Жумыс даптери Математикалы? логика
25 жалпы орта білім беру мектебі
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
«МатематикалыK логика»
арнаулы курсы
(ОKушыныS жaмыс д‰птері)
2013-2014 оKу жылы бекітілген
Автор-Kaрастырушы: математика п‰ні мaCалімі
Шахаева Динара Толеуовна
Павлодар Kаласы
2014
Мазмaны
I Сандар теориясы 6 саCат
ТаKырып №1. СандардыS б™лінгіштік белгілері.
ТаKырып №2. ТаK ж‰не жaптыKты Kолдану.
ТаKырып №3. Жай сандар ж‰не оныS Kасиеттері.
II Комбинаторика 4 саCат
ТаKырып №4. КлассикалыK комбинаторика.
ТаKырып №5. Паскаль ж‰не бином Ньютон _шбaрыштары.
III Графтар теориясы 2 саCат
ТаKырып №6. ГрафтардыS Kарапайым есептері.
ТаKырып №7. ЖазыK графиктардыS Kасиеттері. Эйлерлік графтар.
IV ТеSдеулер ж‰не теSсіздіктер. Диофантты теSдеулер 6 саCат
ТаKырып №8. СызыKтыK теSдеулер мен теSсіздіктер ж‰не теSдеулер мен теSсіздіктер ж_йелері. Коши теSсіздігі.
ТаKырып №9. Модульмен берілген сызыKтыK теSдеулер мен теSсіздіктер.
ТаKырып №10. СызыKтыK диофантты теSдеулер.
V ЛогикалыK есептер 8 саCат
ТаKырып №11. Алгоритм теориясы.
ТаKырып №12. Кесте Kaру арKылы шыCарылатын логикалыK есептер. ТаKырып №13. Тізбектер.
ТаKырып №14. К_нтізбе есептері.
VI ГеометриялыK есептер 6 саCат
ТаKырып №15. ^шбaрыштар. ШеSберлер.
ТаKырып №16. Салу, Kию есептері.
Jорытынды сабаK 2 саCат
ТаKырып №1 СандардыS б™лінгіштік белгілері
№1.
Jалай ойлайсыSдар, т™рт тізбектес натурал сандардыS біреуі болсын, 2-ге б™ліне ме? 3-ке б™ліне ме? 4-ке б™ліне ме? 5-ке б™ліне ме?(Ия, ия, ия, ‰рKашан емес)
№2.
XIV Cасырда батып кеткен кемеден 6 Kап алтын монеталар табылды. Бірінші т™рт Kапта с‰йкесінше 60,30,20 ж‰не 15 алтын монета болды. JалCан екі KаптаCы монеталарды санаCанда, алCашKы т™рт KаптаCы монеталар санымен бір тізбекті Kaрайды екен. Осы м‰леметті Kабылдап, KалCан екі KаптаCы монеталар санын аныKтаSдар. (12 и 10 монета).
№3
Кез келген _ш натурал санныS Kосындысы, KосылCыштардыS ‰рKайсысына б™ліне ме? (Ия, мысалы 1,2,3)
№4.
Берілген жеті сандардыS ішіндегі кез келген алты санныS Kосындысы 5-ке б™лінеді. СандардыS ‰рKайсысы 5-ке б™лінетінін д‰лелдеSдер.
№5.
К™ршілес _ш санныS Kосындысы 3-ке б™лінетіндей, д™SгелектіS бойына т™рт бір санын, _ш екіні ж‰не _ш _шті орналастыр.
№6.
Кез келген тізбектес _ш натурал сандардыS к™бейтіндісі 6-Cа б™лінетіндігін д‰лелдеSдер.
№7.
а) a + 1 3-ке б™лінеді. 4 + 7a 3-ке б™лінетіндігін д‰лелдеSдер.
б) 2 + a ж‰не 35 - b 11-ге б™лінеді. a + b 11-ге б™лінетіндігін д‰лелдеSдер.
№8.
АлCашKы n жай сандардыS к™бейтіндісі толыK квадрат болмайтынын д‰лелдеSдер.
№9.
n3 – 3 ™рнегі n – 1 –ге б™ліне тіндей барлыK натурал n > 1 м‰ндерін табыSдар. (n = 2, 3)
№10.
Кез келген натурал n м‰нінде n2 + 8n + 15 саны n + 4-ке б™лінбейтінін д‰лелдеSдер. (n2 + 8n + 15 = (n + 4)2 – 1.)
№11.
Кез келген бес тізбектес сандардыS к™бейтіндісі а) 30-Cа б™лінетінін; б) 120-Cа б™лінетінін д‰лелдеSдер.
№12
«а саны 2-ге б™лінеді», «а саны 4-ке б™лінеді», «а саны 12-ге б™лінеді» ж‰не «а саны 24-ке б™лінеді» деген тaжырымдамалардыS _шеуі дaрыс, ал біреуі Kате. Jайсысы? (соSCысы)
№13.
Кейбір x ж‰не y б_тін м‰ндерінде , 14x+13y ™рнегі 11-ге б™лінетіні белгілі. Осы x ж‰неy-тыS м‰ндерінде 19x+9y ™рнегі де 11-Cа б™лінетініS д‰лелдеSдер.
