обыкновенными дробямиРациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби , где m ϵ Z,n ϵ N

5, 1056, 
- 47,
3/7,
0,45(175) Рациональным числом является:
Любое натуральное число n.
Любое целое число, в частности, число нуль.
Любая обыкновенная дробь
Любое смешанное число.
Любая конечная десятичная дробь 
Любая  бесконечная периодическая дробьЛюбая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом,
так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби
Иррациональные числа - числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби -311152540I
00I
Иррациональные числа
 – это действительные числа,
не являющиеся рациональными
Действительные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби Действительные числа – это рациональные и иррациональныечислаДействительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные.
Каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим
Действительные числа, в свою очередь, могут быть расширены до комплексных чисел Приближённые вычисления
Число а называется приближенным значением числа х, вычисленным с точностью до h > 0 , если выполняется неравенство: \х - а\< h

Абсолютная погрешность вычислений - разность между точным числом и его приближённым значением

h — оценка погрешности приближенного вычисления Относительная погрешность вычислений - отношение абсолютной погрешности к приближенному значению числа
Относительную погрешность часто указывают в процентах.
Стандартная запись
Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи.
Положительные числа в стандартной записи представляют в виде: а • 10k, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке [1; 10), т.е. удовлетворяло неравенствам 1 < а < 10, и записывалось десятичной дробью с несколькими знаками после запятой.
Число а в стандартной записи х называют мантиссой числа х, а показатель k — его порядком.
К приближенным числам относятся:
результаты измерений, взвешиваний,
некоторые основные константы
проектные данные, нормируемые гостами
математические величины
результаты счета предметов, если при повторении получаются разные ответы
результаты округления чисел и действий над приближенными числами Основные требования к вычислениям:
вычисления надо вести лишь с той степенью точности, которая необходима для практики в данном конкретном случае
по возможности рационализировать процесс вычислений (таблицы, счетные приборы), т.к. в курсовых и дипломных проектах важную роль играет быстрота выполнения действий, экономия в труде и во времени
уметь делать предварительную прикидку и оценить результат
Значащими цифрами числа считаются те его цифры, расположение которых
остается неизменным при переносе запятой влево или вправо, или это цифры 1,…,9, употребленные для записи числа и 0 в следующих случаях: а) если 0 стоит между значащими цифрами, б) если 0 стоит в разряде данной точности в конце числа
Десятичные знаки - все цифры после запятой.
Практические приемы приближенных вычислений
При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством десятичных знаков
При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшем количеством значащих цифрПри возведении в степень в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет основание степени
При извлечении корня в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное выражение
При сложении и вычитании целых чисел их записывают в стандартном виде, вынося за скобки наибольшую степень и используя правило 1
В промежуточных вычислениях необходимо сохранять на одну цифру больше, чем это рекомендуется предыдущими правилами, в окончательном результате эта запасная цифра округляется
Комплексные числа
Комплексные числа - выражения вида ,
где и действительные числа, число - символ, определяемый равенством ,
- действительная часть,
- мнимая часть,
- мнимая единица
Геометрическая интерпретация
Комплексное число изображается точкой на плоскости с координатами .
Числа изображаются числами на оси , числа - точками на оси .
Каждой точке плоскости с координатами соответствует единственный вектор с началом в точке и концом в точке . Поэтому, комплексное число можно изображать в виде вектора

Алгебраическая форма записи комплексного числа:
Модуль комплексного числа – длина вектора, соответствующего данному числу:

Свойство:
Аргумент комплексного числа
- угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления оси
Свойства:
1 если , то - противоположное комплексное число
2 если , то - сопряжённое комплексное число
3 если - действительное число
4 если - чисто мнимое число
Действия над комплексными числами
Пусть ,
1 , если ,
2
3
4 =
Таблица квадратов
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
Таблица простых чисел
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Таблица степеней
В степени:
Число 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1 296 7 776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2 401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4 096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6 561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000
Формулы сокращённого умножения
Разность квадратов
Квадрат суммы
Квадрат разности
Куб суммы
Куб разности
Сумма кубов
Разность кубов
Разложение квадратного трёхчлена
Бином Ньютона
,
где - биномиальные коэффициенты
Треугольник Паскаля.


Степени и корни
Степень – выражение вида  an,
a - основание степени,  
n - показатель степени
Корень n-ой степени  n√a  из числа  a 
- число, n-я степень которого равна a,
n - показатель корня, 
a - подкоренное выражение
Свойства степени: Свойства корня:
1
1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9
Логарифмы
Логарифм положительного числа b по основанию a, где - это показатель степени,
в которую нужно возвести числа а, чтобы получить b
где
Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов: Формулы перехода:
1 1
2 2
3 3
4 5 Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10, обозначается , т.е.
Натуральный логарифм – логарифм по основанию e, где – экспонента, обозначается ,
т.е.
Логарифмирование - нахождeние логарифма числа по заданному числу
Потенцирование - нахождение числа по заданному логарифму
Рациональные уравнения и неравенства
Линейные уравнения Квадратные
уравнения Рациональные
уравнения Дробно-рациональные
уравнения
- уравнения, в которых левая часть является многочленом
1-ой степени,
а правая часть равна 0 - уравнения, в которых левая часть является многочленом
2-ой степени, а правая часть равна 0 - уравнения, в которых левая часть является многочленом
n-ной степени, а правая часть равна 0
- уравнения, в которых и числитель, и знаменатель левой части является многочленом n-ной степени, а правая часть равна 0



Теорема Виета
Используя алгебраические преобразования привести уравнение к виду

а затем приравнять каждую скобку к нулю и решить линейные и (или) квадратные уравнения (см. 1, 2 столбик) Используя алгебраические преобразования привести
уравнение к виду

а затем приравнять каждую скобку числителя к нулю и решить линейные и (или) квадратные уравнения (см. 1, 2 столбик),
при условии что знаменатель
не равен нулю, т.е.

