Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курса техникума

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГАПОУ СО «Карпинский машиностроительный техникум»
Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курсов техникума
Автор сборника Виноградова Е.А., преподаватель
2015
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степень с действительным показателем
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите значение выражения
а)
б)
а)
б)


2) Сравните числа



3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(– 1,5) = 8. Найдите f(0,5). 3) Дана функция f(x) = ax. Известно, что f(1,5) = 1/8. Найдите f(– 2).
4) Упростите выражение
а)
б)
в) а)
б)
в)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
у = у =
2) Постройте график функции у = 2х – 1 (у = 3х – 1); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой
– 1/2 < y < 3 (– 2/3 < y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [–2; 4] ([–2; 2])
4) Решите графически уравнение
(1/2)х = 2 – х 3х = 2х + 3
5) Решите графически неравенство
3х < 1/3 (1/2)х > 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения









10)








10)
При каком р корнями уравнения 0,5х – 1 = р являются 1 и – 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Показательные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства







1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Свойства логарифмов
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить

2) Найти ООФ

3) Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
х = х =
4) Найдите х, если

5) Вычислите
а) log2535, если log57 = p
б) , если а) log4921, если log73 = c
б) , если
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмическая функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции
у = logx у = logx
1*) Изобразите схематически график
y =log0,4(–x); y =; у =log2log241-x y =lg; y =; y =lglg10x+1
2) Постройте график функции у = log2x – 1(у = log2(x – 1)); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой – 2 < y < 1 (– 1< y < 2), и найдите соответствующие значения х.
3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [0,5;8] ([1,5;9]).
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Степенная функция
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Изобразите схематически графики функций
у = х,(х > 0); у = у = х,(х > 0); у = (х – 1)п + 1,5,(х > 1)
2) Возрастает или убывает функция у = х р, (х > 0), если
р = ; р = lg17 p = ; p =
3) Решите графически уравнения
а) ; б)
в) а) ; б)
в) ; в*)
4) Решите графически уравнение
log3x = 2x – 3 log1/2x = – 0,5x + 1
5) Решите графически неравенство
log1/2x > – 3 log3x < 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Логарифмические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
log5(2x + 3) > log5(x – 1)
log1/2(2x – 5) < – 2
lg2x + 3lgx < 4
4x-1 > 7

lg2x2 + 3lgx > 1

8*) – x lgx > 0
9*)
10) log2x+1(3 – 2x) < 1
11) log0,8 < 0
12) 2log5x – logx5 > 1
13) log3log1/2(2x + 1) > 0
14)
15) (x + 1)log0,73 – log0,727 > 0 log3(1 – x) < log3(3 – 2x)
log1/2(2x + 5) > – 3
lg2x + 5lgx + 6 > 0
(3х – 1)(3х – 2) 0

3logx – 2log2x 5

8*)
9*) logx2x
10) logx-2(2x – 7) < 1
11) log0,2 > 0
12) 3log7x – 2logx7 < 0
13) log2log(x – 1) < 1
14)
15) (5x – 2)log1,22 – 18log1,22 < 0
16) При каком значении р решением неравенства является промежуток?
log2(p – 3x) > log2(x2 – 3x); (– 3; 0) log3(x2 + 2x) < log3(2x + p); (0; 2)
17) ООФ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения





6*)
7*)


10)
11)




6*)
7*)
8)
9)
10)
11)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Иррациональные неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства








9*)
10*)
11*)







9*)
10*)
11*)
12) При каких значениях р решением неравенства является промежуток?
; [2; 18) ; [– 1; 15)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Системы уравнений
Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3* Вариант № 4*
Решите системы уравнений

5*) При каких значениях р система неравенств не имеет решений?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические преобразования
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Вычислить

, если tgx = – 2
, если tgx = – 3
2) Решите уравнения
а) cos(– 3x) = – 1; б) tg(5п + х) = 0
в) sin(2x + 6п) + cosп/4 = а) sin(– 2x) = – 1; б) ctg(7п + х) = 0
в) cos(8п + 3х) + 1 = tgп/4
3) Упростите выражения
а)
б)
в) а)
б)
в) г*)
д*)
е*)