№14.
109 алма пакеттерге салынCан. Кейбір пакеттерде x алмадан, басKа пакеттерде 3 алмадан. БарлыK пакеттер саны 20-Cа теS болса, x-тіS м_мкін м‰ндерін табыSдар. (10 немесе 52).
№15.
Цифрлары ‰р т_рлі болатын ж‰не 2,5,9,11-ге б™лінетін еS _лкен т™рт таSбалы санды табыSдар.( 8910.)
№16.
2007 санына еселік болатын ж‰не цифрларыныS Kосындысы 2007-ге теS болатын натурал сан бар ма? (ия, болады)
№17.
а ж‰не b – б_тін сандар. Егер a2 + 9ab + b2 ™рнегі 11-ге б™лінсе, онда a2 – b2 ™рнегі де 11-ге б™лінетініS д‰лелдеSдер. (a2 + 9ab + b2 = + 11ab сондыKтан (a – b)2 ™рнегі де 11-ге б™лінеді.)
№18.
29 + 299 саны 100-ге б™лінетініS д‰лелдеSдер. (29 + 299 = 29(290 + 1) = 29(10249 + 1). Бірінші к™бейткіш 4-ке б™лінеді, ал екінші 1024+1=1025 болCандыKтан 25-ке б™лінеді сондыKтан 29 + 299 ™рнегі де 100-ге б™лінеді.)
№19.
Jосындысы ‰рKайсысына б™лінетіндей, ‰р т_рлі 10 натурал сандарды табыSдар. (мысалы, 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384.)
№20.
Жанaяда 6 бала. БесеуініS жастары кішісінен с‰йкесінше 2,6,8,12 ж‰не 14 жасKа _лкен. €р баланыS жасы – жай сан. Кішісі неше жаста? (5 жаста)
ТаKырып №2 ТаK ж‰не жaптыKты Kолдану
№21.
5 Ч 5 таKтайды 1 Ч 2 доминолармен толтыруCа бала ма? (25 екіге б™лінбейді, сондыKтан болмайды)
№22.
25 Ч 25 таKтайында 25 шашка орналастырылCан. ОлардыS орналасуы диагональCа Kатысты симметриялы. ШашканыS біреуі диагональдыS бойында орналасKанын д‰лелдеSдер.
№23.
m ж‰не n – б_тін сандар. mn(m + n) – жaп сан болатынын д‰лелдеSдер.
№24.
^здік оKитын Дидар к™лемі 96 бет д‰птер сатып алды ж‰не ‰р бетін 1-ден 192-ге дейін н™мірлеп Kойды. Екіге оKитын Алмас осы д‰птерден 25 бет жыртып алды ж‰не сонда жазылCан барлыK 50 санды KосKанда 2002 саны шыKты. Ол Kателескен жоK па? (25 таK санныS Kосындысы таK сан, ал Алмаста жaп сан, сондыKтан Kателесті)
№25.
Jосындысы да, айырымы да жай сан болатын екі жай санды табыSдар. (2 ж‰не 5)
№26.
БарлыK доминолар бір шеSберге орналастырылCан. Бір жаK шетінде 5 aпай болса, басKа жаK шетінде неше aпай болу м_мкін?(5 aпай)
№27.
22 б_тін сандардыS к™бейтіндісі 1-ге теS. ОлардыS Kосындысы н™лге теS екендігін д‰лелдеSдер.
№28.
ТаKтада 0,1,0,0 сандары жазылCан. Бір Kадам жасаCанда кез келген екі санCа 1-ді KосуCа болады. Jадамдарды жалCастырып, барлыK сандарды теS еніп жасауCа бала ма? (болмайды)
№29.
123456789 цифрларыныS арасына «+», «-« таSбаларын KойCанда м‰ні 0-ге теS болу м_мкін бе? (болмайды)
№30.
ТаKтада 1, 2, 3, ..., 1984, 1985сандары жазылCан. ТаKтадан кез келген екі санды ™шіріп, олардыS орнына айырымыныS модулін жазуCа болады. СоSында таKтада бір сан Kалады. Сол сан н™лге теS болу м_кін бе? (1 ден 1985 ке дейінгі сандардыS Kосындысы таK сан, сондыKтан 0 болмайды)
№31.
Хоккей аланында _ш шайба жатыр: А, В ж‰не С. Ойыншы біреуін aрCанда, ол басKа екі шайбаныS арасынан ™теді. Осы Kадамды ол 25 рет жасады. Бaдан кейін шайбалар алCашKы орындарында болу м_мкін бе?(Болмай ды)
№32.
7 сынып оKушысы Мадина ж‰не оныS бірнеше сыныптастары бір шеSберде Kол aстасып тaр. €рKайсысы екі aлды немесе екі Kызды aстап тaр екен. ШеSберде бес aл тaрса, онда шеSберде неше Kыз тaр? (Бес Kыз)
№33.
АлCашKы 36 жай сандардан сиKырлы шаршы жасауCа бола ма? (болмайды)
№34.