Линейные неравенства Квадратные неравенства Рациональные
неравенства Дробно-рациональные неравенства

30861038163500
-26733563500 - +
2844803429000228603302000201930438150029718043815003924303429000459105342900053530534290006019803429000
-ba
Используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители
привести неравенство к стандартному виду

С учётом знака коэффициента а решить методом интервалов

Используя алгебраические преобразования привести неравенство к виду

а затем вынести коэффициенты за скобку, т.е. привести к виду

С учётом знака коэффициента а решить методом интервалов

Замечание. Если же неравенство принимает вид
тогда на координатном луче отметить корни в чётных степенях звёздочкой (*) и расставить знаки с учётом (*)
Используя алгебраические преобразования привести неравенство к виду
а затем вынести коэффициенты
за скобку

С учётом знака коэффициента а решить методом интервалов

6852285-609600+
00+
Иррациональные уравнения и неравенства
Иррациональные
уравнения Иррациональные
неравенства
- уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала - неравенства, содержащие неизвестное
под знаком радикала
О.Д.З.:
Возвести обе части уравнения в квадрат

Решить рациональное уравнение  >  
 ≥  
О.Д.З.:
Возвести обе части уравнения в квадрат

Решить рациональное уравнение  < g(x)  
 ≤ g(x)  

О.Д.З.:
Возвести обе части уравнения в квадрат

тогда

Перенести корень в одну часть (в зависимости от знака перед корнем – если «+» влево, если «-» вправо), все остальные числа в другую, например если «+», то

И ещё раз возвести обе части уравнения в квадрат
Выполнить алгебраические преобразования и решить рациональное уравнение  > g(x)  

 ≥ g(x)  

 ˅  
f (x) ˅ g(x).
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
Вид Способ решения Вид Способ решения
Показательные уравнения Логарифмические уравнения
1 Простейшие уравнения
af(x)=bf(x) = logablogaf(x)=bf(x) = ab
ОДЗ: f(x)>02 Уравнения, решаемые методом уравнивания
af(x)=ag(x)Прологарифмируем
по основанию а
logaaf(x)=logaag(x)получим
f(x) = g(x) logaf(x)=logag(x)Пропотенцируем
по основанию а
alogaf(x)=alogag(x)получим
f(x) = g(x)
ОДЗ: f(x)>0g(x)>03 Уравнения, решаемые методов введения новой переменной
φ(afx)=0Замена: afx=tφt=0φ(logaf(x))=0Замена: logaf(x)=tφt=0
ОДЗ: f(x)>0
Показательные неравенства Логарифмические неравенства
1 Простейшие неравенства
af(x)>bесли a>1f(x)>logabзнак сохраняем
если 0<a<1f(x)<logabзнак меняем logaf(x)>bесли a>1f(x)>ab знак сохраняем
если 0<a<1fx<abfx>0знак меняем
2 Неравенства, решаемые методом уравнивания
af(x)>ag(x)если a>1fx<g(x)
если 0<a<1fx<g(x)logaf(x)>logag(x)если a>1fx>gxfx>0g(x)>0если 0<a<1fx<gxfx>0g(x)>03 Неравенства, решаемые методов введения новой переменной
φafx>0Замена: afx=t φt>0φ(logaf(x))>0Замена: logafx=tφt>0fx>0Понятие стереометрии.
Аксиомы стереометрии и следствия из них
Планиметрия – геометрия на плоскости
Стереометрия – геометрия пространства (греч. «стереом»-объёмный, «метрио»-измерять).
Основные неопределяемые понятия:
точка (A,B,C,…),
прямая (a,b,c, AB,AC,…)
плоскостьABC,MNK,…),
перемещение ()Аксиома – математическое предложение, которое нельзя доказать, принимается очевидным.
Теорема – математическое предложение, которое можно доказать с помощью аксиом или других теорем.
Аксиома 1 Через две различные точки пространства проходит
единственная прямая
Аксиома 2 Если две различные точки прямой принадлежат
плоскости плоскости, то и вся прямая принадлежит
этой плоскости 552453429000
Аксиома 3 Через три точки, не лежащие на одной прямой
проходит единственная плоскость. 552452921000
Аксиома 4 Если две плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой проходящей через эту точку.
-1905-889000
Следствие 1 Через прямую и точку вне её проходит единственная
плоскость 23495254000
Следствие 2 Через две пересекающиеся прямые проходит
единственная плоскость -19055334000
Следствие 3 Через две параллельные прямые проходит
единственная плоскость -6354699000
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельные
прямые Пересекающиеся
прямые Скрещивающиеся
прямые
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
99060571500
Две прямые в пространстве
называются пересекающимися,
если они имеют только одну
общую точку.
355609588500
22669564579500Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Ø
ab
Ø
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Прямая
параллельна
плоскости Прямая
принадлежит
плоскости Прямая
пересекает
плоскость
Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются
990602921000
11049059753500Прямая принадлежит плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. 5524554991000Прямая пересекает плоскость, если имеет с плоскостью только
одну общую точку

