Творческая работа Признаки делимости

ЧИСТЕНСКИЙ УВК «ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
I – III СТУПЕНЕЙ – ГИМНАЗИЯ»
НАПРАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИКА
«ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ»
Работу выполнил
ученик 7а класса
Журавлев Давид
Научный руководитель
специалист высшей категории
Федоренко Ирина Витальевна

Чистенькое, 2013
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Делимость чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Упрощение признака делимости на 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Признак делимости на 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Простые признаки делимости на простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Признаки делимости на 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Признаки делимости на 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Признаки делимости на 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Признаки делимости на 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Старое и новое о делимости на 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Распространение признака делимости на 7 на другие числа . . . . . . 12
6. Обобщенный признак делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7. Курьез делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ВВЕДЕНИЕ
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.
Д. Пойа
В математике много разделов и один из них – делимость чисел.
Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. В некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время.
К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число. Некоторые из них более легкие - эти признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10 изучаются в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический. Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.
Цель работы: расширить представления о свойствах чисел, связанных с делимостью;
Задачи:
- познакомиться с различными признаками делимости чисел;
- систематизировать их;
- сформировать навыки применения вводимых правил, алгоритмов для установления делимости чисел.
Делимость чисел
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.
Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Пример 1.1
32 делится на 4, 16 делится на 4, значит, сумма 32 + 16 делится на 4.
Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность делится на это число.
Пример 1.2
777 делится на 7, 49 делится на 7, значит разность 777 – 49 делится на 7.
Делимость произведения на число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Пример 1.3
15 делится на 3, значит произведение 15∙17∙23 делится на 3.
Делимость числа на произведение. Если число делится на произведение, то оно делится на каждый из множителей этого произведения.
Пример 1.4
90 делится на 30, 30 = 2∙3∙5, значит 30 делится и на 2, и на 3, и на 5.
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Он сформулировал следующий признак делимости, который носит его имя:Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
1.1 Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9
В школе мы изучаем признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0.
Признак делимости на 5.На 5 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или 5.
Признак делимости на 2. На 2 делятся все те и только те числа, запись которых заканчивается четной цифрой: 2,4,6,8 или 0.
Признак делимости на 3 и 9. На 3 и 9 делятся все те и только те числа, сумма цифр которых делится соответственно на 3 или на 9.
По записи числа (по его последним цифрам) можно так же установить делимость числа на 4, 25, 50, 8 и 125.
1.2 Признаки делимости на 4, на 25 и на 50
На 4, на 25 или на 50 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25 или на 50.
Пример 1.2.1
Число 97300 заканчивается двумя нулями, значит, оно делится и на 4, и на 25, и на 50.
Пример 1.2.2
Число 81764 делится на 4, так как число, образованное двумя последними цифрами 64 делится на 4.
Пример 1.2.3
Число 79 450 делится на 25, и на 50, так как число, образованное двумя последними цифрами 50 делится и на 25, и на 50.
1.3 Признаки делимости на 8 и на 125
На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.
Пример 1.3.1
Число 853 000 заканчивается тремя нулями, значит, оно делится и на 8, и на 125.
Пример 1.3.2
Число 381 864 делится на 8, так как число, образованное тремя последними цифрами 864 делится на 8.
Пример 1.3.3
Число 179 250 делится на 125, так как число, образованное тремя последними цифрами 250 делится на 125.
1.4 Упрощение признака делимости на 8
Вопрос о делимости некоторого числа сводится к вопросу о делимости на 8 некоторого трехзначного числа, но при этом ничего не говорится о том, как в свою очередь быстро узнать, делится ли это трехзначное число на 8. Делимость трехзначного числа на 8 тоже ведь не всегда сразу видна, приходится фактически производить деление.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли упростить и признак делимости на 8? Можно, если дополнить его специальным признаком делимости трехзначного числа на 8.
На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.
Пример 1.4.1
Делится ли число 592 на 8?
Решение.
Отделяем от числа 592 единицы и половину их числа прибавляем к числу из следующих двух цифр (десятков и сотен).
Получаем: 59 + 1 = 60.
Число 60 делится на 4, значит, число 592 делится на 8.
Ответ: делится.
1.5 Признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 45 и т. д.
Используя свойство делимости числа на произведение, из вышеперечисленных признаков делимости получаем признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24 и т. д.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.
Пример 1.5.1
Число 31 242 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 12. На 12 делятся те, и только те числа, которые делятся на 4 и на 3.
Пример 1.5.2
Число 316 224 делится на 12, так как оно делится и на 4 и на 3.
Признак делимости на 15. На 15 делятся те, и только те числа, которые делятся на 3 и на 5.
Пример 1.5.3
Число 812 445 делится на 15, так как оно делится и на 3 и на 5.
Признак делимости на 18. На 18 делятся те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.
Пример 1.5.4
Число 817 254 делится на 18, так как оно делится и на 2 и на 9.
Признак делимости на 45. На 45 делятся те, и только те числа, которые делятся на 5 и на 9.
Пример 1.5.5
Число 231 705 делится на 45, так как оно делится и на 5 и на 9.
Существует ещё один признак делимости чисел на 6.