Шегіртке т_зудіS бойымен секірді. Бірінші рет бір жаKKа 1 см-ге секірді, екінші рет 2см ж‰не т.с.с. 1985 секіруден кейін, алCашKы бастаCан жерінде бола алмайтынын д‰лелдеSдер.
№35.
101 монета бар, оныS ішінде салмаCы 1 г-Cа ™згеше 50 жалCан монета. Арман арасынан бір монетаны алып, таразымен бір Cана ™лшеу арKылы оныS Kандай екендігін аныKтай алады ма? (Ия)
ТаKырып №3 Жай сандар ж‰не оныS Kасиеттері
№36.
p> 3 ж‰не p - жай сан. Jалай ойлайсыSдар: а) (p + 1) ж‰не (p - 1) сандары жaп сандар бола ма? €) біреуі болсын 3-ке б™ліне ме?(Ия)
№37.
p> 3 ж‰не p - жай сан. Jалай ойлайсыSдар: а) (p + 1) ж‰не (p - 1) сандарыныS біреуі болсын 4-ке б™ліне ме? €) 5-ке б™ліне ме?
№38.
^штен артыK кез келген жай санды, n- натурал сан болCанда, 6n + 1 немесе 6n – 1 т_рінде жазуCа бола ма? (6n + 5 = 6(n + 1) – 1)
№39.
P(n) = n2 + n + 41 к™пм_шесі кез келген n м‰нінде жай сан болады ма?
№40.
Гиннес рекордтар кітабында жазылCан, белгілі еS _лкен жай сан 23021377 – 1- ге теS. Jатесі бар ма? ( Ия бар, дaрысы 23021377 – 1, себебі 23021377 – 1 саны н™лмен аяKталады).
№41.
А) Егер р- жай сан болса ж‰не p> 3 болса, онда p2 – 1 саны 24-ке б™лінетінін д‰лелдеSдер.
€) Егер p ж‰не q – 3-тен артыK жай сандар болса, онда p2 – q2 саны 24-ке б™лінетінін д‰лелдеSдер.
№42.
49 + 610 + 320 саны жай сан бола ма?(жоK, себебі 49 + 610 + 320 = (29)2 + 2·29·310 + (310)2 = (29 + 310)2.)
№43.
Тізбектес он натурал сандарды табыSдар: а) бір де бір жай саны жоK; ‰) бір жай сан; б) екі жай сан, в) _ш жай сан г) т™рт жай сан; д) тізбектес он натурал сандардыS арасында неше жай сан болу м_мкін?(а) 2312-2321; б) 2325-2334; в) 30-39; г) 22-31; д) 10-19; е) не более пяти.)
№44.
Екі Kaрама санныS Kосындысы т_рінде жазуCа болмайтын барлыK жай сандарды табыSдар.( 11 кем: 2, 3, 5, 7 ж‰не 11)
№45.
p, p + 10, p + 14 – жай сандар болатындай, барлыK p сандарын табыSдар.( p = 3)
№46.
p ж‰не 8p2 + 1- жай сандар. p м‰нін табыSдар.
№47.
P-ныS Kандай м‰ндерінде, p, 2p + 1 и 4p + 1 сандары жай сандар болады.( p = 3.)
№48.
Жай санды 30-Cа б™лгендегі KалдыK жай сан болатынын д‰лелдеSдер.
№49.
Екі жай сандардыS квадраттарыныS айырымы нарурал сандардыS квадраты болатынын д‰лелдеSдер.(Ия, мысалы, 52 – 32 = 42 немесе 132 – 52 = 122.)
№50.
Бес екі таSбалы Kaрама сандардыS ішінен екі сан ™зара жай сан болатындай сандар табыла ма?(ЖоK, тек Kана бір таSбалы сандар 2, 3, 5 и 7).
ТаKырып №4 КлассикалыK комбинаторика
№51.
Бір елде _ш Kала бар А, В ж‰не С. А Kаласынан В Kаласына 6 жол бар, ал В Kаласынан С Kаласына – 4 жол бар. Неше т‰сілмен А Kаласынан С Kаласына дейін жетуге болады.(24)
№52.
Егер алты т_рлі т_сті мата болса, онда неше т‰сілмен 3 т_сті ту жасауCа болады?(120)
№53.
1,2,3 ж‰не 4 сандарынан, 4-ке б™лінетін, неше т™рт таSбалы сандар бар? А) €р цифра бір рет кездеседі; ‰) ‰р цифра бірнеше рет кездесу м_мкін.
( а) 2·3 = 6 сандар; б) 42·4 = 64 сан).
№54.
Мумбо-Юмбо тайпасыныS алфавитінде _ш ‰ріп. Т™рт ‰ріптен аспайтын тізбек с™з деп есептеледі. Мумбо-Юмбо тайпасында неше с™з бар?( 3 + 32 + 33 + 34 = 120 с™з)
№55.
5-ке б™лінетін неше алты таSбалы сандар бар?(180000 чисел.)
№56.
А) 28 оKушы неше т‰сілмен асханаCа кезекке тура алады?