Ø,



Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Параллельные
плоскости Пересекающиеся
плоскости
Две плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются.
6191256604000
Две плоскости называются пересекающимися если
они имеют общую точку
3079752984500

Ø

Параллельность прямых и плоскостей
Признаки параллельности прямых в пространстве
Теорема 1 Через точку вне прямой можно провести прямую параллельную данной и притом только одну
-876306667500
Теорема 2 Две прямые параллельные третьей прямой параллельны друг другу
103523604700
Признак параллельности прямой и плоскости
Теорема
Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой в этой плоскости, то она параллельна и самой и самой плоскости Обратная теорема
Если плоскость проходит через прямую параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой-6540518097500
Свойства параллельных плоскостей
Теорема 1 Если две параллельные прямые плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
254635317500
Теорема 2 Если две плоскости параллельны
третьей, то они параллельны между
собой
101603048000
Теорема 3 Отрезки параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями равны -209551460500
Теорема 4 Через точку вне прямой плоскости можно провести плоскость параллельную данной, и при том только одну
-2095512509500
Признак параллельности плоскостей
Теорема
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны 222255461000
Параллельное проектирование
Пусть , a – проецирующая прямая
– плоскость проекций


Точка – параллельная проекция точки O
ABCD – фигура,

-параллельная проекция фигуры АBCD 13525510287000
Свойства параллельного проектирования:
1. Проекция прямой (отрезка) есть прямая (отрезок)
2. Параллельные прямые (отрезки) изображаются параллельными прямыми (отрезками)
3. Отношения отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых сохраняются
4. Размеры отрезков не сохраняются
5. Размеры углов не сохраняются Изображение фигур – любая фигура, подобная параллельной
проекции данной фигуры на некоторую плоскость.
Форма изображения зависит от:
положения оригинала относительно плоскости проекции;
выбора прямой, параллельно которой выполняется проектирование.
Изображение должно быть:
наглядным;
удобным для выполнения на нём дополнительных построений
Углы между прямыми и плоскостями
Угол между прямымиУгол – часть плоскости, ограниченная, двумя лучами, выходящими из одной точки.
450857683500
Угол между скрещивающимися прямыми – 21590000
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью – это наименьший из всех углов, образованный этой прямой с прямыми лежащими в плоскости Теорема
Угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость есть наименьший из всех углов, образованных этой прямой с прямыми лежащими в плоскости 584202222500
Угол между плоскостями
Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями имеющими общую границу
грани угла (полуплоскости)
a – ребро угла (общая граница)
Двугранный угол измеряется про помощи линейного угла 692154889500
Линейный угол двугранного угла (ЛУДУ) – угол, образованный двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла проведёнными из одной точки ребра к его граням ЛУДУ
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу
215902667000
.Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямыхДве прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они образуют прямые углы ().46990-381000
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной к этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости Теорема
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости
Перпендикуляр и наклонная к плоскости

перпендикуляр к плоскости
O – основание перпендикуляра
,
наклонная к плоскости
основание наклонной
проекция (ортогональная) наклонной AB на плоскость Перпендикуляр, проведённый у данной точки плоскости меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости
Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из данной точки к плоскости. -254018097500
Теорема о трёх перпендикулярах
Т.Т.П.
Прямая, проведённая к плоскости через основание наклонной, перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной -4699015684500 Обратная Т.Т.П.
Прямая проведённая в плоскость через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции889022034500
Признак перпендикулярности плоскостей
Плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямой двугранный угол
260985889000 Теорема
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то данные плоскости перпендикулярны-133356731000
Связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей
Теорема 1 Два перпендикуляра к одной плоскости параллельны между собой
1206501587500
Теорема 2 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости
Теорема 3 Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных
плоскостей, перпендикулярна и к другой плоскости
-31750-381000
Теорема 4 Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны между собой Комбинаторика
Комбинаторика – это раздел теории вероятностей, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, удовлетворяющих некоторым условиям и подсчета числа всех возможных комбинаций.
Существует три типа комбинаторных задач:
1 Перестановки
2 Размещения
3 Сочетания
Перестановки Размещения Сочетания
Переставляем
из n элементов n Выбираем
из n элементов m
( порядок важен) Выбираем
из n элементов m
(порядок не важен)
Перестановки - всевозможные упорядоченные комбинации, состоящие из n различных элементов. Размещения - всевозможные упорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов. Сочетания - всевозможные неупорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов.
Р – первая буква французского слова
permutation – «перестановка». А– первая буква французского слова
arrangement– «размещение». С– первая буква французского слова
combinaison – «сочетание».
Теорема 1
Число перестановок из n элементов равно n!

или


Теорема 1
Число размещений из n элементов по m элементов равно произведению m последовательных натуральных чисел от n до n+m-1 включительно, т.е.

или
Теорема 1
Число сочетаний из n элементов по m элементов равно произведению всех натуральных чисел от n до n-m+1 включительно, деленного на m, т.е. или

Свойства

Свойства


, , Свойства

,
,
Теорема 2 (с повторениями)
Число перестановок из n элементов с повторениями n1, n2, … видов элементов вычисляется по формуле
Теорема 2 (с повторениями)
Число размещений m элементов с повторениями из n элементов вычисляются по формуле

Теорема 2 (с повторениями)
Число сочетаний m элементов с повторениями из n элементов , вычисляется по формуле

При решении комбинаторных задач используют следующие правила:
Правило суммы
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов s способами, а другой объект B может быть выбран t способами, то выбрать объект A либо B можно (s+t) способами
Правило произведения
Если объект A можно выбрать из совокупности объектов s способами и после каждого такого выбора можно выбрать объект B t способами, то объект A и B можно выбрать способами
Векторы и координаты
Сложение двух векторов
Правило треугольника:  =  + .

