Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс

Контрольная работа по теме: Многочлены. 10 класс (с решением)
Задача 1.
Проверить по определению, будет ли число 2 корнем многочлена:
а) f(x) = x5 – 4x4 + 7x3 – 24;
б) f(x) = 5x5 + 4x3 - 7x2 + 2.
Решение:
Подставляя вместо переменной число 2, имеем:
а) f(x) = 25 – 4·24 + 7·23 – 24 = 32 – 64 + 56 – 24 = 0. Следовательно, 2 – корень многочлена.
б) f(x) = 5·25 + 4·23 - 7·22 + 2 = 160 + 32 – 28 + 2 = 166 0. Следовательно, 2 – не является корнем многочлена.
Задача 2.
При помощи схемы Горнера проверить, является ли число с корнем многочлена f(x) = 4x6 – x5 – 6x4 + 3x3 + 50x – 68:
а) с = 3;
б) с = -2.
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степени, равной 2 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
а)
4 -1 -6 3 0 50 -68
с = 3 4 3·4– 1 = 11 3·11– 6= 27 3·27+3 = 84 3·84+0 = 252 3·252+50= 806 3·806–68 = 2350 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 3)), делаем вывод, что число 3 корнем многочлена не является.
б)
4 -1 -6 3 0 50 -68
с =-2 4 -2·4–1 = -9 -2·(-9)-6= 12 -2·12+3 = -21 -2·(-21)= 42 -2·42+50= -34 -2·(-34)-68= 0
По следствию из теоремы Безу – многочлен делится нацело на (х – (-2)) = (х + 2) – делаем вывод о том, что число -2 является корнем многочлена.
Задача 3.
Какова кратность корня х = -1 многочлена f(x) = x5 + 4x4 + 5x3 + x2 – 2x – 1?
Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:
1 4 5 1 -2 -1
-1 1 3 2 -1 -1 0
-1 1 2 0 -1 0 -1 1 1 -1 0 -1 1 0 -1 0 Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х2 + х – 1), где коэффициенты многочлена х2 + х – 1 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
Задача 4.
Отделить кратные корни многочлена f(x) = x5 – 2x4 – x3 + 5 x2 – 4x + 1.
Решение:
Если многочлен имеет корень кратности k, то его производная имеет этот же корень кратности (k – 1). Найдем производную данного многочлена:
f /(x) = 5x4 – 8x3 – 3x2 + 10x – 4
Найдем наибольший общий делитель многочлена и его производной по алгоритму Евклида:
(f(x), f /(x)) = x2 - 2x + 1. Заметим, что это полный квадрат (x – 1)2, следовательно, f /(x) содержит корень 1 кратности 2, а f(x) содержит этот корень 1 кратности 2 + 1 = 3. Т.к. в наибольшем общем делителе других множителей нет, то и кратных корней у многочлена тоже больше нет.
Разделим f(x) на (x – 1)3 по схеме Горнера:
1 -2 -1 5 -4 1
1 1 -1 -2 3 -1 0
1 1 0 -2 1 0 1 1 1 -1 0 Получим f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).Остальные 2 корня многочлена – простые (в этом случае действительные иррациональные числа).
Ответ: f(x) = (x – 1)3(х2 + х – 1).
Задача 5.
Разложить многочлен f(x) = x6 + x5 – 4x4 – 2x3 + 5x2 + x – 2 в произведение линейных множителей, отделив его кратные корни.
Решение:
f /(x) = 6x5 + 5x4 – 16x3 – 6x2 + 10x + 1
(f(x), f /(x)) = x3 – x2 – x + 1
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 30x4 + 20x3 – 48x2 – 12x + 10
( f /(x), f //(x)) = x – 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный 1 кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2. Разделим первую производную многочлена на (x – 1)2 = (х2 – 2х + 1). Получим: f /(x) = (x – 1)2(х + 1). Т.е. в f /(x) корень равный 1 входит с кратностью 2. Значит в f (x) он входит с кратностью 3. В f /(x) корень равный –1 входит с кратностью 1, значит в f (x) он входит с кратностью 2. Т.к. f (x) – многочлен шестой степени, а найденные нами корни кратности – 2 и 3, то у f (x) есть еще один корень, который является простым.
Разделим f (x) на (x – 1)3 и на (x + 1)2 по схеме Горнера:
1 1 -4 -2 5 1 -2
1 1 2 -2 -4 1 2 0
1 1 3 1 -3 -2 0 1 1 4 5 2 0 -1 1 3 2 0 -1 1 2 0 Получим: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
Ответ: f (x) = (x – 1)3(x + 1)2(х + 2)
Задача 6.
При помощи кратных корней, найти точку (точки) х, в которых график функции f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12 касается оси ОХ, но не пересекает ее.
Решение: f(x)= х6 – 4х5 – 2х4 + 16х3 + 5х2 – 20х – 12.
Найдем производную многочлена: f /(x)= 6х5 – 20х4 – 8х3 + 48х2 + 10х – 20.
НОД (f (x), f /(x)) = х3 – 3х – 2.
Найдем вторую производную, т.к. линейные множители пока выделить мы не можем: f //(x)) = 30х4 – 80х3 – 24х2 + 96х + 10.
НОД (f /(x), f //(x)) = х + 1. Таким образом: f //(x)) = (х +1)q1(x), следовательно: f /(x) = (х +1)2q2(x), разделив f /(x) на (х +1)2, получим f /(x) = (х +1)2(x – 2).
Следовательно, f (x) = (х +1)3(x – 2)2q3(x). Разделив f (x) на (х +1)3(x – 2)2 получим f (x) = (х +1)3(x – 2)2(x – 3).
Таким образом, имеем х = -1 – трехкратный корень многочлена, х = 2 – двукратный корень, х = 3 – простой корень. Следовательно, в точке х = 1 график имеет точку перегиба (нечетная кратность), в точке х = 2 график касается оси ОХ, но не пересекает ее (четная кратность), в точке х = 3 график пересекает ось ОХ (простой корень).
Ответ: х = 2.
Индивидуальные задания
Проверить по определению, будет ли число с корнем многочлена f(x):
f(x) = x3 – 4x2 + 7x + 1470, с = -10;
Решение:
Подставляя вместо переменной число -10, имеем:
f(x) = (-10)3 – 4•(-10)2 + 7•(-10) + 1470=-1000-400-70+1470=0
Следовательно, -10 – корень многочлена.
Проверить по схеме Горнера, будет ли число с корнем многочлена f(x):
f(x) = x5 – 7x3 – 4, с = 4;
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1,2 и 4 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
1 0 -7 0 0 -4
с = 4 1 4·1+0 = 4 4·4– 7= 9 4·9+0 = 36 4·36+0 = 144 4·144-4= 572 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 4)), делаем вывод, что число 4 корнем многочлена не является.