€) Ернaр мен Архатты бірнен- бірін KоюCа болмайтын болса, сан Kалай ™згереді?( а) 28!; ‰) 26·27!).
№57.
Бір оKушыда матеиматика п‰нінен 6 кітап бар, ал екіншісінде – 8. Неше т‰сілмен олар _ш _штен ауыса алады?()
№58.
JабырCалары б_тін сандар болатын тікт™ртбaрыштардыS Kайсысы артыK: периметрі 1996 немесе периметрі 1998? (Бірдей)
№59.
Ерлан ж‰не Арман математикадан баKылау жaмысын жазды, ‰рKайсысы 2, 3, 4, 5 деген баCа алу м_мкін. ОлардыS баCа алуыныS Kанша нaсKасы бар?
№60.
Т_зудіS бойында т™рт н_кте белгіленген А, Б, С, Д. Jанша кесінді пайда болды?
№61.
Натурал санды «керемет» деп атайыK, егер ол – цифрларыныS Kосындысы бірдей барлыK натурал сандардыS ішіндегі еS кішісі болса. БарлыCы неше _штаSбалы «керемет» сандар бар? (9 сан)
ТаKырып №5 Паскаль ж‰не бином Ньютон _шбaрыштары
№62.
Паскаль _шбaрышында 1999 саны кездеседі ме?(Ия, мысалы )
№63.
Паскаль _шбaрышында 101 KатардаCы сандардыS Kосындысы 100-ші KатардаCы сандардыS Kосындысынан неше есе артыK?(екі есе)
№64.
Паскаль _шбaрышыныS 99-ші Kатарында «+» ж‰не «-« таSбаларын Kоямыз. Бірінші сан мен екінші санныS арасына «-«, екінші мен _шіншініS арасына «+», _шінші мен т™ртіншініS арасына «-«, ары Kарай т.с.с. ШыKKан ™рнектіS м‰нін табыSдар.(0)
№65.
Неше т‰сілмен к ‰рпінен бастап «квадрат» с™зін оKуCа болады?
к
в
в
а
а
а
д
д
д
д
р
р
р
р
р
а
а
а
а
а
а
т
т
т
т
т
т
т
(26 т‰сілмен).
III Графтар теориясы 8 саCат
Графтар теориясы ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] graph theory) т_йіндері н_ктелер жиыны, ал т_йіндердіS жалCасуы (KабырCа деп аталатын) парлы екі н_кте болып келетін тор т_рінде бейнеленеді. Егер т_йіндердіS жалCасу реті айтарлыKтай маSызды болса баCытталCан граф, ‰йтпесе баCытталмаCан граф болады. Графтар [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] кеSінен Kолданылады, айталыK, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] схемасы немесе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] баCытталCан графтарCа жатады
ТаKырып №6 ГрафтардыS Kарапайым есептері
№66.
ОKушы досы АлиханCа айтады: - БіздіS сыныпта отыз бес бала. €рKайсысы 11 сыныптасымен достасKан... – Ондай м_мкін емес, - деп математикалыK олимпиада жеSімпазы Алихан жауап береді. Неге ол солай ойлайды?
№67.
Мемелекетте 100 Kала бар ж‰не ‰р Kаладан 4 жол шыCады. Осы мемелекетте барлыCы неше жол бар?(100 · 4/2 = 200)
№68.
Сыныпта 30 оKушы. 9 оушыда 3 достан болу мумкін бе? (осы сыныптан), 11 оKушыда – 4 достан, ал 10 – 5 достан?
№69.
Мемлекеттегі ‰р Kаладан 3 жол шыKса, барлыCыт 100 жол болу мумкін бе?(жоK)
№70.
ЖазыKтыKKа, бір кесінді басKа _ш кесіндімен Kиылысатындай, 9 кесінді салуCа болады ма?(жоK)
№71.
Шахмат турнирында 6 ойыншы болды. Екі ойыншы бір-бірімен бір партиядан ойнады. БарлыCы неше партия ойналды? €р ойыншы неше партиядан ойнады?(15 партия; 5 партия).
№72.
Математика _йірмесініS _шінші сабаCына 17 оKушы келді. ^йірмеге келген ‰р KыздыS _ш танысы, ал ‰р aлдыS 5 танысы болуы м_мкін бе?
ТаKырып №7 ЖазыK графиктардыS Kасиеттері. Эйлерлік графтар.
№73.
Бір елде 15 Kала бар, ‰р Kала кем дегенде 7 Kаламен жолдары бар. Кез келген бір Kаладан басKа KалаCа жету болатындыCын д‰лелдеSдер. БасKа Kалалар арKылы ™туге болады.
№74.
Бір елдіS ‰р Kаласынан 100 жол шыCады ж‰не кез келген бір Kаладан басKа KалаCа жетуге болады. Бір жол ж™ндеуге жабылды. Сонда да кез келген бір Kаладан басKа KалаCа жетуге болатынын д‰лелдеSдер.
IV ТеSдеулер ж‰не теSсіздіктер. Диофантты теSдеулер 6 саCат
ТаKырып №8 СызыKтыK теSдеулер мен теSсіздіктер. Коши теSсіздігі
№87.