Правило параллелограмма:  =  + .

Для любых трех точек А, В, С справедливо соотношение:
+  = 
3539490-45720000
Вычитание векторов
 +  = ⇒  =  – 
Вектор  можно найти также, складывая с вектором  вектор — , противоположный вектору :  = + (–)
Координаты вектора
Координатами вектора называются разности координат конца и начала вектора.
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
У равных векторов соответствующие координаты равны
На плоскости В пространстве
Координаты вектора (аx; ay): 
аx = x2 – x1;
ay = y2 – y1.
Модуль вектора:
|| = .
Координаты вектора (аx; ay; az): 
аx = x2 – x1; 
ay = y2 – y1; 
az= z2 – z1.
Модуль вектора:
|| = .
Действия над векторами в координатном представлении
На плоскости В пространстве
Сложение векторов: =+
cx = ax + bx cy = ay+ by cx= ax + bx cy = ay+ by cz= az + bzВычитание векторов: =  – 
cx = ax–bx cy = ay–by cx = ax–bx cy = ay–by cz= az–bzУмножение вектора на число: = λ
x = λax y = λayx = λax y = λay z = λazСкалярное умножение векторов: s =  · 
s = axbx + aybys = axbx + ayby + azbzОси координат:
ось x — ось абсцисс,
ось y — ось ординат,
точка О — начало координат
Любой точке плоскости сопоставляются два числа: абсцисса x0 и ордината y0
Эти числа называются декартовыми координатами данной точки
Уравнения прямойОбщее уравнение прямой
Частные случаи:
1) C=0; A≠0; B≠0 - проходит через начало координат Ax+By=0
2) A=0; B≠0;C≠0 - параллельна оси Ox By+C=0 (или y=b, где b=-C/B)
3) B=0; A≠0; C≠0 - параллельна оси Oy Ax+C=0 (или x=a, где a=-C/A)
4) B=C=0; A≠0 - совпадает с осью Oy Ax=0 (или x=0, поскольку A≠0)
5) A=C=0; B≠0 - совпадает с осью Ox By=0 (или y=0, поскольку B≠0)
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом
здесь k=-A/B, b=-C/B
k=tg α, где α – угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ox. Свободный член уравнения b равен координате точки пересечения промой оси Oyy=kx+b
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку
Уравнение прямой в отрезках на осях
здесь a=-C/A, b=-C/B
- абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox, b-ордината точки пересечения прямой с осью Oy
Уравнение прямой, проходящей через две точки
QUOTE M1 (x1;y1) и QUOTE M2 (x2;y2)
Угловой коэффициент этой прямой
Каноническое уравнение прямой
Угол между прямыми
Острый угол между прямыми QUOTE y=k1x+b1 и QUOTE y=k2x+b2
Условие параллельности прямых
Условие перпендикулярности прямых
Если ,то координаты точки пересечения прямых QUOTE A1x+B2y+C=0 и QUOTE A2x+B2y+C2=0 находятся путем совместного решения уравнений этих прямых
Расстояние от точки QUOTE M (x0;y0) до прямой Ax+By+C=0


Уравнения окружности
Уравнение окружности
с центром в начале координат радиуса R x2 + y2 = R2
Уравнение окружности
с центром в точке O(a, b) радиуса R (x – a)2 + (y – b)2 = R2
Основные понятия тригонометрии
Слово «тригонометрия» происходит от трёх греческих слов, которые в переводе на русский язык означают: «три»-«угол»-«измерять». Это связано с тем, что первой тригонометрической задачей была такая: если в треугольнике известно три стороны, то как найти все его углы
Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящие из одной точки (вершины угла).
Угол в 1º - центральный угол, длина дуги которого равна части окружности.
Угол в 1 радиан – центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Если длина окружности C = 2πR, тогда в окружности – радиан, то есть в общем виде
в 1º = ≈ 0,017 радиан
в 1 рад = ≈ 57º17′45″
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно
Пусть - градусная мера угла, - радианная,
тогда справедливы формулы:
,
Решение треугольников
Прямоугольный треугольник Косоугольный треугольник
12325356159500
Теорема Пифагора

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе
Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему
Котангенс угла – это отношение прилежащего катета к противолежащему
Сумма острых углов равна : Теорема синусов
в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов

Теорема косинусов
квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.



Сумма всех углов равна
Основные тригонометрические формулы
Тригонометрические тождества

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Формулы двойного угла
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы половинного угла
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы сложения
Формулы приведения
1. Если к аргументу функции прибавить (или отнять) целое число (то есть ), то функция не меняется.
2. Если к аргументу прибавить “половинное” число (то есть ), то функция меняется на кофункцию.
3. Знак правой части определяется знаком левой.
Знаки тригонометрических функций

Тригонометрический круг
-6343656110605003299460603059500
Значения тригонометрических функций
радианы sin cos tgctgградусы

-----



-----
-----
-----

-----
Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение Геометрическое представление Общее решение Частные случаи


α ∈ [-1;1] X 1 = arcsinα + 2πn, n є Z
X 2 = –arcsinα + π + 2πn, n є Z
Общий вид:


α ∈ [-1;1] X 1 = arccosa + 2πn, n є Z
X 2 = –arccosa + 2πn, n є Z
Общий вид:


X 1 = arctgα + 2πn, n є Z;
X 2= arctgα + π + 2πn, n є Z
Общий вид:



X 1= arcctgα + 2πn, n є Z
X 2= arcctgα+π + 2πn, n є Z
Общий вид:

Основные свойства функции
Свойство функции Геометрически Аналитически График функции
Область определения функции
- это множество значений аргумента, при которых функция определена Проекция графика функции на ось Оx Область значений функции
- это множество чисел, состоящее из всех значений функции Проекция графика функции на ось Оy Чётность, нечётность.
Функция называется четной, если при замене любого значения аргумента из области определения на противоположное, значение функции не меняется.
Функция называется нечетной, если при замене любого значения аргумента из области определения на противоположное, значение функции меняется на противоположноеГрафик функции
симметричен относительно оси Оyf(-x) = f(x),

График функции
симметричен относительно начала координат f(-x) = -f(x),
Периодичность.
Функция называется периодической, если существует такое число Т, что для любого значения аргумента х из области определения числа хТ также принадлежат этой области определения и выполняется равенство:
f (xT) = f(x) График функции повторяется через расстояние, равное числу Тf (xT) =f (x),
, Нули функции
-точки, в которых значение аргумента и значение функции соответственно равны нулю

Точки пересечения с осями координат. Координаты решений уравнений:
y = f(0); 0 = f(x).
(0;y1); (x1;0); (x2;0);… Промежутки знакопостоянства
- множества значений аргумента, для которых функция положительна (либо отрицательна) Интервалы оси Ох, соответствующие точкам графика, лежащим выше (или ниже) этой оси f(x) > 0

f(x)<0
Промежутки монотонности.
Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции Интервалы оси Ох, где график функции
идёт вверх
(или вниз) Точки экстремума
- точки лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значения по сравнению со значениями в близких точках
Около точек экстремума график функции выгибается
как горб, направленный
вверх или вниз. max – (x2;y3)
min – (x1;y2)
min – (x3;y1)
Наибольшее и наименьшее значения функции
- это такие значения функции, которые не меньше (или не больше) значений этой функции в других точках
Ординаты самой высокой и самой низкой точек графика точка (x1;m) – наименьшая,
точка (x2;М) – наибольшая.

Непрерывность, точки разрыва, асимптоты
Точки разрыва – точки, около которых значения функции совершают скачок. Функция называется непрерывной, если у неё нет точек разрыва.
Асимптота – прямая, к которой график по направлению приближается, но не пересекает её
Функция имеет
(или не имеет) разрыв y = f(x) – непрерывна,
y = g(x) –имеет разрыв в точке А
х=а – асимптота,
А – точка разрыва Обратимость
Функция y = f(x) называется обратимой, если зависимость x=f(y) также является функцией.
Функции y = f(x) и x=f(y) – взаимно-обратные Графики взаимно обратных функций
симметричны относительно начала координат y = f(x) – прямая функция,y = g(x) - обратная функция



Простейшие преобразования графиков функций
Общий вид функции Преобразование Правила Графическое изображение
y = f (x + a) Параллельный перенос вдоль
оси Ох График функции y = f (x + a) получается с помощью параллельного переноса графика функции y = f (x) вдоль
оси Ох на а единиц в направлении, противоположном знаку числа а
если « + а » - влево
если « - а » - вправо
y = f (x) + b Параллельный перенос вдоль
оси ОуГрафик функции y = f (x) + b получается с помощью параллельного переноса графика функции y = f (x) вдоль оси Оy на b единиц в направлении, имеющем знак числа b
если « + b » - вверх
если « - b » - вниз
y = - f (x) Симметрия относительно
оси Ох График функции y = - f (x) получается с помощью симметрии графика функции y = f (x) относительно оси Ох
y = f (- x) Симметрия относительно
оси ОуГрафик функции y = f (-x) получается с помощью симметрии графика функции y = f (x) относительно оси Оу
y = f (аx) Сжатие (растяжение)
вдоль оси Ох График функции y = f (аx) получается с помощью сжатия графика функции
y = f (x) в а раз вдоль оси Ох
при а > 1 — сжатие графика к оси ординат в а раз,
при 0 < а < 1 — растяжение графика от оси ординат в а раз
y = b f (x) Растяжение (сжатие)
вдоль оси ОуГрафик функции y = b f (x) получается с помощью растяжения графика функции y = f (x) в b раз вдоль оси Оупри b > 1 — растяжение графика
от оси абсцисс в b раз,
при 0 < b < 1 — сжатие графика
к оси абсцисс в b раз
Преобразования
с модулем Для построения графика функции нужно построить график функции y = f (x) для х > 0, а затем отобразить построенный график симметрично относительно оси Оупри — график остаётся без изменений,
при x < 0 — график симметрично отражается относительно оси ординат
Преобразования
с модулем Для построения графика функции нужно построить график функции y = f (x) и отобразить относительно оси Ох те части графика, которые расположены ниже этой оси
при f(x) > 0 — график остаётся без изменений,
при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс
Графики степенных функций

