Контрольная работа по геометрии по теме Объемы тел


Вариант № 11. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
right0002. Объем параллелепипеда  равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды .
3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA2B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.
5. Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вычислите объём пирамиды MPTA.
Вариант № 2
1. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 23,5.
2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
 

3.
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
4. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно  а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.
Вариант № 3
1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 13, объем пирамиды равен 52. Найдите длину отрезка .
2. От треугольной пирамиды, объем которой равен 40, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
 

4. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
5. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Вариант № 4
1.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 3. Объем параллелепипеда равен 63. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
2. Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
4. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
5. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно  а высота равна  вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Вариант № 5
1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
 
2.
В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 15 и отстоит от других боковых ребер на 8 и 15. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?
4. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Вариант № 6
1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 13, объем пирамиды равен 52. Найдите длину отрезка .
2. Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 3, а основание — прямоугольник со сторонами 5 и 3.
4. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
5. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Вариант № 1
1. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 45°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 45° и равно 5. Найдите объем параллелепипеда.
Решение.
Объем параллелепипеда , где  – площадь одной из граней, а  – длина ребра, составляющего с этой гранью угол . Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними. Вычислим объем:
 

 
Ответ: 2,5.
2. right000Объем параллелепипеда  равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды .
Решение.
Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда с рёбрами ,  и  и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды:
 

Ответ: 0,9.
3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение.
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 7, 4, 2 и 4, 3, 4:
 
.
Ответ: 104.
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA2B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.
Решение.
Отрезок A1D1 = AD. Тогда синус угла между прямыми A1D1 и AC равен синусу угла 

 
 
Ответ:0,6.
5. Правильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3. Вычислите объём пирамиды MPTA.
Решение.

Проведём высоту  треугольника . В тоже время  — высота пирамиды , опущенная из вершины  на плоскость основания .
 

 
Площадь треугольника  составляет  Следовательно,
 

 
Найдём объём пирамиды:
 

 
Ответ: 24.
 
Приведём другое решение:
 
 где  — середина 
 
Поскольку  — медиана треугольника   — его высота, значит,  кроме того,  (так как по условию ). Таким образом,  то есть является высотой пирамиды 



Ответ: 24.
Вариант № 2
1. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 23,5.
Решение.
Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высоты обеих частей одинаковы, поэтому объем отсеченной части в 4 раза меньше объема целой призмы, который равен 94.
 
Ответ: 94.
2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
 

Решение.
Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 1, 8, 6 и 1, 3, 1:
 
.
Ответ: 45.
3.
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Решение.
Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 1/2 исходного объема, поэтому объем детали равен 3 куб. см.
Ответ: 3.
4. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.
Решение.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка M является центром основания, а MS — высотой пирамиды SABC. Ее объем вычисляется по формуле . Тогда
.
 
Ответ: 1.
5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно  а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.
Решение.
Пусть  — высота треугольника . Тогда  по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме  и, значит,  Пятигранник  — четырехугольная пирамида с вершиной в точке  и основанием  — прямоугольной трапецией. Высота пирамиды  Площадь основания равна
 



Ответ: 3.
Вариант № 3
1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 13, объем пирамиды равен 52. Найдите длину отрезка .
Решение.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка О является центром основания, а OS — высотой пирамиды SABC. Ее объем вычисляется по формуле  равен . Тогда
 
.
Ответ: 12.
2. От треугольной пирамиды, объем которой равен 40, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение.
Объем пирамиды . Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как отсечённый треугольник в основании подобен исходному с коэффициентом 0,5), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза и равен 10.
 
Ответ: 10.
3. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
 

Решение.
Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, поэтому это куб с ребром 2. Площадь его поверхности равна 6 · 4 = 24.
 
Ответ: 24.
4. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.
 
