Статья по математике на тему: Алгебралы? есептерді шешуді? геометриялы? ?дістері

АЛГЕБРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ӘДІСТЕРІ
Астана қаласы, №25 орта мектебі математика пәнінің мұғалімі: Қабиден Г.Қ.
Көптеген математикалық тапсырмалардың бірнеше шығарылу жолдары бар. Тапсырмаларды шешудің ең тиімді жолдарын қарастыру математикалық дайындықтың шығар шыңы. Алгебралық тапсырмалардың шешімдерін табудың ең бір қажетті әдісі ол геометриялық түсіндірме әдісі. Немесе мұндай әдіспен шешілетін тапсырмаларды геометриялық алгебра деп атайды.
Математиканыоқытуда геометрия курсы үлкен орын алады. Математикаға бөлінген уақыттың 40%-ін геометрия алады. Геометрияны оқытудың басты мақсаттарының бірі — оның теориялық негіздерін білу және оларды практикада қолдану дағдыларын меңгерту. Сонымен қатар оқушының логикалық ойлауын, дәлелдеу қабілетін, талқылауларды себептеу, ойды дәл және анық тұжырымдай білу мәселелері де маңызды міндеттер болып табылады.
Геометрия — логикалық ойлауға, кеңісті қиялмен елестетуге деген мүмкіндіктерге байбірегей мектеп пәні. Ендеше неге бұл әлеуетті, ереже ретінде алгебра сабағында қолданбасқа? Алгебра мен геометрияны тұтас бір құрылым екенін есетен шығарып, үнемі оларды екі бөлек пән ретінде қарастырады.
Бұл жұмысқа мынадай мақсаттар қойылды: есепті геомериялық тұрғыдан шешуде зор мүмкіндік туғызу, нақты алгебралық мәселелерді геометриялық жолмен шешудің артықшылғын көрсету.
Зерттеу пәні: Есептерді шешудің геометриялық әдісі.
Зерттеу аймағы: Алгебралық тапсырмалар.
Зерттеу әдісі: Ұқсастық, қорыту, ғылыми әдебиеттерге анализ, .
Геометрия курсының көкейкесті мәселелері ол – бұл курстың мазмұнының ғылыми құндылығын, оқу материалдарының түсініктілігін арттыру, мазмұнды геометриялық есептердің ролін күшейту. Логикалы- математикалық жүйелі дағдыны қалыптастру үшін қазіргі кезде есептерді шығарудың тек бір қана әдісімен тоқталып қалу жеткіліксіз. Қосымша әдісретін де геометриялық емес есептерді геометиялық жолмен шығаруәдістерін пайдалануға болады. Геометрия курсы қандай жолмен құрылмасын онда міндетті түрде теоремаларды дәлелдеудің, есептерді шығарудың әртүрлі әдістері қарастырылады. Сонымен алгебра курсында қарастырылатын есептерді геометрялық жолмен шығарыруының түрлі тәсілдерін қарастырайық.
1.Теңдеулер жүйесін геометриялық әдіспен шешу:
Мысалы жоғары сынып алгебра пәнінде, мемлекеттік емтихан сұрақтарында мынада теңдеулер жүйесі жиі кездеседі.
Тапсырма 1. x, y және z оң сандары үшін x2+z2=50, x2+xy+y22=169, x2+xz+z22=144 x, y және z мәндерін таппай, xy+yz+zx өрнектің мәнін есептеу.
Шешуі: Бұл есепті шығару үшін біз әрине бірден алгебралық шығару жолдарына жүгінеміз. Бірақ есептің шартында бізге берілгендей x, y және z мәндерін таппай xy+yz+zx осы өрнекті орындау керек. Ал бұл мүмкін емес. Сондықтан біз берілген теңдеулерден жүйе құрамыз x2+xy+y22=169x2+z2=50 x2+xz+z22=144 және осы жүйеден x, y және z мәндерін тауып соңынан xy+yz+zx мына өрнектік мәнін есептейміз. Бұл әрине біріншіден ұзақ шығаруы және көп уақыт бөлуге мәжбүрлейді.

Осы жүйені x2+xy+y22=169 y22+z22=25x2+xz+z22=144 Пифагор теоремасына кері теорема бойынша y2, z2 және 5 сандары - АОС үшбұрышының катеттері мен гипотенузасының ұзындықтары. ∠АОС=90°. Ал x, y2 және 13 сандары - АОВ үшбұрышың қабырғаларының ұзындықтары. ∠АОВ=135°. Және x, z2 және 12 ВОС үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары және ∠СОВ=135° А
y2
13 О х z2 135° В С
1252+122=132, АВС үшбұрышы тікбұрышты үшбұрыш. ∠АВС=90°S∆AOB=12∙xy2sin135°=14xyS∆AOC=12∙y2∙z2=14yzS∆BOC=12∙x∙z2sin135°=14xzS∆ABC=12∙5∙12=30S∆ABC=S∆AOB+S∆AOC+S∆BOC=14xy+14yz+14xz3030=14xy+14yz+14yz120=xy+yz+zxЖауабы: 120.
2. Тригонометриялық есептерді шешу:
Көптеген тригонометриялық тапсырмаларды орындауда есептің шығарылуы не ұзаққа созылады не болмаса қиындықтар кездеседі. Ал геометриялық әдіспен шығару есепті біршама жеңілдетеді және есептің шығарылу жолы қысқаша әрі түсінікті болады. Тригонометриялық функцилар – ол белгілі геометриялық аппарат, сондықтан оларды да көрсету үшін қарапайым есептерден бастап көрсету керек.
Тапсырма 2. Тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық.
Есептеңіз: 213cosarctg23- ?Шешуі: Кері тригонометриялық функцияның барлық белгілері осы – оң сандар, І – ширекте, демек сүйір бұрыш. Сондықтан оны тікбұрышты үшбұрыш арқылы табуға болады.
arctg23 – тангенсі 23 – ге тең тікбұрышты үшбұрыштың бұрышы. Демек, сүйір бұрышқа қарсы жатқан катеттің, сол бұрышқа іргелес катетке қатынасы 23. Пифагор теоремасы бойынша гипотенузасын табамыз.