Квадратичная функция
Квадратичная функция - функция вида , где числа и
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола.
Если , то ветви параболы направлены вверх,
если , то ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы вида :
,

x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
Построение графиков квадратичной функции
Для построения графика функции , где a 0данную функцию приводят к стандартному виду с помощью преобразований трёхчлена, которые называются выделением полного квадрата
220599029337000346329029337000ax2+bx+c = a ( x2 + x +) = a [(x2 + 2x + ()2 - ()2 + ] =
22059905905500
2243455-10160000= a [( x2 + 2x + ()2 ) - ] = a [( x +)2 - ] = a ( x +)2 ,
обозначив , данную функцию можно представить в стандартном виде:
1973580151130001478280151130008763015113000 y = a ( x + m )2 + n

a - коэффициент
растяжения вдоль оси Оу , m - параллельный n - параллельный
причём при перенос вдоль перенос вдоль
а > 0 - ветви вверх, оси Ох оси Оу.
а < 0 - ветви вниз
Графики обратных тригонометрических функций
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctg x
y = arcctg x
Дробно-линейная функция
Дробно-линейная функция – функция вида
 
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0
Графиком дробно-линейной функции является гипербола
x 1 2 1/2 - 1 - 2 - 1/2
y 1 1/2 2 - 1 - 1/2 - 2

Для построения графика функцииданную функцию приводят к стандартному виду с помощью преобразований:

обозначив ,,данную функцию можно представить в стандартном виде:
8001015367000187071025844500140398536322000
k - коэффициент
растяжения, m - параллельный n - параллельный
причём при перенос вдоль перенос вдоль
k > 0 – 1,3 четверть оси Ох оси Оуk < 0 – 2,4 четверть

x 1 k
y k 1
Графики показательной и логарифмической функций


Графики тригонометрических функций
.y = sinx - синусоида
y = tgx - тангенсоида

y = cosx - косинусоида
y = ctgx - котангенсоида
Графики обратных тригонометрических функций
y = arcsin x
y = arccos x

y = arctg x
y = arcctg x

Графическое решение уравнений и неравенств
Даны следующие уравнения и неравенства

Решением данных уравнений и неравенств будут:
абсциссы точек пересечения графика функции

с осью OX абсциссы точек пересечения графиков функций
промежутки оси OX, в которых точки графика функции

лежат выше этой оси промежутки оси OX,
в которых график функции
лежит выше графика функции
Многогранники
Призма - многогранник, две грани которого равные n — угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы
Два n — угольника являются основаниями призмы, параллелограммы — боковыми гранями. Стороны граней называются ребрами призмы, а концы ребер — вершинами призмы.
Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы.
Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани.
Прямая призма - призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований
Наклонная призма- призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований
Правильная призма - прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Параллелепипед - призма, все грани которой — параллелограммы.
Прямой параллелепипед - параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

1003935-75692000Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда
1270-134366000Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: 
d² = a² + b² + c², где a,b,c— длины ребер, выходящих из одной вершины, d — диагональ параллелепипеда Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба — квадраты.
Пирамида - многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной
Многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники — боковыми гранями.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания.
Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.
Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.
215900014605000
1003935-1102360004445-107378500Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой.
AB= BC= AC= a, OD = r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, 
OA=R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC, 
SO=h — высота пирамиды, SD = l— апофема, — угол наклона бокового
ребра SA к плоскости основания,  — угол наклона боковой грани SBC к плоскости основания пирамиды.
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
Усеченная пирамида - многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники
Сечения многогранников
Сечение многогранника – многоугольник, полученный при пересечении многогранника некоторой плоскостью.
В тетраэдре сечениями могут быть только треугольники или четырехугольники, а в параллелепипеде – треугольники, четырехугольники, пятиугольники или шестиугольники.
Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника
Правила построения сечений:
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани. 
Метод следов:
Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.
Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)
Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.
То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры
Построение сечения куба, проходящее через точки
М, N, L




Тела вращения
Цилиндр - фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

1756410-153479500  — ось вращения; — высота, l — образующая; ABCD— осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольник а  вокруг стороны.
где R—радиус основания, h — высота,l— образующая цилиндра.
Конус - фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. OB — ось вращения; OB = h— высота, l — образующая; ΔABC — осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника OBC вокруг катета OB.

R — радиус основания, h — высота, l — образующая конуса.
Усеченный конус - часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
Сфера - фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.
Шар - фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.
Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом.
Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.

528955-125349000Сферический (шаровой) сегмент - часть сферы (шара), отсекаемая плоскостью. Высотой h шарового сегмента называется длина отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (AB = h).
Шаровой сектор - тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов. Высотой шарового сектора называется высота части его сферической поверхности
Объемы и площади поверхностей
Название геометрического тела Чертеж Формула объема Формула площади боковой поверхности Формула площади полной поверхности
Прямая
призма Sδ=Pосн∙HSn=S0+2SоснНаклонная призма
Sδ=P⊥сеч∙aSδ=Pосн∙HSn=Sδ+2SоснПараллелепипед
sδ=Pосн∙H
Sδ=P⊥сеч∙aSn=Sδ+2SоснПрямоугольный параллелепипед Sδ=2ca+bSn=Sδ+2SоснSn=2ab+bcоснКуб Sδ=4a2Sn=6a2Пирамида Sδ=∑SбоковSn=Sδ+SоснПравильная пирамида
Sδ=Pосн∙h0S0=Sδ+SоснУсеченная пирамида V=13Sn+SnSn+SnSδ=∑SбоковSn=Sδ+Sn+SnПравильная усечённая пирамида V=13Sδ+SδSn+SnSδ=Pосн+Pниж∙НаSn=Sδ+Sb+SnЦилиндр V=πR2∙HSδ=πR2HSn=2πH+RКонус Sδ=πRLSn=πRR+LУсеченный конус S0=πRn+RnLS0=Sa+πR2ШарСфера S=πR2Шаровой сегмент S=2πRHШаровой
сектор S=2πRH+πR2RH-HПредел функции
Число А называется пределом функции y = f () в точке =, если при любых значениях , сколь угодно близких к числу (), значение функции f () становится сколь угодно близким к числу А: f () = f ()
Основные теоремы о пределах:
1 =
2 c= c, c – const
3 cx = cx
4
5
6
7 = ()
Функция - называется бесконечно малой при , если .
Функция- называется бесконечно большой при , если .
Число А называется пределом функции на бесконечности, если при всех достаточно больших значений х разность есть бесконечно малая функция
Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов:
а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:
формулы сокращенного умножения,
вынесение общего множителя за скобки,
группировку,
преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета; т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), где x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,
преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),
умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение то путем умножения на избавляемся от корней, т.к.
б) использовать первый замечательный предел, т.е. формулы ,
в) использовать эквивалентные бесконечно малые (при ), т.е. формулы
,,, ,,,, ,,,
разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х
и применить второй замечательный предел, т.е. формулы и
[∞-∞] и[0-0] заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила
Правило Лопиталя:
Производная
Производная функции y = f(x) в точке х0
– это предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю, т.е.