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер. x + y + u = 4, y + u + v = –5, u + v + x = 0, v + x + y = –8.(2, –3, 5, –7).
№88.
m-ніS Kандай м‰нінде mx – 1000 = 1001 ж‰не 1001x = m – 1000x теSдеулерінде бір ортаK т_бір болады?(m = ± 2001).
№89.
x8 + 4x4 + x2 + 1 = 0 теSдеуін шешіSдер. (Шешімі жоK)
№89.
Кассирда 30 монета болды: 10, 15 ж‰не 20 тиыннан 5 теSге. Кассирда 20 тиындыK монеталар саны 10 тиындыK монеталар санынан артыK болCанын д‰лелдеSдер.
№90.
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
({2, 3}.)
№91.
с-ныS Kандай м‰нінде, cx=9 теSдеуініS:
а) т_бірі -9; 0; 1/5-ке теS;
‰) т_бірі жоK;
б) т_бірі оS сандар. (а) -1, 0 теS бола алмайды, 45; ‰) 0; б) 0-ден атрыK м‰нінде.
№92.
ТеSдеудіS графигін салыSдар:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; ‰) 13 EMBED Equation.3 1415
№93.
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
5732x + 2134y + 2134z = 7866, 2134x + 5732y + 2134z = 670, 2134x + 2134y + 5732z=11464 (Жауабы: М_шелеп Kосу керек , сонда x + y + z = 2 немесе 2134x + y + z = 4268 теSдеулері шыCады. Осы теSдеулерді ‰рKайсысынан азайту керек. (1, –1, 2).)
№94
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
x + y + u = 4, y + u + v = –5, u + v + x = 0, v + x + y = –8. ((2, –3, 5, –7).)
№95
m-ніS Kандай м‰нінде mx – 1000 = 1001 ж‰не 1001x = m – 1000x теSдеулерініS ортаK т_бірлері болады? ( m = ± 2001)
№96
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
(барлыCын KосKанда 3(x1 + x2 + ... + x8) = 0 тедеуін аламыз. Бірінші, т™ртінші ж‰не жетінші теSдеулерді KосKанда 2x1 + x2 + x3 + ... + x8 = 1 теSдеуін аламыз. Демек, x1 = 1. С‰йкесінше басKа т_бірлерін табамыз)
№97 ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
((37/12, 143/144, 65/66, 39/40, 26/27, 91/96, 13/14, 65/72, 13/15, 13/16, 13/18, 13/24).)
№98
у = kx + b ж‰не у = bx + k функцияларыныS графиктері Kиылысады. Jиылысу н_ктесініS абсциссасын табыSдар. (х=1)
№99
ТеSдеулер ж_йесін шешіSдер:
(2/7, 2/5, 2/3).
№100
7 шоколад 8 буда печеньеден Kымбат. Не Kымбат – 8 шоколад немесе 9 буда печенье ме? (8 шоколад 9 буда печенье ден Kымбат).
№101. Кез келген х ж‰не у _шін, Ѕ (x2 + y2)
· xy теSсіздігініS орындалатынын д‰лелдеSдер
№102 a, b, c > 0 болCанда, теSсіздігініS орындалатынын д‰лелдеSдер.
ТаKырып №9 Модульмен берілген сызыKтыK теSдеулер мен теSсіздіктер
№103. ТеSдеуді шешіSдер
№104. ТеSдеулерді шешіSдер:
А) 2|x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|; Жауабы: ( x = 3, x = - 1) B) 3|x| – (x + 1)2 = 4|x| – (x2 -1) – 2(x - 5); Жауабы: Шешімі жоK. C) |-3 - 5x| = 3; Жауабы: (x = 0) D) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|; Жауабы: x = 4 или x = - 2 E) |x| – (3 – x)/4 = (2x - 1)/8 Жауабы: x = 5/8, x = -5/8
№105. ТеSдеулерді шешіSдер:
|4 – |x|| = 2. Жауабы: x = 2, -2; 6, -6 B) |9 + |x|| = 5 Жауабы: Шешімі жоK
№106. ТеSдеуді шешіSдер.
|(2x + 1)2 - 4x2 - 2| - 3|4x – 1| = - 6.
Жауабы: |(2x + 1)2 - 4x2 - 2| – 3|4x -1| = - 6 <=> |4x2 + 4x + 1 - 4x2 - 2 | - 3|4x - 1| = - 6 <=> |4x – 1| - 3|4x – 1| = - 6 <=> -2|4x – 1| = - 6 <=> |4x – 1| = 3 <=> 4x - 1 = 3 or 4x - 1 = -3 СондыKтан, x = 1 или x = -1/2
№107. ТеSдеулерді шешіSдер:
A) |2x – (3x + 2)| = 1 B) |x|/3 – 2|x|/2 = - 1 C) |3x – 1| = 2|3x – 1| - 2
№108 ТеSсіздіктерді шешіSдер:
А) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (-11;-3)
€) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
ТаKырып №10 СызыKтыK диофантты теSдеулер
Диофант теSдеулері [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] немесе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] ізделетін коэффициенттері б_тін сандар болатын алгебралыK теSдеулер немесе алгебралыK [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Осындай теSдеулерді зерттеген ежелгі грек математигі [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] (біздіS заманымыздыS III Cасыры) есімімен аталCан. Бaл теSдеулердегі белгісіздердіS саны теSдеулердіS санынан артыK, сондыKтан оларды кейде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] деп те атайды. Jарапайым диофант теSдеуініS т_рі мынадай: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], мaндаCы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ж‰не [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] б_тін, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ж‰не [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] бір шешімі болса, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - кез келген б_тін сан) сандары да теSдеулердіS шешімдері болады.