4) Дано cosp = – 5/13, п/2 < p < п
Найти sin(п/3 – р) 4) Дано sinp = 8/17, п/2 < p < п
Найти cos(п/6 – р)
5) Сравните с 0 выражения
cos5; tg1,6п; sin11п/9 sin4; cos1,8п; ctg9п/7
6) Найти х, если

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
sinx = 0
2tg3x = 0
– 2cosx = 1
2sin(2x – 4п) =
sinx cos2x + cosx sin2x = 1
2sinx/2 cosx/2 = – 1
cos22x = 2
1 – sin2x = 0
3sin22x + 7cos2x – 3 = 0
2tg43x – 3tg23x + 1 = 0
(1 – cos2x)(сtgx + ) = 0
sinx = sin3
tg2x = , на отрезке [– п/2;п]
2cos2x – sinx – 1 = 0; 8 < x < 40 cosx = 0
3ctgx = 0
– 2sinx =
2cos(2x – 4п) =
cosx cos3x – sinx sin3x = 1
cos22x – sin22x = – 1
1/2 sin4x = 1
1 – cos2x = 0
2cos23x + 5sin3x – 4 = 0
2tgx – 2ctgx = 3
(sinx + 1)(ctg2x –) = 0
cosx = cos4
tgx/2=,на отрезке [– 3п/2;2п]
cos2x = 1 – 3cosx; 1 < x < 50
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические уравнения
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите уравнения
сos2x – 5sinx – 3 = 0
tgx + ctgx = 2
sinx + sin5x = 0
3 – 4cos2x = 0
sinx – 7cosx = 0
3sin2x + sinx cosx = 2cos2x
3sin2x –sin2x + 5cos2x = 2
tg2x =
1 – 2sin = cos
sin2x = sin5x
cos3x = sinx
cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
sin2x sin6x = cosx cos3x
sin2x –cos2x = 1
sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2
cos2x – sin2x = 3,5
4sinx + 5cosx = 6
sinx + cosx = 2,5 + 5sinx cosx
= sinx + 2cosx


(sinx + cosx)sin4x = 2
23) cos2x + 3sinx = 2
tgx + ctgx = – 2
cosx + cos5x = 0
1 – 4sin2x = 0
5sinx + 6cosx = 0
4sin2x = 3sinx cosx + cos2x
2sin2x –sin2x = – 1
ctg2x =
2cos – 1 = cos
10)cos4x = cos6x
11) sin3x = cosx
12) sinx – sin3x – sin5x + sin7x = 0
13) cos3x cos6x = cos4x cos7x
14) sin3x + cos3x =
15)cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
16) sin4x + cos4x = 2,5
17) 3sinx + 5cosx = 4
18) sinx – cosx + 5sinx cosx = 1
19) = cosx – 2sinx
20)
21)
22) (sinx + cosx) = tgx + ctgx
23) 2sin7x + cos3x + sin3x = 0
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Тригонометрические неравенства
Вариант № 1 Вариант № 2
Решите неравенства
sinx < 1/2
cos2x > 0
tg(2x – п/3)<
sinx > cosx
3 – 4cos2x > 0