Таблица производных
1 6 11 15
2 7 12 16
3 8 13 17
4 9 14 18
5 10 Правила для вычисления производных
1 2 3 4
5 Если , где , т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то функция у называется сложной функцией от х:
Дифференцирование функции - операция нахождения производной данной функции Физический смысл производной: производная есть мгновенная скорость изменения функции или Геометрический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке: y/ = k = tga
Уравнение касательной: Уравнение нормали:
Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка
или
Ускорение: или Производные, начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются .
Производная n-го порядка
– это производная от производной (n –1)-го порядка, т.е
Дифференциал функции y=f(x)
в точке х0 – это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента . Обозначается
Дифференциал аргумента

Формула нахождения дифференциала
Формула для приближенных вычислений

Исследование функции с помощью производной
1 Область определения функции
Рациональная, то
Дробно-рациональная f(x) = , то из условия что
Иррациональная f(x) = , то т.к.
Логарифмическая f(x) = , то т.к.
2 Чётность, нечётность функции Чётная, если f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Oy.
Нечётная, если f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
3 Точки пересечения с осями координат
Ox Oy
y=0 x=0
(x1;0), (x2;0),… (y;0)
4 Асимптоты
Асимптота - прямая, к которой график по направлению приближается, но не пересекает её
Вертикальные Горизонтальные Наклонные
x = const y = const y = kx + b
из D(y)

5 Промежутки монотон -ности и точки экстремума функции а) найти производную
б) либо (с учётом D(y))
в) найти …- критические точки первого рода
5422907620006159516637000
33667703689350025717503879850069977034036000444534036000315722023050500144716524003000232854524003000504190240030006159529273500 - разрыв + max - перегиб - min +

17272005270500 х 1 х2 х3 х4

г) ;; 6 Промежутки выпуклости и точки перегиба функции
а) найти вторую производную
б) либо (с учётом D(y))
в) найти …- критические точки второго рода
5422907620006159516637000
315722023050500144716524003000232854524003000504190240030006159529273500 - разрыв - перегиб + + перегиб -

х1 х2 х3 х4
г) ;
7 Построение графика
а) определить на координатной плоскости область определения функции, отметив промежутки либо точки разрыва
б) отметить точки пересечения с осями координат
в) построить асимптоты,
г) отметить точки максимума, минимума и перегиба
д) с помощью отмеченных точек и рисунков сделать эскиз графика и
определить, какие дополнительные точки и сколько необходимо взять для более точного построения графика, учитывая при этом чётность - нечетность функции
е) вычислить значения функции для дополнительных точек, отметить эти точки на плоскости
ж) построить график функции
Неопределённый интеграл
Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x), что
Неопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x) для функции f(x):
Интегрирование – это отыскание первообразной функции по ее производной,
действие обратное дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла
1 4
2 5
3 Методы интегрирования
1 Метод непосредственного интегрирования заключается либо в прямом использовании таблиц интегралов, либо сначала применяются основные свойства неопределенного интеграла, а также производятся элементарные тождественные преобразования, а затем данный интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам
2 Метод интегрирования подстановкой
Замена:,
3 Метод интегрирования по частям
Применяется к интегралам вида: ,
где Р(х) – многочлен,,
в эти интегралах u=P(x);
или к интегралам вида
где R(x) – рациональная функция, здесь .
Таблица интегралов
1 10 18
2 11 19
3 12 20
4 13 21
5 14 22
6 15 23
7 16 24
8 17 25
9 Определенный интеграл
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a,b] где
Формула Ньютона-Лейбница

Правило вычисления определённого интеграла:
для того, чтобы вычислить определённый интеграл необходимо сначала найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем в полученное выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, и из первого результата вычесть второй.
Основные свойства определенного интеграла
1 4
2 5
3 , где Геометрический смысл определенного интеграла
Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ох и прямыми х=а; х=b, где на отрезке

Объем тела вращения:


