Методическая разработка урока (проект) для 8 класса «Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА
Методическая разработка урока
«Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором»
разработан учителем математики
Нефедовой Е.В.
2016 г.
Тема урока: Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором. Дидактический материал
Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета
Определение квадратного уравнения ax2+ bx+c = О.Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+ bx+c = О, где x-переменная, a, b и c -некоторые числа.
Приведенное квадратное уравнение.
ax2+ bx+c = О /:ax2+bax+ca = О Обозначение: p=ba; q=ca Уравнение вида x2+ px+q = О называется приведенным квадратным
уравнением, где p и q — некоторые числа.
Зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения выражает, как известно, теорема Виета, получившая свое название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Пусть x1 и x2 корни квадратного уравнения x2+ px+q = О.
Тогда x1+ x2=-p x1 x2=qДано: x2+ px+q = О, x1, x2Доказать: x1+ x2=-p x1 x2=qДоказательство:
По условию: m+n=-p, а mn=q . Значит, уравнение можно записать в виде:
x2+ (m+n)x+mn = ОПодставим вместо x число m, получим:
m2+ m+nm+mn = m2-m2-nm+nm=0Значит, m - корень уравнения.
В некоторых учебниках оба утверждения — прямое и обратное
формулированы в одном:
Для того, чтобы x1 и x2 были корнями уравнения ax2+ bx+c = О, необходимо и достаточно выполнения равенств: x1+ x2=-ba; x1 x2=ca. Или в случае x2+ px+q = О: x1+ x2=-p; x1 x2=q.
На теореме Виета основан метод решения некоторых приведенных квадратных уравнений подбором. При этом можно использовать (легче запомнить) зарифмованную теорему Виета:
Познакомили поэта
С теоремою Виета.
Оба корня он сложил —
-p получил.
А корней произведенье
Дает q из уравненья.
Примеры
y2-9y+20=0D=b2-4ac=81-80=1>0, уравнение имеет два различных корня.
По условию q > 0 (q = 20), значит корни имеют одинаковые знаки. Их сумма равна +9, значит оба корня положительные. Начинаем подбирать с произведения, 20 можно разложить на множители следующими способами:
1*20;2*10;4*5. Условию x1+x2=9 удовлетворяет последняя пара.
Значит, x1=4; x2=5Удобно записывать решение следующим образом:
y2-9y+20=0D=b2-4ac=81-80=1, 1>0, уравнение имеет два различных корня.
x1+x2=9, положительные
x1x24*5=20>0, одного знака
x1=4; x2=5x2+16x+63=0D1=k2-ac=64-63=1, 1>0, уравнение имеет два различных корня.
x1+x2=-16, отрицательные
x1x2-7*(-9)=63>0, одного знака
x1=-7; x2=-9Исследуем, при каких значениях q квадратное уравнение имеет корни, и будем использовать результат при решении уравнений подбором.
x2+ px+q = О
D=p2-4q>0, если p2-4q>0, т.е.4q<p2Очевидно, что 4q < 0, т.е. q < 0. Значит, в случае, когда q < 0, дискриминант можно не находить.
Например.
x2+11x-12=0D>0 (-12=q, q<0)x1+x2=-11, ->+ ( модуль отрицательного больше положительного)
x1x2=-12, разных знаков
x1=-12, x2=1x2-5x-6=0D>0, уравнение имеет два различных знака
x1+x2=5, +>-
x1x2=-6, разных знаков
x1=6, x2=-1Упражнения для самостоятельного решения
x2-4x-5=0x2-2x-1=0x2-2x-2=0x2-8x-9=0x2+x-6=0x2-6x-7=0x2+3x-4=0x2+6x-40=0x2-x-2=0x2+9x-6=0x2-7x+5=0x2-8x-7=0x2-5x+3=0x2+3x+2=0x2-5x+6=0x2+4x-5=0x2+3x-18=0x2-2x-24=0x2-x-2=0x2+3x-28=02. Рассмотрим квадратное уравнение ax2+ bx+c = О, в котором сумма коэффициентов равна 0, т.е. a+ b+c = О. В этом случае уравнение имеет корень, равный 1. Докажем это.
Дано: ax2+ bx+c = О a+ b+c = ОДоказать: x1=1Доказательство:
Воспользуемся определением корня уравнения. Подставив в уравнение
ax2+ bx+c = О вместо x число 1, получим: а*1 + b- 1 + с = О, т.е. а + b+с=0. По условию, полученное равенство является верным. Таким образом, сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких вычислений, полезно выяснить, не выполняется ли равенство a+ b+c = О. Это свойство помогает также быстро решать квадратные уравнения
Например.