cos2x+5cosx+30 cosx > – 1/2
sin3x < 0
tg(2x + п/6)>
sinx < cosx
1 – 4sin2 x < 0

2sin2x+3sinx–20 17) 2tg2x 3tgx
18)
19) cosx – sinx – cos2x > 0
20)
21)
22) logxcos2x > 0
23) logcosxsin2x 0
8*); 9) > cos2x; 10); 11)
12*) log2(cos2x – 1/2 cosx) – 1 13*) 0,2cos2x – 25-cosx < 4(125)-0,5
14*) сos2x + sin2x + cosx – sinx 1, при – п/2 < x < п/2
15*) Найти ООФ:
16*) Найти решения неравенства , удовлетворяющих условию
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Наибольшее и наименьшее значения
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
а) f(x) = x3 – 2x2 + x – 3, [1/2; 2] б) f(x) = 1/2 sin3x , [4п/9; п]
в) f(x) = , [– 1; 2]
г) f(x) = , [– 1; 2]
д) f(x) = , [0; 3] а) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – 1, [– 4; – 1/3]
б) f(x) = 1/3 сos2x, [п/6; п]
в) f(x) = , [1/e; e3]
г) f(x) = , [– 1; 2]
д) f(x) = , [– 2; 0]
2) При каком значении х функция у = х3 – х2 [ у = х4 + х3] на отрезке [0,5; 1] ( [– 1; – 0,5] ) принимает наименьшее значение ?
3) Найдите область значений функции.
1) f(x) = ; 2) f(x) = ;3) Д – ть:
4) Hаибольшее значение функции f(x) = – x2 + bx + c равно 7, а значение с на 25% меньше b. Найти положительное значение b.
4) Hаименьшее значение функции f(x) = x2 + bx + c равно 1, а значение с на 25% больше b. Найти положительное значение b.
5) Найдите наименьшее [ наибольшее] значение функции на промежутке
f(x) = 3х4 – 8x3 + 6x2 + 5, (– 2; 1) f(x) = 4х5 – 15х4 – 3, (– 1; 1)
6) В каких пределах изменяются значения функции?
f(x) = cosx + 1/2 cos2x, x[0; п] f(x) = sinx + 1/2 sin2x, x[– п/2; п/3]
7) Площадь прямоугольника равна 81 см2 [ 25 см2 ]. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.
8) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см [60 см]. При каком значении боковой стороны [ высоты, проведённой к основанию ], площадь треугольника наибольшая?
9) Число 24 [ 18 ] представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что
произведение их квадратов принимает наибольшее значение.
[сумма их квадратов принимает наименьшее значение.]
10) Требуется изготовить закрытый [ открытый ] цилиндрический бак ёмкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?
11*) Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объёме имеет наименьшую полную поверхность.
12*) Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объёме имеет наименьшую площадь боковой поверхности.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Производная
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти производные функций
а) f(x) = 5x3 – 3x9
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = 1/6 х3 – 0,5х2 – 3х + 2
д) f(x) = е) f(x) =
ж) f(x) = е – 5х з) f(x) =
и) f(x) = ln(2x + 1) к) f(x) = ln cos
л) f(x) = log3(2x2 – 3x + 1) м) f(x) = cos(5 – 3x)
н) f(x) = ctg(2 – 5x)
о) f(x) = 2sin3x cos3x
п) f(x) = log(x2 – sinx) а) f(x) = 2x7 + 3x3
б) f(x) = 6
в) f(x) =
г) f(x) = – 1/6 х3 +1,5х2 +5х – 3
д) f(x) = е) f(x) =
ж) f(x) = е – 0,3х з) f(x) =
и) f(x) = ln(3x – 4) к) f(x) = ln sin
л) f(x) = log1/2(3x2 – 2x + 50)
м) f(x) = sin(3 – 2x)
н) f(x) = tg(4 – 3x)
о) f(x) = cos24x – sin24x
п) f(x) = log(x2 + cosx)
2) Найти значение выражения
а) f '(0,5), если f(x) =
б) f '(– п/4), если f(x) = 3sin2x
в) f '(1) + f(1), если f(x) = г)f '(–3), если f(x) = e –1/3x –1 + ln(3 – 3x)
д) f '(0) + f ', f(x) = (x2 – 3х)cos3x а) f '(– 0,5), если f(x) =
б) f '(– 3п/4), если f(x) = 5сos2x
в) f '(1) – f(1), если f(x) = г) f '(– 2),если f(x) = e 0,5x +1 + ln(1 – 2x)
д) f'(0) + f', f(x) = (3x2 + х)cos2x
3) Решите уравнение у '(х) = 0, если
а) у =
б) у = ln sinx а) у =
б) у = ln cosx
4) Решите неравенство f '(x) < 0 [ f '(x) > 0 ], если