Алгоритм решения задач на нахождение площади плоской фигуры:
1 Построить графики заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры
2 Найти пределы интегрирования по чертежу (при необходимости решить уравнение )
3 Вычислить площадь заданной фигуры по формуле
4 Проверить результат вычислений по чертежу.
Теория вероятностей
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при неоднократном повторении каждый раз протекают по-разному.
Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или
нет. События обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,С...
Виды событий:
Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно
произойти Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти
Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или не может
произойти
Несовместные события - события, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого Совместные события - события, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого Равновозможные события - события, если нет оснований считать, что одно из них
происходит чаще, чем другое
Противоположные события - два несовместных события А и Ā (читается «не А»), если в
результате испытания одно из них должно обязательно произойти
События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно
произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания
Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.
Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).
Классическое определение вероятности:
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных несовместных исходов n:
Р(А)=m/n
Свойства вероятности:
1 Вероятность случайного события А находится между 0 и 1, т.е. 0<Р(А)<1
2 Вероятность достоверного события равна 1
3 Вероятность невозможного события равна 0
Условная вероятность – вероятность наступления событий, вычисленная в предположении, что событие уже произошло
Теоремы сложения вероятностей Теоремы умножения вероятностей
1 Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). 1 Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
2 Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В). 2 Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного
из них на условную вероятность второго при условии первого:
P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)
Формула полной вероятности Формулы Байеса Формула Бернулли

Случайная величина
Случайная величина - величина, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.
Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение – соответствующими строчными буквами x, y, z. Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счётное
множество значений Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определённом интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно.
Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Значение случайной величины х1 х1 х2 … хn
Вероятности значений р1 р1 р2 … рn
р1 + р2 + …+ рn = ∑ pi = 1 Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X < x).
Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т. е
F(xi) = P (X < xi) = ∑ P(xi) График функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причём при переходе слева к точкам разрыва функция сохраняет своё значение. Сумма величин всех скачков функции F(x) равна 1.
Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности:
Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия случайной величины Х -математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х), обозначают D(X), т.е. D(X) = M(X – M(X))2 или

Формула для вычислений
D(Х) = М(Х2) –М2(Х) Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания:
(Х) =


Математическая статистика
Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности
Задача математической статистики: дать оценку полученной на основе опытных данных, вероятности исследуемого события
Статистические данные - сведения о числе объектов какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками Генеральная совокупность - совокупность всех исследуемых объектов Выборочная совокупностью (или выборка) - совокупность случайно отобранных
объектов из генеральной совокупности
Объём выборки - число объектов выборочной или генеральной совокупности
Размах выборки -разность между наибольшим значением числовой выборки и ее наименьшим значением. Мода – это значение признака выборки, имеющее наибольшую частоту
Медиана - это значение, занимающее середину упорядоченного ряда, а в случае четного количества равное среднему арифметическому двух средних значений ряда
Варианты - наблюдавшиеся значения хi, признака X
Вариационный ряд - выборка, представляющая собой неубывающую последовательность чисел, выборочный аналог ряда распределения
Частота - число членов совокупности с данной вариацией, т.е. повторяемость признака хi Сумма всех частот равна п.
Относительная частота - отношение частоты к объему выборки Wi = ni /n — выборочный аналог вероятности pi появления значения xi случайной величины X.
Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная (расположенная в порядке возрастания или убывания) совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами пi или относительными частотами рi Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.
Функция распределения - функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)=Р(Х>x) Полигон частот - ломанная, отрезки которой соединяют точки (xi ;ni).
Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi; Wi).
Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n,/h (плотность частоты). При большом объеме выборки более наглядное представление дает гистограмма
Статистическое распределение – это таблица, в первой строке которой записаны все различные значения выборки в порядке возрастания, а во второй строке указаны соответствующие им частоты
Статистические оценки распределения
Выборочная средняя
(выборочное математическое ожидание) - среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
Если все значения признака выборки объема различны, то:
Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то Выборочная дисперсия
- среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .
Если все значения признака выборки объема различны, то
6667557277000Если же значения признака имеют частоты , ,то
Выборочное среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из
выборочной дисперсии
635086296500
Системы линейных уравнений
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Системы трёх линейных уравнений
с тремя неизвестными

Матрица 5822957239000 8591555334000
Определители




;
;

Схема вычисления 97790080645005276858064500 1714500300355001943100717550017145007175500171450071755001714500717550019431003003550017145007175500102870071755009144003003550012573007175500102870071755001257300717550010287003003550010287007175500
Формулы Крамера
Литература
Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков.- 7-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2014.- 256 с.
Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования /М.И. Башмаков.-5-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия»,2014.- 416 с.
Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков.- М.: Издательский центр «Академия», 2014.- 208 с.
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. ] -20-е изд.- М.: Просвещение, 2014.- 464с: ил.
Атанасян Л.С. Геометрия 10-11: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]- 22-е изд.- М: Просвещение, 2013.- 225 с: ил.
Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателей: методическое пособие для НПО, СПО М.И. Башмаков - М.: Издательский центр «Академия», 2013.- 224с.
Богомолов Н.В Математика: учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 11-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2014.- 395,[5] с.: ил.
Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни / [С.М Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников. А.В. Шевчук] - 4-е изд., стер.- М. Просвещение, 2014.- 431с: ил.
Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни / [С.М Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников.А.В. Шевчук] - 4-е изд., стер.- М. Просвещение, 2014.- 464с: ил.
http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
http://www.school.edu.ru/ - Российский общеобразовательный портал
http://www.uchportal.ru – Учительский портал
http://free-math.ru/ - Свободная математика
www.edu.ru - Российское образование. Федеральный портал
www. fcior. edu. ru - Информационные, тренировочные и контрольные материалы