Сборник заданий по теме:Обратные тригонометрические функции


Введение
В данной работе содержится практический материал по одному из разделов тригонометрии «Обратные тригонометрические функции».
Практический материал подразделяется на примеры с подробными решениями по всем разделам, на подборку примеров для самостоятельного решения с последующими комментариями и решениями ( алгебраический тренажер) и в заключении дается пробный тест, состоящий из 17 заданий уровня А,В и С. Данная работа помогает решить проблему в преподавании, обучении и качественном усвоении знаний по наиболее сложной теме раздела «Тригонометрия». Основная идея этой работы – создать такой обучающий модуль, чтобы в нем были собраны все практические задания с решениями по данной теме, необходимый набор примеров для закрепления каждого раздела
Данный обучающий модуль решает сразу несколько проблем:
1. уменьшает потери времени на поиск и систематизацию практических заданий;
2. подробно рассмотрены все шаги решений как простых, так и сложных заданий наиболее часто встречающихся типов;
3. нет необходимости долго искать и подбирать материал для закрепления каждого раздела - он предоставлен в необходимом количестве, с ответами и пояснениями к решениям, а при необходимости его пополнить указаны литературные источники, откуда взяты многие примеры и задачи;
4. есть возможность проверить свои знания по трем уровням сложности и своевременно устранить пробелы в знаниях.
Рекомендации к этой теме будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно не только на уроке, но и на дополнительных занятиях, на факультативах, на спецкурсе по предмету. В данном сборнике собраны разнообразные задания с подробными решениями и комментариями. Приведен в пример тест, состоящий из заданий группы А,В и С на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.

Задания, содержащие обратные тригонометрические функции.
Найти область определения следующих функций:
y = arcsin (x-2).
y = arccos .
y = arcsin .
Решение.
1) D (arcsin) = , поэтому -1 х-2 1 1 х 3.
D (y) = .
2) D (arccos) = и значит
-1 1 -4 1-2х 4 -5 -2х 3
-1,5 х 2,5.
D (y) = .
3) Аналогично
-1 1 -2 х-3 2, 1 х 5.
D (y) = .
Ответ :
D (y) = ;
D (y) = ;
D (y) = .
Обратные тригонометрические функции .
( область определения и множество значений)
№1. Какие значения могут принимать х и у в равенствах:
а) у = arcsin x; б) у = arcos x; в) у = arctg x; г) у = arcctg x
Ответы: (неупорядоченные):
х ϵ R, y ϵ (0;π); х ϵ [-1;1], у ϵ [0;π]; x ϵ [-1;1], y ϵ [-π2; π2]; x ϵ R, y ϵ (-π2; π2).
№ 2. Какие из данных равенств верные и какие неверные? Ответ обоснуйте.
1. a) arcsin1 = - π4; б) arccos 22 = π4 ; в) arctg (-1) = 3π4; г) arcctg (- 3) = - π6 д) arcsin (-22)
2. a) arcsin 12 = 5π6 ; б) arcos (-12 ) = - π3 ; в) arcctg (-3)= - π6 г) arcctg 3 = π3 д)arcos( 0) = π23. a) arcsin 0 = π; б) arcos 32 = π3 ; в) arctg(-1) = 3π4 ; г) arcctg 1 = π4 ; д) arcos (-12)= 2π3Ответы: Верными равенствами являются: 1. б); д). 2. в); д). 3. г); д).
№ 3. Имеют ли смысл следующие выражения:
1. arcsin 3,1; arctg 3,1; arcos (-3) ; arcctg (-3); arcos (-3π2).
2. arcctg 5,4 ; arcos 5,4 ; arctg (-5); arcsin π3; arcsin 3π.
3. arcsin (-2); arctg (-2); arcos 25; arcctg 2; arcsin 62 .
Ответы: 1. Нет; да; нет; да; нет. 2. Да; нет; да; нет; да. 3. Нет; да; да; да; нет.
№ 4. Вычислите:
а) arccos 12 - arcsin 12;б) arctg 33 – arcctg 33 ; в) arcsin 12 + arcsin 32 ; г) arctg 3 - arcctg 13 ; д) arcsin 0 + arcctg 0; е) arcsin (-1) + arccos 1; ж) arccos 1 + arctg 0; з) arccos 0 + arcsin 1; и) arcsin 12 + arccos (-32) ; к)arcsin (- 12) + arccos 22 ; л) arctg (-3) + arcctg (-1) ; м) arctg 3 + arcctg (-3) ;
н) arcctg (-3) + arcctg 3; о) arcsin 1 – arctg 1.
Ответы: а) π6; б) π2; в) π2;г) 0;д) π2;е) π2;ж) о; з) π; и) π; к) π12; л) 5π12; м) 7π6; н) π;о) π4.
№ 5. Найдите область определения функции:
1. а) у = arcsin x2; б) y = arcctg x; в) y = arccos 3x-2x-12; г) y = arcsin (2x – 3); д) y = arctg 10-3x-x2; е) y = arccosx.
2. а)y = arctg 2x; б)y = arccos 3x; в)y = arcsin 3x+2x-22; г) y = arccos (x2-1); д) y = arcctg x2-9x; е) y = arcsinx.
Ответы: 1. а) [-2;2]; б) [0;∞];в) -5;3,5;г) [1;2]; д) [-5;2]; е) [-1;1].
2. а) R; б)[-1;1]; в)[-12;5]; г)[0;4]; д)[-∞;0]; е) [0;1].
№ 6. Найдите область значений функции:
1. а) у = 0,5 arcctg x; б) y = π + arccos x; в) y = 0,5π - arctg x; г) y = arcsin x; д) y = 4 + 1π arcctg x; е) y = (arcsin x2).
2. a) y = 2arcsin x; б) y = π + arcctg x; в) y = 0,5π - arccos x; г) y = arctg x; д) y = 6 + 2π arcsin x; е) y = (arctg x)2.
Ответы (неупорядоченные):
[0; π]; [0; π2]; [0; π2]; [0; π2]; [π;2π];4;5.2.[0; π2]; [-π; π];[0;0,25π2);
(π;2π);5;7;[- π2; π2].№ 7. В каком промежутке расположен угол?
1. а) arcsin 13; б) arctg (-8); в) arcctg 2; г) arcsin -13; д) arctg 8; е) arccos 0,69;
ж) arcctg (-5); з) arccos (-27).
Ответы: а) (0;π2); б) -π2;0; в) (0;π2); г) –π2;0; д) (0;π2); е) (0;π2); ж) (π2;π); з) (π2;π).2. Найти значения функций (подробные решения) :
1). Найдите arcsin х, если arcсos х =.
А. . Б. 0,3. В. 0,8. Г. - =.
Решение.
Так как arcsin х + arcсos х =, то arcsin х = - arcсos х, т.е.
arcsin х = - = 0,3.
Ответ: Б.
Найдите х, если arcsin х = .