5) При каких значениях х функция не является дифференцируемой?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение касательной
Вариант № 1 Вариант № 2
1)Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0.
а) f(x) = – x2 + 6x + 8, x0 = – 2
б) f(x) = e0,5x, x0 = ln4 а) f(x) = – x2 – 4x + 2, x0 = – 1
б) f(x) = ln(2x – e), x0 = e
2) Найдите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x2 – 4x + 5 f (x) = x2 + 3x + 5
если эта касательная проходит через точку (0; 4) [ (0; 1) ] и абсцисса точки касания положительна [ отрицательна ].
3) К графику функции у = [ у = ] проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х0 = – 1 [ х0 = 1 ]. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.
4) Какой угол (острый, прямой или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точках – 1; 0; 1?
у = х3 – х2 у = х2 – х3
5) В какой точке касательная к графику функции у = – х2 + 4х – 3 параллельна оси абсцисс?
5) В какой точке касательная к графику функции у = 0,5х2 + 1 параллельна прямой у = – х – 1 ?
6) Прямая у = х – 2 [ у = – х + 3] касается графика функции у = f(x) в точке х0 = – 1 [ х0 = – 2 ]. Найдите f(– 1) [f(– 2) ].
7) Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции у = log4(x – 2) [ у = log3(5 – x) ] в точке х0 = 3 [ х0 = 4 ] пересекает ось Оу.
8) При каком значении р прямая у = ех + р [ у = 2ех + р ] является касательной к графику функции f(x) = lnx ?
9) При каком значении р прямая у = 3 + х [ у = 4 – х ] является касательной к графику функции f(x) = e x – p [ f(x) = e – x – p ] ?
10) Найдите уравнение касательной к графику функции
если эта касательная проходит через точку (– 0,5; 0)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Исследование функций
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти стационарные (критические) точки функции.
f(x) = – x3/3 + x2/2 + 2x – 3 f(x) = – x3/3 – x2/4 + 3x – 2
2) Найти точки экстремума функции.
f(x) = 0,5х4 – 2х3; f(x) = xe f(x) = 1,5х4 + 3х3; f(x) = x(1/e)
3) Найти экстремумы функции.
1-в) f(x) = 2-в) f(x) = 3-б) f(x) = ;
4) Найти промежутки убывания функции.
1-в) f(x) = х3 – 6х2 + 5 2-в) f(x) = х3 + 9х2 – 4 3-б) f(x) = lg sinx
5) Найти промежутки возрастания функции.
1); 2); 3-б)
6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.
1) у = ; у = 1,5lg2x + lg3x 2) у = ; y = (x2 – 2x + 1)x 3-б) у =
7) При каком значении р функция имеет экстремум в точках х1 и х2 ?
f(x) = , х1 = 2, х2 = – 2 f(x) = , х1 = 0, х2 = 6
8) Постройте график функции.
а) у = х3 – 12х + 2
б) у =
в) у = – х4 + 2х3 + 2
г) у = 3х5 – 5х3 + 1
д) у = а) у = – х3 + 3х + 1
б) у =
в) у = х4 – 2х3
г) у = 10х6 – 12х5 – 15х4 + 20х3 д) у = а) у = cos2x – 2cosx
б) у =
в) у = 10
г) y =
д) у =
е*) у = . Сколько действительных корней имеет уравнение у = С ?
9*) При каком значении параметра р значения функции у = х3 – 6х2 + 9х + р в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, являются членами геометрической прогрессии?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Интеграл
Вариант № 1

