Научно-исследовательская работа Математическое моделирование на школьном участке

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №2 г. Нижний Ломов
Исследовательская работа на тему:
«Математическое моделирование
на школьном участке»

Выполнила:
ученица 10«К»класса
МБОУ СОШ №2
г. Нижний Ломов
Акмашева Олеся
Руководитель:
Воробьева
Ольга Владимировна,
учитель математики
г.Нижний Ломов, 2016
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………………….3
1.Розы Гвидо Гранди
1.1.Кто же такой Гвидо Гранди?..............................................................
1.2.Историческая справка о розах Гвидо Гранди………………………
1.3.Разнообразие роз Гвидо Гранди……………………………………..
1.4. Общие свойства роз Гвидо Гранди…………………………............
1.5.Применение……………………………………………………………
2. Проект дизайна школьной клумбы………………………………………
3. Заключение………………………………………………………………..
4. Источники информации………………………………………………….
ВВЕДЕНИЕ
«Математик, так же, как и художник
или поэт, создаёт узоры»
Г. Харди

Математика-это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии являются основой математического моделирования и дизайна.
Появление математического дизайна смело можно связать с именем итальянского геометра Гвидо Гранди (1671-1742). В математике Гранди известен своей работой Floresgeometrici (1728), изучавшей розы-кривые, которые имеют форму цветочного лепестка.
Цель работы:
-изучить разнообразие «роз» Гвидо Гранди и применить полученные знания на практике при разработке дизайна школьной клумбы.
Гипотеза:
- разнообразие «роз» Гвидо Гранди и их свойств можно применять в ландшафтном дизайне
Задачи:
-Установить связь между количеством лепестков, их формул и симметричностью получившегося рисунка.
-Получить большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди.
-Спроектировать композицию из цветов на школьной клумбе, используя полученные знания.
Для решения этих задач были использованы следующие методы:
1. Теоретические:
анализ литературы, информационных источников.
2. Практические:
построение кривых Гранди при различных параметрах в декартовых и полярных координатах;
вывод общих свойств роз Гранди;
сравнительный анализ данных.
3. Презентация работы:
презентация результатов исследования на общешкольной научно-исследовательской конференции;
презентация работы в классе, в школе на мероприятиях в рамках недели математики и физики.
РОЗЫ ГВИДО ГРАНДИ
47377353238500 В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742)
создал кривые линии с правильными плавными очертаниями.
Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было
названо семейством роз Гвидо Гранди. Их правильноеочертание- это не каприз природы.Они предопределены
математическими зависимостями. Эти зависимости были
подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев
абрис листа или цветка представляет собой кривую,
симметричную относительно оси.
Розы Гвидо Гранди - семейство кривых, имеющих общее полярное уравнение
r=asinkφ, где a и k- некоторые положительные числа.
В прямоугольной системе координат в уравнении r= asin(bk) значение a отвечает за длину лепестков, а значение b- за количество и форму.
При k нечётном роза состоит из k лепестков, при k чётном-из 2k лепестков; при k рациональном лепестки частично покрывают друг друга, а при иррациональном k роза имеет бесконечное количество лепестков.
РАЗНООБРАЗИЕ РОЗ ГВИДО ГРАНДИ
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a.)
 Возьмём для начала любое n и k-чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков 2k, и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности n. Кривые симметричны относительно оси ординат, оси абсцисс и начала координат.

Если мы возьмём любое n и k-нечётное число, то получим цветок из k лепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз.  Это зависит от значения k. Вниз лепесток будет направлен при k=3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k=5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.

Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin((c/b)*a).
Мы замечаем, что количество лепестков стало зависеть от c и b.Если c=1, а b=2 получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды, "наползшие" друг на друга. Если b=3, то мы получим кардиоиду с петлей "внутри себя". Если b>3 мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида(1 или 2). Если c>b, c-любое нечётное число, b-любое нечётное число иполучившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» из c-лепестков, у которого они находят друг на друга. При c=5 и при всех последующих нечётных числах  через одни один лепесток «розы» будет направлении вниз по оси ординат. По аналогии, при c=7 и при всех последующих  нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси ординат. Кривая симметрична относительно оси ординат.