1.6 Признак делимости на 6
Чтобы проверить делимость числа на 6, надо:
Число сотен умножить на 2,
Полученный результат вычесть из числа стоящего после числа сотен.
Если полученный результат делится на 6, то и все число делится на 6. Пример 1.6.1
Делится ли число 138 на 6?
Решение.
Число сотен 1·2=2, 38-2=36, 36:6, значит, 138 делится на 6.
Простые признаки делимости на простые числа
Число называется простым, если оно имеет только два делителя (единицу и само число).
2.1 Признаки делимости на 7
Чтобы узнать делится ли число на 7, надо:
Число, стоящее до десятков умножить на два,
К результату прибавить оставшееся число.
Проверить делится ли полученный результат на 7, или нет.
Пример 2.1.1
Делится ли число 4 690 на 7?
Решение.
Число, стоящее до десятков 46·2=92, 92+90=182, 182:7=26, значит, 4690 делится на 7.
2.2 Признаки делимости на 11
Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или быть равной нулю, но обязательно должна быть кратной 11.
Пример 2.2.1
Делится ли число 100397 на 11?
Решение.
Сумма цифр, стоящих на четных местах: 1+0+9=10.
Сумма цифр, стоящих на нечетных местах: 0+3+7=10.
Разность сумм: 10 – 10=0, 0 кратно 11, значит, 100397 делится на 11.
2.3 Признаки делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
Пример 2.3.1
Число 858 делится на 13, так как 85 - 9∙8 = 85 – 72 = 13 делится на 13.
2.4 Признаки делимости на 19
Число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Пример 2.4.1
Определить, делится ли на 19 число 1026.
Решение.
В числе 1026 102 десятка и 6 единиц. 102 + 2∙6 = 114;
Аналогично 11 + 2∙4 = 19.
В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно, число 1026 делится на 19.
Объединённый признак делимости на 7, 11 и 13
В таблице простых чисел числа 7, 11 и 13 расположены рядом. Их произведение равно:7 ∙ 11 ∙ 13= 1001 = 1000 + 1. Значит, число 1001 делится и на 7, и на 11, и на 13.
Если любое трехзначное число умножить на 1001, то произведение запишется такими же цифрами, как и множимое, только повторенными два раза: abc–трехзначное число; abc∙1001 = abcabc.
Следовательно, все числа вида аЬсаЬс делятся на 7, на 11 и на 13.
Указанные закономерности позволяют свести решение вопроса о делимости многозначного числа на 7 или на 11, или на 13 к делимости на них некоторого другого числа — не более чем трехзначного.
Если разность сумм граней данного числа, взятых через одну, делится на 7 или на 11, или на 13, то и данное число делится соответственно на 7 или на 11, или на 13.
Пример 3.1
Определить, делится ли число 42 623 295 на 7, 11 и 13.
Решение.
Разобьем данное число справа налево на грани по 3 цифры. Крайняя левая грань может и не иметь трех цифр. Определим, на какое из чисел 7, 11 или 13 делится разность сумм граней данного числа:
623 - (295 + 42) = 286.
Число 286 делится на 11 и на 13, а на 7 оно не делится. Следовательно, число 42 623 295 делится на 11 и на 13, но на 7 не делится.
Старое и новое о делимости на 7
Почему-то число 7 очень полюбилось народу и вошло в его песни и поговорки:
Семь раз примерь, один раз отрежь.
Семь бед, один ответ.
Семь пятниц на неделе.
Один с сошкой, а семеро с ложкой.
У семи нянек дитя без глазу.
Число 7 богато не только поговорками, но и разнообразными признаками делимости. Два признака делимости на 7 (в объединении с другими числами) вы уже знаете. Имеется также несколько индивидуальных признаков делимости на 7.
Первый признак делимости на 7 поясним на примере.
Возьмем число 5236. Запишем это число следующим образом:
5 236 = 5∙103 + 2∙102 + 3∙10 + 6
и всюду основание 10 заменим основанием 3: 5∙33 + 2∙32 + 3∙3 + 6 = 168
Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.
Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7.
Видоизменение первого признака делимости на 7. Умножьте первую слева цифру испытуемого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; результат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. Для упрощения после каждого действия разрешается из результата вычитать 7 или число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7. Для выбранного ранее числа 5 236:
5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 2 = 3; 3∙3 = 9; (9 – 7 = 2); 2 + 3 = 5; 5∙3 = 15; (15 – 14 = 1); 1 + 6 = 7 – делится на 7, значит, 5 236 делится на 7.
Преимущество этого правила в том, что оно легко применяется в уме.
Второй признак делимости на 7. В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать не с крайней левой цифры данного числа, а с крайней правой и умножать не на 3, а на 5.
Пример 4.1
Делится ли на 7 число 37 184?
Решение.
4∙5=20; (20 - 14 = 6); 6 + 8=14; (14 - 14 = 0); 0∙5 = 0; 0+1= 1; 1∙5 = 5; прибавление цифры 7 можно пропустить, так как из полученного результата вычитается цифра 7; 5∙5 = 25; (25 - 21= 4); 4 + 3 = 7 – делится на 7, значит, число 37 184 делится на 7.Третий признак делимости на 7. Этот признак менее легок для осуществления в уме, но он тоже очень интересен.
Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7.
Пример 4.2
Делится ли на 7 число 889?
Решение.
9∙2 = 18; 18 – 8 = 10; 10∙2 = 20; 20 + 8 = 28 или
9∙2 = 18; (18 – 7 = 11) 11 – 8 = 3; 3∙2 = 6; 6 + 8 = 14 – делится на 7, значит, число 889 делится на 7.
И ещё признаки делимости на 7. Если какое-либо двузначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, увеличенное на цифру десятков данного числа.
Пример 4.3
14 делится на 7, следовательно, делится на 7 и число 41 + 1.
35 делится на 7, следовательно, на 7 делится число 53 + 3.
Если какое-либо трехзначное число делится на 7, то делится на 7 и число обращенное, уменьшенное на разность цифр единиц и сотен данного числа.
Пример 4.4
Число 126 делится на 7. Следовательно, на 7делится число 621 - (6 - 1), то есть 616.
Пример 4.5
Число 693 делится на 7. Следовательно, делится на 7 и число 396 - (3 - 6), то есть 399.
Распространение признака делимости на 7 на другие числа
Изложенные три признака делимости чисел на 7 можно применять при определении делимости числа на 13, 17 и 19.
Для определения делимости данного числа на 13, 17 или 19 надо умножить крайнюю левую цифру испытуемого числа соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат опять умножить соответственно на 3, 7 или 9 и прибавить следующую цифру и т. д., чередуя вычитания и прибавления последующих цифр после каждого умножения. После каждого действия результат можно уменьшить или увеличить соответственно на число 13, 17, 19 или кратное ему.
Если окончательный результат делится (не делится) на 13, 17 и 19, то делится (не делится) и данное число.
Пример 5.1
Делится ли число 2 075 427 на 19?
Решение.
2∙9=18; 18 – 0 = 18; 18∙9 = 162; (162 - 19∙8 = 162 = 10); 10 + 7 = 17; 17∙9 = 153; (153 - 19∙7 = 20); 20 – 5 = 15; 15∙9 = 135; (135 - 19∙7 = 2);
2 + 4 = 6; 6∙9 = 54; (54 - 19∙2 = 16); 16 – 2 = 14; 14∙9 = 126; (126 - 19∙6 = = 12); 12 + 7 = 19 – делится на 19, значит, 2 075 427 делится на 19.
Обобщенный признак делимости
Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d = 10n + 1, где n = 1, 2, 3,4, … (при больших значениях n теряется практический смысл признака).
n d p
1 11 11
2 101 101
3 1001 7, 11, 13
4 10001 73, 137
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2)сложить грани через одну, начиная с крайней правой;
3) сложить остальные грани;
4)из большей суммы вычесть меньшую.
Если результат делится на р, то и данное число делится на р.
Так, для определения делимости числа на 11 (р =11) рассекаем число на грани по одной цифре (п = 1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11.
При определении делимости числа на 7, 11 или 13 (р = 7, 11, 13) отсекаем по 3 цифры (n = 3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (n = 4).
Пример 6.1
Выяснить делимость пятнадцатизначного числа 837 362 172 504 831 на 73 и на 137 (р = 73, 137, n = 4).
Решение.
Разбиваем число на грани: 837 3621 7250 4831.
Складываем грани через одну: 4931 + 3621 = 8452; 7250 + 837 = 8087.
Вычитаем из большей суммы меньшую: 8452-8087 = 365.
365 делится на 73, но не делится на 137; значит, данное число делится на 73, но не делится на 137.
Второй группой «счастливых» делителей являются псе целые множители р числа d = 10n —1, где n = 1, 3, 5, 7,…
Число d = 10n —1 дает следующие делители:
n d p
1 9 3
3 999 37
5 99 999 41, 271
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по n цифр (каждому р соответствует свое n; крайняя левая грань может иметь цифр меньше n);
2) все грани сложить.
Если полученный результат делится (не делится) на р, то делится (не делится) и данное число.
Заметим, что 999 = 9∙111, значит, 111 делится на 37, но тогда и числа 222, 333, 444, 555, 666, 777 и 888 делятся на 37.
Аналогично: 11 111 делится на 41 и на 271.
Курьез делимости
В заключение хочется представить четыре изумительных десятизначных числа:
2 438 195 760; 4 753 869 120;3 785 942 160; 4 876 391 520.
В каждом из них есть все цифры от 0до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.
Выводы
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 50, 125 и другие числа, причем признаки делимости на одно и то же число могут быть различными, а значит всегда есть место творчеству. Работа имеет теоретический характер и практическое применение. Данное исследование будет полезным при подготовке к олимпиадам и конкурсам.
Познакомившись с признаками делимости чисел, считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением признаков делимости чисел.
Литература
1. Н. Н. Воробьев «Признаки делимости» Москва «Наука» 1988
2. К. И. Щевцов, Г. П. Бевз «Справочник по элементарной математике» Киев «Наукова думка» 1965
3. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике» Москва «Наука» 1986
4. Интернет ресурсы