2) При каком значении р :
Вариант № 2

2) При каком значении р :
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Первообразная
Вариант № 1 Вариант № 2
1) Найти первообразные функций) f(x) = а)
б) f(x) =
в) f(x) = , при х > 0,5
г) f(x) = , если F(4) = – 2
д) f(x) = , если F(1,5) = 1
e) f(x) =() –1+ , при х > –0,5 ж) f(x) =
з) f(x) = и) f(x) =
к) f(x) =
л) f(x) =
м) f(x) = а) f(x) =
б) f(x) =
в) f(x) = , при х > – 0,5
г) f(x) = , если F(– 15) = 6
д) f(x) = , если F(– 2) = 5
e) f(x) =() –1 – , при х > 0,5 ж) f(x) =
з) f(x) = и) f(x) =
к) f(x) =
л) f(x) =
м) f(x) =
2) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через данную
точку. 1) f(x) = 2sin3x, М(п/3; 0); 2) f(x) = 3сos2x, М(п/4; 0)
3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 3х – 1 [ f(x) = 2х – 4], для которой уравнение F(x) = 5 [ F(x) = 1 ] имеет 2 равных корня.
4) Найти те первообразную функции f(x) = х2 – 5х + 3 [ f(x) = х2 – 2х + 1 ], графики которых касаются прямой у = – 3х – 1 [ у = 4х – 2].
5) В каких точках касательная к у = 1/3х3 – х2 – х + 1 параллельна у = 2х – 1?
6) Построить: f(x)=; у=2sin; y=sin2(log5(2–x)) + cos2(log5(2–x))
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь криволинейной трапеции
Вариант № 1 Вариант № 2
Вычислите площади фигур, ограниченных графиками
1) у = – х2 + 4х – 3, у = 0
1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2
2) у = х2 + 4х + 10, х = 0 и
касательной в точке х0 = – 3 3) y = sinx, y = cosx, x = п/4, х = п
4) f(x) = 4x, F(x), если график
функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (– 1; – 4).
5) f(x) = – 2x + 4, F(x), x = 1, если
график функции f(x) является касательной для графика F(x).
6) у = , у = 6 – х
7) у = ех, у = е2, х = 0
8) y =
9) y = , y = 0, x = – 4, x = 1 1) у = – х2 + х + 2, у = 0
1-б) у = х2 – 2, у = 2х – 2
2) у = х2 – 2х + 5, х = 0, и
касательной в точке х0 = 2
3) y = sinx, y = cosx,
4) f(x) = 2x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (3; 6).
5) f(x) = – 2x – 4, F(x), x = – 4, если
график функции f(x) является касательной для графика F(x).
6) у = , у = 4 – х
7) у = е -х, у = е, х = е
8) y =
9) y = , y = 0, x = – 9, x = 4
10) Найти р, если известна площадь фигуры, ограниченной графиками
у = , у = рх2, S = у = , у = рх, S = 4,5
11) В каком отношении парабола у = х2 [ у = х2 ] делит площадь круга
х2 + у2 8 [ х2 + у2 2 ]?
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Итоговая контрольная работа.
1)Найти: а)sin(arccos4/5); б)cos(arcsin1/6); в)cosxcosy, если х=,у=
г) ; д) tg, если ; е)
ж) , если tg з) (1/9)
и) lg(x3 + 8) – 0,5lg(x2 + 4x + 4) – lg(x2 – 2x + 4)
2) Решить уравнения.
а) arсcos(x – 1) = п/4 б) arctg(4x + 2) = – п/6 в)
г) д) logx – 1(x2 – 5x + 10) = 2 е) ж)
3) Решить неравенства. а)sinx+cosx <0; б)sin2x;в)2cos2x+5cosx– 3<0
г)5lgx – 3lgx – 1 < 3lgx + 1 – 5lgx – 1; д)log2(9 – 2x) < 3 – x; е)2logx25 – 3log25x > 1
4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = 1 + sinx в точке с абсциссой х0 = п.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Основы геометрии
1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона равна с; б) основание равно р
2) Стороны параллелограмма 6 и 10см, а острый угол равен . Найти S.
3) Длина тени дерева 10,2м, а длина тени человека ростом 1,7м равна 2,5м. Найти высоту дерева.
4) В треугольнике АВС: см. Найти СВ.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вариант №1
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки М; Р; К; Т – середины соответствующих отрезков ВС; DС; АD и АВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника МРКТ, если
АС = 10см, ВD = 16см.
3) Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD.
Вариант №2
1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.
2) Точки Е; М; К; Р – середины соответствующих отрезков АВ; АС; DС и DВ ( DСВА – тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника ЕМКР, если
ВС = 8см, АD = 12см.
3) Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых МТ и СD.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант №1
1) АВСК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости АВС, МА = МС.
Докажите, что АСВМК.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС
(). Докажите, что треугольник МСВ – прямоугольный с гипотенузой МВ.
Вариант №2
1) ЕВРК – квадрат. Точка М – не принадлежит плоскости ЕВР, МВ = МК.
Докажите, что КВЕМР.
2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите, что треугольник МВС – прямоугольный с гипотенузой МС.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Вариант №1
Прямая МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, МD – высота этого треугольника. Докажите, что РDВК. Найдите площадь треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, .
Вариант №2
Прямая ВР перпендикулярна к плоскости параллелограмма АВСD, ВК – высота параллелограмма, проведённая к DС. Найдите площадь треугольника DРС, если ВР = 6см, КР = 10см, SАВСD = 40см2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллелепипед
Вариант №1
Стороны основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними . Диагональ большей боковой грани 10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.
Вариант №2