100x2-150x-150=0100-150+50=0, значит x1=1x1x2=50150=x2=0,5Ответ: 1; 0,5
516x2-511x-5=0516-511-5=0, значит x1=1x1x2=-5516=x2Ответ: 1; -5516127x2+123x-250=0127+125-250=0, значит x1=1x1x2=-250127=x2Ответ: 1; -250127В случае приведенного квадратного уравнения полезно запомнить следующую закономерность:
x2+px+q=01+p+q=0, т.е.p=-q-1 или q=-p-1т.е. числа q и р последовательные по модулю числаx2-6x+5=01-6+5=0x1=1;x2=5x2+6x-7=01+6-7=0x1=1;x2=-7В этом случае: x1=1;x2=qВывод: если в приведенном квадратном уравнении числа q и р последовательные по модулю, то x1=1;x2=-q.Упражнения для самостоятельного решения
2004x2-2003x-1=012345x2+12340x-5=0100x2-97x-197=0x2+2006x-4=0x2-2008x+6=0x2+5643x-1=0x2-5247x-3=0x2-45103x-2=0 Рассмотрим случай, когда выполняется следующее условие для корней квадратного уравнения: a-b+c= 0. В этом случае квадратное уравнение имеет корень, равный (—1). Докажем это.
Дано: ax2+bx+c=0 a-b+c= 0Доказать: x1=-1Доказательство:
Подставим в уравнение вместо x число (-1). Получим: a-b+c= 0 - верно по условию. Значит x1=-1.
x1x2=ca-x2-ca, или x2=-caПримеры
319x2+1988x+1669=0319-1988+1669=0, значит x1=-1x2=-ca=-1669319Ответ: -1; -16693196x2+2006x+2000=06-2006+2000=0, значит x1=-1x2=-ca=-20006=-10003Ответ: -1; -10003В случае приведенного уравнения x2+px+q= условие записывается
следующим образом: 1-p+q=0;q=p-1.
Т.е. p и q - последовательные числа, при чем q > p.
Таким образом, можно сделать следующий вывод; если в приведенном квадратном уравнении р и q — последовательные числа (q > p), то x1=-1;x2=-q.
Например
x2-5x-6=01+5-6=0x1=-1;x2=6x2+6x+5=01-6+5=0x1=-1;x2=-5Упражнения для самостоятельного решения
x2-4x-5=0x2+7x-8=0x2+2x-3=0x2+12x-13=0x2-5x+4=0x2+14x-13=0x2+11x-12=0x2-6x+5=0x2-18x+17=0x2-9x+8=0x2+17x-18=0x2-16x-17=0III. Схема решений квадратных уравнений подбором
Теорема Виета
x2+px+q=0 x1+x2=-p (оба корня сложил, -p получил)
x1x2=q (а корней произведенье дает q из уравненья)
x1+x2=-px1x2=q >0 Оба корня положительные<0 Оба корня отрицательные>0 Одного знака x1+x2=-px1x2=q >0 +>- <0 ->+ <0 Разных знаков Условия: p и q - последовательные числа
1+p+q=0p=-q-1x1=1;x2=q 1-p+q=0p=q+1x1=-1;x2=-q
Биография Виета Франсуа
Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Много занимался адвокатской деятельностью. В свободное время занимался математикой, астрономией. Детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков. Франсуа Виет по существу создал новую алгебру, ввел в нее буквенную символику.•
Все мы знаем, что для решения квадратных уравнений имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Да и само уравнение записывалось в виде довольно длинных словесных описаний. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.
Виет ввел в алгебру буквенную символику. После этого открытия стало возможным записывать правила в виде формул. Ф. Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень. Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Ф. Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа π.
Умер Ф. Виет в возрасте 63 лет в 1603 году.
Тренировочные таблицы
3x2-5x+2=0x2+7x-30=04x2+9x+2=0x2+7x-30=02x2+3x+1=03x2-20x-52=0x2-6x+8=0x2-10x+21=0x2-x+6=05x2+x-6=0x2+2x-15=0x2-7x+12=0x2-8x-20=05x2+9x-14=0x2-10x+24=0x2-7x-18=0x2-x-42=0x2+12x+35=05x2+4x-9=0x2-10x-25=0x2-3x-28=0x2+12-7x=0x2-20x-300=08x2+1-6x=05x2-26x+5=02y2-2y+0,5=08y2+4y+0,6=0x2-5x-84=01,7=a2+1-15=3y(2-t)