Ответ: 75.
5. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Решение.
Пусть  — высота правильной четырёхугольной пирамиды  с вершиной  тогда треугольник  — прямоугольный,  откуда

Треугольник  — прямоугольный равнобедренный, следовательно,  В треугольнике  высота 
В равнобедренном прямоугольном треугольнике  высота 
Центр  сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте  точка  касания сферы и боковой грани  лежит на отрезке  Треугольники  и  подобны, поэтому

 
где  — радиус сферы.
Площадь сферы 
 
Ответ: 
Вариант № 4
1.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 3. Объем параллелепипеда равен 63. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Решение.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому, если x — искомое ребро, то 7  3  x = 63, откуда x = 3.
Ответ: 3.
2. Объем одного шара в 1331 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение.
Объемы шаров соотносятся как кубы их радиусов:
 
,
 
откуда  Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
 
.
Ответ: 121.
3. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.
Решение.
Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 13/20 исходного объема:
 

 
Ответ: 1755.
4. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.
Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро  формулой , поэтому при увеличении длины ребра на  площадь увеличится на 

 
Отсюда находим, что ребро куба равно
.
Ответ: 4.
5. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно  а высота равна  вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Решение.
Пусть — высота правильной шестиугольной пирамиды  с вершиной  тогда треугольник  прямоугольный,  откуда
 

 
Треугольник  равносторонний, следовательно,  В треугольнике  высота
 

 
В правильном треугольнике  высота 
Центр  сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду, лежит на её высоте  точка  касания сферы и боковой грани  лежит на отрезке  Треугольники  и  подобны, поэтому
 

 
где  — радиус сферы.
Площадь сферы 
Ответ: 
Вариант № 5
1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , ,  правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
 
Решение.
Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому
.
 
Ответ: 8.
2.
В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 15 и отстоит от других боковых ребер на 8 и 15. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Решение.
Площадь боковой поверхности призмы можно найти по формуле , где  — периметр перпендикулярного сечения, а  — длина бокового ребра.
Перпендикулярным сечением призмы будет прямоугольный треугольник с катетами 8 и 15. Гипотенузу его можно найти по теореме Пифагора, она равна 17. Тогда
 
, .
 
Следовательно площадь боковой поверхности призмы равна .
 
Ответ: 600.
3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?
Решение.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 16 раз, объём увеличится в 4096 раз.
 
Ответ: 4096.
4. Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
Решение.
Рассмотрим прямоугольник  в котором  является диагональю, = По теореме Пифагора
 

Значит, AD = 5.
 
Ответ: 5.
5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Решение.
Площадь основания призмы равна  а объём призмы равен 
В четырёхугольной пирамиде B1A1C1NM высота совпадает с высотой основания призмы A1B1C1, опущенной на сторону A1C1, и равна  Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен  то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна  Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен 
Многогранник ABCMB1N состоит из двух частей: BACNM и MNBB1. Значит, объём тетраэдра MNBB1 равен 
 
Ответ: 
Вариант № 6
1. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника  равна 13, объем пирамиды равен 52. Найдите длину отрезка .
Решение.
Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому, точка О является центром основания, а OS — высотой пирамиды SABC. Ее объем вычисляется по формуле  равен . Тогда
 
.
Ответ: 12.
2. Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
Решение.
Исходный и отсеченный конус подобны с коэффициентом подобия 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь отсеченного конуса в 4 раза меньше площади поверхности исходного. Тем самым, она равна 41.
 
Ответ: 41.
3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 3, а основание — прямоугольник со сторонами 5 и 3.
Решение.
Объем пирамиды с площадью основания  и высотой  равен
 
.
Ответ: 15.
4. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Решение.
Объемы шаров соотносятся как
 
,
 
откуда  Площади их поверхностей соотносятся как квадраты радиусов:
 
.
Ответ: 9.
5. В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.
а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.
б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.
Решение.
а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник  боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).
б) Введём обозначения как показано на рисунке. Пусть  — центр вписанной окружности, отрезок  — биссектриса угла  и пусть  имеем:
 

 
Тогда  Для площадей поверхностей конуса и шара имеем:  Тем самым, искомое отношение равно  или 8:3.
 
Ответ: 8:3.