13 2

3
tgα=xtgα=23, a=2, b=3, c=a2+b2=13cosα=cb, cosarctg23=313 ⇔ 213cosarctg23=213∙313=6Жауабы: 6.
37661852070103.Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу:
fx=x2+9-x2-x3+1.
Шешуі: ∆АВС үшбұрышын қарастырайық, ∠АСВ=90°,∠АСD=30°, AC=x, B=3,CD=1және D нүктесі ∆АВС үшбұрышының ішкі облысында жатыр.
∆АВС үшбұрышы Пифагор теоремасы бойынша AB=x2+9. ∆ACD косинустар теоремасы бойынша AD=x2-x3+1.
maxfx=maxAB-AD=A1B-A1D=DB, A1∈AC (яғни егер D∈AB)
∆ВDС үшбұрышынан косинустар теоремасы бойынша
DB=12+32-2∙1∙3∙cos60°=7Жауабы: 7Тапсырма 3. Қозғалысқа берілген тапсырма.
Автобус А қаласынан В қаласына 40 км/сағ жылдамдықпен бет алды. Автобус 30 км жол жүргеннен кейін, А қаласынан 60 км/сағ жылдамдықпен шыққан автокөлік В қаласына 112сағ автобустан кейін келді. Екі қаланың арақашықтығын тап.

S, км
B 112c
M D
N
30км
А 34 с С t, уақыт
АВ – автобустың қозғалыс графигі
СD – автокөліктің қозғалыс графигі
Шешуі: х км – екі қаланың арақашықтығын табу.
x40-34=x60-112x40-x60=34-1123x-2x=90-10x=80
ҰЙҒАРЫМ:
Геометриялық әдіс дегеніміз – ол оқушыларға жақсы идея ұсынатын әдіс. Бұл жерде оқушылар геометриялық заңдар мен геометриялық фигуралардың қасиеттерін пайдалана отырып, есеп шығарудың жеңіл және қызық екенін айқындайды. Сонымен біз кейбір алгебралық есептерді геометиялық әдіспен шығарып мынадай тұжырымға келдік.
Алгебралық әдіс түрлері Геометрялық фактылар
Модулмен берілген теңдеулер мен теңсіздіктер Координаталық тәдіс
Екі айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесі Геометрялық модульдің мағынасы
Квадрат теңдеу мен теңсіздіктер Косинустар теоремасы
Сызықты емес теңдеулер жүйесі Тригонометрялық алмастырулар
Иррационалдық теңдеулер мен теңсіздіктер Көрсеткіштік теңдеулер Векторлардың скаляр көбейтіндісі
Тригонометриялық теудеулер Тікбұрышты үшбұрыштың қасиеттері
Параметрлік теңдеулер Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы және тангенсі
Функцияның ең үлкен және ең кіші мәнін табу Біз алгебралық есептерді геометриялық жолмен шығарудың мынадай алгоритмдерін ұсынамыз:
1) Геометриялық модель есептерін, геометриялық тілге аударамыз;
2) Геометриялық есепті шығарамыз;
3) Геометриялық тілде алынған жауапты, алгебралық тілмен берілген есепке қоямыз.
Есептердің геометриялық жолмен шығаудың артықшылықтары:
Есепті бұл жолмен шығару бастапқы іс – әрекетті нақты айқындайды;
Графиктік сурет - теңдеулерді құрастыруда, есептердің бірнеше шығару жолдарын қарастырғанда талдау жасауды жеңілдетеді;
Графиктерді қолдану аймағын кеңейтеді және оқушылардың графикті салу мәдениетін қалыптастырады;
Теңдеулерді шешудің жаңа технологиясын көрсетеді;
Пәндер ішіндегі (алгебра мен геометрия) байланыс және пәнаралық (математика және физика) байланысты көрсетеді.
ҚОРЫТЫНДЫ:
Біз әр түрлі есептерді қарастыра отырып, оқушыларға бірнеше геометриялық әдістерді көрсетіп, есептерді шешуде алгебралық әдіс пен геометриялық әдісті салыстырдық;
Жеңіл және көрнекті геометриялық әдіс пен тригонометриялық есептер шығады. Бұл әдіс есептің дұрыс шығарылу сапасын тексереді;
Бұл жерде геометриялық әдіс оқушылардың ойлау қабілетін арттырады және уақытты үнемдей білуге үйретеді. Көбінесе жоғары сынып оқушылары пайдалануға ыңғайлы.
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:
Куликова Л. В. ,Литвинова С. А., За страницами учебника математики, М. - Глобус, 2008.
Киселева Ю. С., Методическое пособие по теме: Использование геометрических методов
при решении алгебраических задач.
В.А. Филимонов, Геометрия помогает решить задачу – Математика в школе № 2-3, 1992
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др., Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. образоват. учреждений ,– 10-е изд., дораб. – М.: Просвящение, 2002. – 384с.