Если c>b, c-любое чётное число, b-любое нёчетное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством 2c. Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.

Если мы зададим значения c>b, c-любое нечётное число, b-любое чётное, и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2c. Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс. 
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)+m.
Если k-чётное число, и мы будем прибавлять |m|>5, то наша «роза» из 2k лепестков  будет переходить в  кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим.

Если k-нечётное число, и если будем прибавлять числа |m|>5, то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим.

ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов. В более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ϕ соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается ρ, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. Итак, положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки».
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.
ПЕРЕХОД ОТ ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
К ДЕКАРТОВОЙ

Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:
 x1 = ρ cosφ, y1 = ρ sinφ.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА РОЗ ГВИДО ГРАНДИ
Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как| sin(k | ≤1,то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза).
Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ , .
В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно
построить график для углов  в промежутке 0 ,
а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак,
пусть 0≤.
Если угол  изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно,  изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла  от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол  изменяется в пределах от до π и от  до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .Функция  — периодическая с периодом π, кроме того,
sin(2( , поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.
Функция  = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.
Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;
• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .
Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИЗАЙН
603251840230 С помощью выращенных цветов, различных кривых в полярных координатах и графических редакторов можно сделать, например, различные рисунки, рамки-орнаменты или украсить ими различные предметы. Орнамент -украшение, узор, состоящий из ритмически организованных повторяющихся элементов, которые композиционно могут образовывать орнаментальный ряд. Трудно встретить человека, не любовавшегося орнаментами. Один из примеров, это обои, которыми оклеивают стены. 

ПРОЕКТ ДИЗАЙНА ШКОЛЬНОЙ КЛУМБЫ
Я решила применить полученные при исследовании знания в ландшафтном дизайне и спроектировала клумбу на школьном цветнике.
Клумбу я представила в виде соцветия роз Гранди, выраженными уравнением кривой r=n*sin(k*a) с k=1, 2, 3, 5, 1/2, 3/2, 5/2 и 3/5. Построила данные кривые в редакторе Microsoft Exсel, задав соответствующие координаты.

Используя следующие «розы», получила эскиз клумбы.
-1905508000
-105029022161500-563308522098000
К=3/5
-92011538735000

В каждом из лепестков можно высадить цветы различных видов, высоты и раскраски, но это зависит от количества растений и фантазии сажающего.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе приведена классификация кривых Гвидо Гранди и описаны их основные свойства. Исследовав, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат r=n*sin(k*a)+m в зависимости различных значений параметров n, k, m, я установила связь между количеством лепестков, их формул и симметричностью получившегося рисунка. Когда я получала «розы» из четного количества лепестков, рисунок был симметричен относительно начала координат и осей координат. Если я получала цветы из нечётного количества лепестков, то рисунок был симметричен только оси ординат.
В ходе исследовательской работы получено большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди, которые дают фантазию для их применения. С помощью эскизов семейства кривых я создала проект клумбы, которую хочу выложить в цветнике на школьном участке.
В перспективе я хочу изучить построение каналовых поверхностей 3-Д-цветов.У этих поверхностей направляющейкривой служит винтовая спираль,а в нормальных плоскостях расположены известные плоские кривые, параметры которых изменяются по заданному закону.
  
а)  Окружность                            б) Астроида
  
в)  Трехлепестковая  роза        г)  Четырехлепестковая  роза
  
д)  Кардиоида  е)  Спираль  Архимеда
Но это уже тема следующего исследовательского проекта…
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ
1.Савелоа А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение
(справочное руководство).
2.Гильберд Д. Наглядная геометрия.
3.Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия.
4.Норден А.П. Дифференциальная геометрия.
5. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии.
6. http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html7. http://www.kontrolnaja.ru/dir/mathematics/241498. http://sibac.info/11124