Проверить с помощью деления углом и при помощи схемы Горнера, будет ли множитель х – с входить в разложение многочлена f(x):
f(x) = x5 – 4x4 + 7x2 – 4, х – 2;
Решение:
В первую строку таблицы записываем коэффициенты многочлена (с учетом того, что при степенях, равных 1 и 3 коэффициент равен нулю), значения во второй строке подсчитываем, пользуясь формулами.
1 -4 0 7 0 -4
с = 2 1 2·1-4 = -2 2·(-2)+0= -4 2·(-4)+7 = -1 2·(-1)+0 = -2 2·(-2)-4 = -8 0
По следствию из теоремы Безу (многочлен не делится нацело на (х – 2)), (число 2 корнем многочлена не является), следовательно х-2 не входит в разложение многочлена f(x)
Проверим с помощью деления углом:

Определить по схеме Горнера, какова кратность корня с = -1 для многочлена f(x):
f(x) = x4 – 2x3 – 12х2 – 14х – 5;
Решение:
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:
1 -2 -12 -14 -5
-1 1 -3 -9 -5 0
-1 1 -4 -5 0 -1 1 -5 0 -1 1 -6 0 Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х – (-1)) = (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3( х – 5), где коэффициенты многочлена х – 5 взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность корня равна трем.
Определить по схеме Горнера, какова кратность множителя х + 1 для многочлена f(x):
f(x) = x4 + 8x3 + 18х2 + 16х + 5;
Решение:
Задача решается аналогично предыдущей.
Проверяем по схеме Горнера, подсчитывая каждую следующую строку в зависимости от коэффициентов предыдущей:
1 8 18 16 5
-1 1 7 11 5 0
-1 1 6 5 0 -1 1 5 0 -1 1 4 0 Таким образом получаем, что многочлен имеет три множителя (х + 1) и представим в виде f(x)= (х + 1)3(х +5), где коэффициенты многочлена взяты из предпоследней строки таблицы, в которой получен последний нулевой остаток.
Ответ: кратность множителя х + 1 равна трем.
Разложить многочлен в произведение линейных множителей, отделив кратные корни многочлена:
f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4;
Решение:
f /(x) = 4x3 – 3x2 - 18x – 11
НОД (f(x), f /(x)) = x2 + 2x + 1=(x + 1)2
Т.к. наибольший общий делитель может тоже содержать кратные множители, продолжим процесс и найдем f //(x):
f //(x) = 12x2 - 6x – 18
( f /(x), f //(x)) = x + 1. Следовательно, в f //(x)) имеется корень равный -1 кратности 1, значит в f /(x) этот корень входит с кратностью 2.
Разделим уголком f(x) на НОД (f(x), f /(x)) и получим
f(x) = x4 – x3 – 9х2 – 11х – 4 = (x + 1)2(x2 - 3x – 4)= по Теореме Виета получим = =(x + 1)2(x + 4)(x – 1)
Ответ: f (x) = (x + 1)2(x + 4)(x – 1)