В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и углом . Меньшая диагональ параллелепипеда 13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Вариант №1
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
Вариант №2
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Многогранники
Вариант №1
1) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние от вершины верхнего основания куба до центра нижнего основания равно р.
2) Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними . Высота призмы 11см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.
3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при стороне основания равен , а радиус окружности, описанной около основания, равен 2см.
Вариант №2
1) Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна р.
2) Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 8см и 3см и углом между ними . Высота призмы 15см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.
3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
Вариант №1
1) Найдите координаты вектора ,
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Точки А(2; –1;0) и В(–2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.
4) Даны точки А(0;4;–1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора .
Вариант №2
1) Найдите координаты вектора , .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;–4;2), В(–3;2;–4), С(1;3; –1). Найти длину медианы СМ.
4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Скалярное произведение
1) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 2. Вычислите скалярное произведение векторов а) б).
2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если
а) б)
3) Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно р. Вычислите:
а) угол между прямыми АВ1 и ВС1 (А1В и АD1)
б) расстояние между серединами отрезков АВ1 и ВС1 (АС1 и В1С)
4) Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А(;1;0);В(0;0;); С(0;2;0); D(;1;) б) А(6;–4;8); В(8;–2;4); С(12;–6;4); D(14;–6;2)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
Вариант №1
Основание прямой призмы – ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.
Вариант №2
Основание прямой призмы АВСDА1В1С1D1 – параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ DС1 боковой грани равна 13см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объёмы тел
Вариант №1
1) Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол .
2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом m и противолежащим ему углом .
Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.
Вариант №2
1) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол .
2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вариант №1
1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.
б) Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если ACBD, AC = 10см; BD = 12см.
Вариант №2
1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.
2) а) Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости .
б) Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Параллельность прямой и плоскости
Вариант №1
Дан треугольник ABC, . Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника ABC.
а) Докажите, что ; б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.
Вариант №2
Дан треугольник ABC, . Через прямую МК проходит плоскость , параллельная прямой AC.
а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.
б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикулярность прямой и плоскости
Вариант №1
1) , М и К – произвольные точки плоскости .
Докажите, что АBМК.
2) Треугольник АВС – правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.
а) Докажите, что МА = МВ = МС.
б) Найдите МА, если АВ = 6см, МО = 2см.
Вариант №2
1) Дан треугольник АВС. . Докажите, что МАВС.
2) Четырёхугольник АВСD – квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.
а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD.
б) Найдите МА, если АВ = 4см, ОМ = 1см.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Перпендикуляр и наклонные
Вариант №1
Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы и соответственно.
а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.
б) Найдите стороны прямоугольника.
в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.
Вариант №2
Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол .
а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.
б) Найдите сторону квадрата.
в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
Вариант №1
Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна р, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите:
а) Диагональ призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.
Вариант №2
Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна р и образует с плоскостью боковой грани угол . Найдите:
а) Сторону основания призмы.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Пирамида
Вариант №1
Высота правильной треугольной пирамиды равна , радиус окружности, описанной около её основания, . Найдите:
а) Апофему пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием; в) Площадь боковой поверхности пирамиды; г) Плоский угол при вершине пирамиды.
Вариант №2
Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Найдите:
а) Сторону основания пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием;
в) Площадь поверхности пирамиды; г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Координаты вектора
Вариант №1
1) Даны . Найдите координаты вектора .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.
Вариант №2
1) Даны . Найдите координаты вектора .
2) Даны . Найдите координаты вектора .
3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности цилиндра
Вариант №1
1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в . Высота цилиндра равна 5см, радиус цилиндра - см.
Найдите площадь сечения.
Вариант №2
1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8см, а угол между диагоналями - . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в . Радиус цилиндра равен 4см. Найдите площадь сечения.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём призмы
Вариант №1
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5см, 5см и 5см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если .
Вариант №2
1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2см, 6см и 6см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма параллелепипеда.
2) Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если .
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
Площадь поверхности прямой призмы
Основание прямой призмы Высота Sбок. Sполн.
Треугольник АВС, АС=15см, ВС=20см, 12см Параллелограмм АВСК,АВ=3,АК=4, 8 Прямоугольник, стороны которого 14см и 5дм. 9см Трапеция АВСК,АВ=7см,АК=3см,, 8см КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильная пирамида
В n-угольной правильной пирамиде a – сторона основания, к – боковое ребро, h – высота, p – апофема
n a к h n a h p
А) 3 12см 15см Д) 3 18см 13см Б) 4 13дм 18дм Е) 3 m n В) 3 m n Ж) 4 6дм 6дм Г) 4 m n З) 4 m n КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Правильные многогранники
Тип многогранника Число граней Число вершин Число рёбер
6 12 30
8 12
12 20 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности цилиндра
В цилиндре r – радиус основания, h – высота. Найти х и у и заполнить таблицу.
r h Sбок. Sцил.
А) 1см 2см Б) 2см 1см В) 25м 10,5м Г) см 7см Д) 28см2 40см2
Е) х а у 2у
Ж) х 28см2 З) х 12м2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности конуса
В цилиндре r – радиус основания, h – высота, l - образующая. Найти х и заполнить таблицу.
r h l Sбок. Sкон.
А) 1см 2см Б) 12см 5см В) 3м 5м Г) х х 36см2 Д) а х Е) 27см 810см2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием р – сторона основания, с - высота. Заполнить таблицу.
А) Б) В) Г) Д) Е)
р 3 6 2 3 с 4 11 l
V 1,76 122,4 12 Q
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём прямоугольного параллелепипеда
Дан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат.
А) Б) В) Г) Д) Е)
Сторона квадрата 3,5 Диагональ квадрата 5 2 d Периметр квадрата 4 P
Высота паралл-да 4 9,8 c Объём паралл-да 12,74 28,4 V
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Уравнение сферы
Укажите центр и радиус сферы, заданной уравнением:
а)(х – 4)2 + (у – 2)2 + (z + 9)2 = 25; б) (х – 3,6)2 + (у + 0,75)2 + (z + 777)2 = 1,21
Проверьте, лежит ли точка А на сфере
а)(х + 1)2 + (у – 2)2 + (z – 3)2 = 9,если А(-1;-1;3)
б)(х - 2)2 + (у + 3)2 + (z + 4)2 = 16, если А(4;-3;-2)
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат, если R = 8; R = 2,5
Напишите уравнение шара радиуса R с центром в начале координат, если R = 6
Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке С, если С(-3;2;4) и R = 5
Напишите уравнение шара радиуса R с центром в точке С, если С(5;4;-2) и R = 0,5
Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если а) С(0;-4;9), М(6;-1;0); б) С(-2;4;0), М(-2;4;3)
Докажите, что каждое из следующих уравнений задаёт сферу. Найдите координаты центра и радиус этих сфер
а) х2 – 9х + у2 + 2у + z2 = 34; б) х2 + у2 – 3z + z2 + 5у - х – 18 = 0
Найти координаты точек пересечения сферы с координатными осями
(х + 3)2 + у2 + (z - 5)2 = 25
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём цилиндра
Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём цилиндра. Заполнить таблицу.
r h V
А) 3 5 Б) 2 3 В) 0,5 9 Г) 4 6,4
Д) 3,6 120
Е) 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём наклонной призмы
Основание Высота Объём
А) Треугольник АВС, АВ=ВС=СА=3см 15см Б) Треугольник АВС, АВ=5м, ВС=6м, СА=9м 20м В) Квадрат АВСК, АВ=12 Г) Параллелограмм АВСК, АВ=3см, АК=5см, 8см КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Объём конуса.
Пусть r – радиус основания, h – высота, V – объём конуса. Заполнить таблицу.
А) Б) В) Г) Д) Е)
h 3cм 10м 2,5м m r 1,5см 4 1,5м а
V 94,2м3 48 р р
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём шара
Пусть V – объём шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Заполнить таблицу.
А) Б) В) Г) Д) Е)
R 4см 2,5см 0,75м S 64см2 12см2
V 113,04см3 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Площадь поверхности и объём тел вращения
Пусть R- радиус, l- образующая,D- диаметр,H- высота, V- объём, S– площадь поверхности
R l D H Sосн. Sполн. пов. V
конус а в конус с р конус в а конус 2 25 цилиндр в а цилиндр с р2 цилиндр а в цилиндр с р шар Нет а Нет Нет шар Нет Нет Нет 100 шар с Нет Нет Нет шар Нет Нет Нет 36