№109 ТеSдеудіS б_тін шешімдерін табыSдар:
А) 3x-4y=1
€) 14x-46y=72
Б) 8x+14y=32
В) 9x-18y=5
V ЛогикалыK есептер 12 саCат
ТаKырып №11 Алгоритм теориясы
№110 €кесі мен aлына бірге 65 жас. €кесіне 25 жас болCанда, aлы туды. €кесі мен aлыныS жасы нешеде?
№111. Арыстан бір Kойды 2 к_нде жеді, KасKыр 3 к_нде, ит 6 к_нде. Олар бірге Kосылып Kойды неше к_нде жеп Kояды?
№112. ^ш aл балада бірнеше алмадан бар. Бірінші aл KалCан екі aлда Kанша алма болса, сонша алмадан оларCа таратады. Сосын екінші aл KалCан екі aлдыS ‰рKайсында Kанша алма болса, сонша алмадан таратады ж‰не _шінші aл да ‰рKасында Kанша алма болса сонша алмадан береді. Содан кейін aлдардыS ‰рKайсында 8 алмадан болып шыKты. АлCашKыда aлдардыS ‰рKайсында Kанша алмадан болды?
№113. Мен бір санды ойладым, оCан екіні к™бейтіп, _шті KосKанда 17 саны шыKты. Мен Kандай санды ойладым?
№114. Бір к_ні шайтан жалKауCа табыс табуды aсынады. “Мына к™пірден ™ткеннен кейін, сеніS аKшаS екі есе ™седі – деді ол. Бaл к™пірден Kанша рет ™тсеS де ™туге болады, біраK ‰р ™ткен сайын маCан 24 тиыннан беріп отырасыS” ЖалKау келіседі ж‰не... _ш рет ™ткеннен кейін бір тиынсыз Kалады. БастапKыда жалKаудыS Kанша аKшасы болды?
№115. Туристер тобы жорыKKа шыCады. Бірінші к_ні жолдыS 1/3 ™теді, екінші к_ні KалCан жолдыS 1/3, _шінші к_ні KалCан жаSа жолдыS 1/3 ™теді. Н‰тижесінде оларCа ‰лі де 32 км ж_ру Kалды. ТуристтердіS маршруты неше километр болды?
№116. Рулетка ойынын ойнап, АсKар аKшасын екі есе aлCайтты, сосын 10 тг жоCалтты, содан кейін аKшасын 3 есе к™бейтіп 12 тг aтты. Н‰тижесінде АсKарда 60 тг Kалды. Ол ойынды Kанша аKшамен бастады?
№117. Jыз баKтан алма жинады. БаKтан шыCу _шін ол 4 KаKпадан ™туге м‰жб_р болды, ‰р KаKпада жолаушылардыS жарты алмаларын алып Kоятын, Kатал к_зетші к_зетіп отырды. ^йге Kыз бары жоCы 10 алма Cана ‰келді. К_зетшілерге Kанша алмадан тиді?
№118. Арман, Берік ж‰не Сержан маркаларымен алмасты. Берік ™зініS 5 маркасын СержанCа берді. Сержан АрманCа 4 марка берді, Арман Берікке 2 марка берді. Н‰тижесінде _ш балада маркалардыS саны теS болды. Егер _ш доста барлыCы 30 марка бар болса, бастапKыда Арманда Kанша марка болCан?
№119. Екі батыр кезекпен тоCызбасты айдаkармен соCысады. Олар кезекпен оныS _Sгіріне кіріп 1, 2 ж‰не 3 бастан шауып тастай алады. Jалай соCысты бірінші бастаCан батырCа жеSімпаз атаCын алуCа болады ( соSCы басын шауып тастаCан)?
ТаKырып №12. Кесте Kaру арKылы шыCарылатын логикалыK есептер
№120. Математикадан мектепішілік олимпиадада KатысушыларCа 6 есептен берілді. €р шыCарылCан есепке 7 aпайдан беріледі, ал ‰р шыCарылмаCан есепке 3 aпайдан алынады. Jатысушы неше есеп шыCарды, егер ол 12 aпай алса? 2 aпай? 32 aпай?
№121. Отбасында 3 бала: 2 aл ж‰не Kыз. ОлардыS есімдері А,В,Г деген ‰ріптерден басталады. А ж‰не В деген ‰ріптердіS біреуінен, бір aлдыS есімі басталады, ал В ж‰не Г ‰ріптерініS арасынан екінші aлдыS есімі басталады. JыздыS есімі Kандай ‰ріптен басталады?
№122. Т™рт адам Kол алысып амандасты. БарлыCы Kанша Kол алысу болды?
№123. Т™рт аCайынды Мерхат, Ербол, Алишер, Темірлан 1,2,3,4 сыныптарда оKиды. Ербол – _здік оKушы, кіші інілері одан _лгі алуCа тырысады. Алишер 4 сыныпта оKиды. Мерхат аCасына есеп шыCаруCа к™мектеседі. Кім Kандай сыныпта оKиды?
№124. Д‰улет, Айнaр, Зарина, Р_стем 12 аKпанда, 6 с‰уірде, 12 маусымда, 26 маусымда туды. JызыK екен, Р_стем ж‰не Айнaр бір айда туды, ал Зарина ж‰не Р_стем ‰р т_рлі айлардыS бір к_нінде туды. Д‰улет Kай айда туды?
№125. ОлимпиаданыS жеSімпаздары сахнаCа Kатармен тaрды. Мектеп директоры оларды KaтыKтап, байKады, еS жаKсы KатысKан Ерлан, оS жаCынан бесінші болып тaр. Математика мaCалімі Ерланды сол жаCынан тоCызыншы болып тaрCанына назар аударды. Сахнада барлыCы неше оKушы тaрды?
№126. Ата-аналар жиналысына барлыCы 25 оKушыныS ‰келері ж‰не аналары келді. Аналар 20, ал ‰келер –10 болды. Неше оKушыныS ата-аналар жиналысына, ‰кесі де, анасыда келді?
№127. Математика кабинетіне консультацияCа _ш оKушы жиналды: Аружан, Берік ж‰не Салтанат. АружанCа сaраKKа жауап беруге 5 минут Kажет, Берікке 2 минут, ал СалтанатKа 7 минут. ОKушылар кабинетте аз уаKыт болатындай, мaCалімге консультацияны Kалай дaрыс Kaру керек?
ТаKырып №13. К_нтізбе есептері
№128. Петя айтады, мен алдыSCы к_ні 10 жаста болдым, ал келесі жылы мен 13-ке толамын. Ондай болу м_мкін бе? ( Петя 1 Kантарда айтKан, оныS туCан к_ні 31 желтоKсанда ж‰не ол 11 жасKа келді. Келесі жылы ол 13 жасKа келеді, себебі осы жылы ол 12 жасKа келеді.)
№129. Jантар айында 4 жaма ж‰не 4 д_йсенбі болды. Осы айдыS 20-сы аптаныS Kандай к_ні болды? (АйдыS бірінші к_ні сейсенбі болса, онда 20-сы жексенбі болады.)
№130. Анасы 47 жаста, ал оныS aлдарыныS жастары с‰йкесінше 10, 12 ж‰не15 жаста. Jашан aлдардыS жастарыныS Kосындысы анасыныS жасына теS болады? (АнасыныS жасына Kуып жету _шін балаларCа 10:2 = 5 жыл Kажет.)
№131. 2 жыл бaрын аCасыныS жасы нешеде болса, KарындасыныS жасы сонша есе аCасынан кіші болды. Jарындасы неше жаста? (2 жыл бaрын Kарындасы 1 жаста болCан, ал Kазіргі уаKытта оныS жасы 3 жаста)
№132. €кесі 36 жаста, ал aлы 7 жаста. Jанша жылдан кейін ‰кесініS жасы aлыныS жасынан екі есе артыK болады? ( `лы 29 жасKа кіші ‰кесінен, 22 жылдан кейін aлы 29 жасKа келеді. Онда ‰кесініS жасы 36+22=58 жаста ж‰неде aлыныS жасынан екі есе артыK)
№133. Екі жыл бaрын аCасыныS жасы KарындасыныS жасынан екі есе артыK болды, ал 8 жыл бaрын 5 есе артыK. АCасы неше жаста ж‰не Kарындасы неше жаста? (АCасы 18 жаста, Kарындасы 10 жаста)
ТаKырып №14. Тізбектер
МаKсаты: ЛогикалыK байланысты аныKтайтын тізбектерді шыCара білу Kабілеттерін дамыту.
К_тілетін н‰тиже:
ЛогикалыK ойлау Kабілеттері дамиды;
П‰нге KызыCушылыKтары дамиды.
№134. Тізбекті жалCастыр
..., 536, 373, 839, 404, 142,...
№135. 1, 11, 21, 1211, 111221,.....
№136. 196 (25) 324
..) 137
№137. Егер 736 - 1
308 - 3
144 - 0
240 -1
835 - 2 болса, онда 688 - ?
№138. Тізбекті жалCастыр:
101, 112, 131, 415,.....
VI ГеометриялыK есептер 6 саCат
ТаKырып №15. ^шбaрыштар. Т™ртбaрыштар. ШеSбер.
№139. АС ж‰не ВД кесінділері О н_ктесінде Kиылысады. АВС _шбaрышыныS периметрі АВД _шбaрышыныS периметріне теS, ал АСД _шбaрышыныS периметрі ВСД _шбaрышыныS периметріне теS. Егер ВО= 10 см болса, онда АО кесіндісініS aзындыCын тпбыSдар.
№140. ^шбaрыштыS медианасы оныS периметрін KаK б™леді. ^шбaрыш теSб_йірлі екендігін д‰лелдеSдер.
№141. DEF _шбaрышында DK медианасы ж_ргізілген. Егер
·KDE = 70°,
·DKF = 140° болса, онда _шбaрыштыS бaрыштарын табыSдар.
№142. ABCD шаршысы берілген. ШаршыныS ішкі жаCына, AD KабырCасына теSKабырCалы ADE _шбaрышы салынCан. AC диагоналі ED KабырCасын F н_ктесінде Kияды. CE = CF болатынын д‰лелдеSдер.
№143. ABC _шбaрышында AB = BC. Е н_ктесінен АВ KабырCасына пенрепендикуляр ED ж_ргізілген. AE = ED болып шыKты. DAC бaрышын табыSдар.
№144. Егер тікбaрышты _шбaрыштыS гипотенузасына тaрCызылCан теS KабырCалы _шбaрыштыS ауданы тікбaрышты _шбaрыш ауданынан екі есе _лкен болса, тікбaрышты _шбaрыштыS кіші бaрышын тап.
№145. Сымнан жасалCан кубтыS бір т™бесінде отырCан KaмырсKа Kарама-Kарсы т™беге кубтыS Kырларымен 5 «ж_ріс» жасап неше т‰сілмен бара алады? (Бір Kырмен бірнеше рет ж_руге болады)
ТаKырып №16. Салу, Kию есептері.
№146. 8Ч8 шахмат таKтасынан 12 доминоны (домино - 1Ч2 ™лшемді тікт™ртбaрыш) кесіп алCан. JалCан б™ліктен ‰рдайым 1Ч3 тікт™ртбaрыш кесіп алуCа бола ма?
№147. Екі ойыншы кезектесіп 4Ч4 шаршыныS торк™здеріне крест Kойып ойнайды. КімніS ж_рісінен кейін торк™здері толтырылCан 2Ч2 шаршы пайда болса, сол ойыншы жеSіледі. Дaрыс ойын н‰тижесінде кім жеSеді? ЖеSімпаз Kалай ойнауы тиіс?
№148. Пентамимо фигураларынан 8х8 шаршыдан ортаSCы 2х2 шаршы Kиып тасталынCан фигура Kaрастыр. Бірнеше шешімін тап.
№149. 5х12 тікт™ртбaрыш 12 пентамимодан тaрады. Бір пентаминода 1 жaлдызшадан болатындай етіп Kaрастыр.
№150. 12х10 Kорапта 12 пентамимо фигуралары орналасKан. JалCан бос жеріне таCыда 12 пентамимо фигураларын орналастыр.
Jорытынды сабаK
МатематикалыK олимпиада
2 + a ж‰не 35 - b 11-ге б™лінеді. a + b 11-ге б™лінетіндігін д‰лелдеSдер. (2 aпай)
Цифрлары ‰р т_рлі болатын ж‰не 2,5,9,11-ге б™лінетін еS _лкен т™рт таSбалы санды табыSдар.( 8910.) (3 aпай)
Егер р- жай сан болса ж‰не p> 3 болса, онда p2 – 1 саны 24-ке б™лінетінін д‰лелдеSдер. (4 aпай)
Ерлан ж‰не Арман математикадан баKылау жaмысын жазды, ‰рKайсысы 2, 3, 4, 5 деген баCа алу м_мкін. ОлардыS баCа алуыныS Kанша нaсKасы бар? ( 3 aпай)
Шахмат турнирында 6 ойыншы болды. Екі ойыншы бір-бірімен бір партиядан ойнады. БарлыCы неше партия ойналды? €р ойыншы неше партиядан ойнады?(15 партия; 5 партия). (4 aпай)
ПайдаланылCан ‰дебиеттер:
Генкин, С.А. Интенберг, И.В. Фомин, Д.В. Ленинградские математические кружки. Киров, изд.”АСА”, 1994.-272 с.
Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы / М.: Айрис-пресс, 2008. –176с.:
Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы / М.: Айрис-пресс, 2008. –144с.:
J. Jантарбаев. JызыKты математика. Жалпы білім беретін мектептіS оKушыларына арналCан к™мекші Kaрал. –Алматы: “Мектеп” баспасы, 2007. –48 бет.
Журнал: “Математика в школе”. 2008 ж, №5
Журнал: “Математика в школе”. 2009 ж, №8
Журнал: “Математика в школе”. 2010 ж, №2
Журнал: “Математика в школе”. 2012 ж, №10
М.А. Екимова, Г.И. Кукин. Задачи на разрезание – М.: МЦНМО, 2002. –120 с.
Математика п‰нінен облыстыK жас™спірімдер олимпиадасыныS іріктеу кезеSініS тапсырмалары
Нагибин, Ф.Ф., Канин, Е.С. Математическая шкатулка [Текст]: Пос. для уч-ся.- [Изд. 4-е, перераб. и доп.] .- М.: Просвещение, 1984.- 158с.: ил.
Задачи. http://www.problems.ru
Рисунок 1Root Entry