А. . Б. . В. . Г. .
Решение: arcсos х = - = . Ответ: Г.
Найдите значение выражения
аrcsin - arcсos .
228600825500
arctg
А. 3,5. Б. -4,5. В. – 5,5. Г. -3,5.
Решение.
аrcsin - arcсos =
228600825500
arctg
-аrcsin - ( - arcсos ) = = = -5,5.
2514600000228600825500

Ответ: В.
4. Вычислите: сos (аrcsin (-0,6)).
А. -0,36. Б. 0,6. В. -0,8. Г. 0,8.
Решение.
сos (аrcsin (-0,6)) = сos ( - аrcsin 0,6) = сos (аrcsin 0,6) = 0,8.
Обозначим аrcsin 0,6 = а, а . Тогда sin = 0,6, сos= ,
сos= = 0,8.
Ответ: Г.
5. Вычислите: sin (arcсos (-)).
А. - . Б. . В. - . Г. .
Решение. sin (arcсos (-)) = sin ( - arcсos ) = sin (arcсos).
Обозначим sin b = = = .
Ответ: Б.
Следующие задания можно применить для самостоятельной работы.
Вычислите значения выражений.
I Вычислите:
Вариант 1
а) sin arccos 32; б) ctg arcctg (-1); в) tg arctg (-1); г) cos arccos (-22); д) sin arcctg 3;
е) ctg arcctg 1; ж) tg arcsin 22; з) sin arcsin a.
Вариант 2
сos arccos 22; б) ctg arcctg 3; в) ctg arcsin 1; г) cos arcctg (-1); д) tg arctg (-3);
е) tg arcsin 32; ж) sin arcsin 12; з) ctg arcctg a.
Ответы: 1. А) 33; б) 22; в) -1; г) -22; д) 12; е) 1; ж) 1; з) а.
а) 22; б) 3; в) 0; г) 22; д) -3; е) 3; ж) -12; з) а.
II Вычислите:
Вариант 1
а) arccos cos π3; б) arctg tg π4; в) arcctg ctg 5π6; г) arccos cos (-π3); д) arcctg tg 3π4;
е) arcsin sin (-π6); ж) arctg (2sin π6); з) arcsin tg π4.
Вариант 2
А) arcctg ctg π2; б) arcsin sin π6; в) arccos cos 2π3; г) arcctg ctg (-π2); д) arcsin sin 5π6;
е) arcctg ctg π4; ж) arcsin (0,5arctg π3); з) arctg sin π2.Ответы: 1. А) π3; б) π4; в) 5π6; г) 2π3; д) - π4; е) -π6; ж) π4; з) π2.
2. а) π2; б) π6; в) 2π3; г) π2; д) π6; е) π4; ж) π3; з) π4.
III Вычислите:

Вариант 1
А) sin arccos 45; б) ctg arctg 940; в) sin arctg 247; г) ctg arccos 0,6; д) cos arctg 815;
е) tg arccos 35; ж) cos arcsin (-513); з) tg arcctg (-34).
Вариант 2
А) cos arcsin 941; б) tg arcctg 517; в) sin arcctg 409; г) sin arctg 43; д) cos arctg 34;
е) cos arcctg 724; ж) sin arccos (-817); з) ctg arctg (-2,4).
Ответы:
Вариант 1. а) 0,6; б) 409; в) 0,96; г) 0,75; д) 1517; е) 2,4; ж) 1213; з) -43.
Вариант 2. а) 4041; б) 815; в) 941; г) 0,8; д) 0,8; е) 0,28; ж) 1517; з) -512.
Упражнения – тренажер
(примеры решаются с помощью формул или вспомогательного треугольника)
1. Вычислите: sin.
Решение.
497205035941000 Обозначим: α =, β= .
sin(α+ β)=sin α cos β+ cos α sin β.
а) cos α =,
sin α = ? 17 15
sin α=. α II ч . 8

б) tg β = ,
sin β – ?, cos β – ?
sin β = , cos β = .
sin(α+ β)= .
Ответ: .
2. Вычислите сумму arctg2 + arctg3.
Решение.
Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
Обозначим: α = arctg 2, β = arctg 3.
tg(α+β)= .
tg α = 2 , tg β =3
tg (α+β) =.

В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
Это угол .
Ответ: .
3. Вычислите при x > 1.
2arctg x + arcsin.
Решение.
tg .
46863003048000Обозначим α = arctg x, β = arcsin
tg (2α + β) =. 2х
tg α= x, . m
tg 2α - ?
tg2α =, tg2α =.
2. sinβ= .
.
tg β= .
tg(2α + β)=
tg (2α + β)=0,

При n=02α+ β=0,
При n=12α+ β= π,
При n=02 α+ β=2 π,
Итак, 2 α+ β= π. Ответ: π.
Вычислите: arctg 1\3 + arctg1\5 + arctg1\7 + arctg1\8.
Решение. Обозначим α = arctg1/3, β = arctg 1/5 , γ = arctg1/7, δ = arctg 1/8,
Α € (0; Π\4 ), β€ (0;Π\4) , γ € (0;Π\4), δ €(0; Π\4).
Можно по-разному решать, но удобнее вычислить так:
tg(α+β)= 1/3+1/5 = 8/15 = 8/15 = 4/7,
1-1/3*1/5 1-1/15 14/15
α+β= arctg 4/7, 0< α+β< π\2;
tg(γ+δ) = 1/7+1/8 = 15/56 = 15 = 3/11,
1-1/7*1/8 55/56 55
γ+δ= arctg 3/11, 0< γ+δ< π\2;
tg(α+β+γ+δ)=tg(arctg 4/17 + arctg 3/11) = 4/7+8/11 = 65 / 77 = 65 / 77 =1.
1-4/7*3/11 1-12 / 77 65 / 77
α+β+γ+δ = π\4, так как , 0< α+β+γ+δ< π.
Ответ:Π\4.

УРАВНЕНИЯ
1. Решите уравнение: arctg 1/7 + arcsin x =π\4.
468630012255500
Решение.
arcsin x =π\4 - arctg 1/7,
sin(arcsin x) = sin (Π\4 – arctg 1/7). 1
Обозначим α=arctg 1/7,где 0< α< π\4. I ч
7

х= sin Π\4 cosα - cos Π\4 sin α,

11430001403350045720017716500
х= √2 7 - 1 = √2*6 = 3/5.
2 5√2 5√2 2*5√2
Ответ: 3/5.
2. Решите уравнение: arcsin x = arcsin 2x = Π\3.
Решение. arcsin 2x = Π\3 –arcsin x,
sin(arcsin 2x) = sin(Π\3-arcsin x),
2x = sin Π\3 cos(arcsin x) – cos Π\3 sin( arcsin x),
2x = √3 √(1-x²) – 1/2x,
2
5x = √(3-3x²) ,
2 2
5x=√(3-3x²),где x>0,
25x² = 3-3x², 28x²=3, x²=3/28.
X1=1/2√(3/7) , X2=1/2√(3/7).
Ответ: 1/2√(3/7).
3. Решите уравнение : arcsin x = 2 arcsin (x√2).
Решение: { -1≤ x ≤ 1, общее -1 ≤ x ≤ 1
{ -1≤ x√2 ≤1; √2 √2.
sin(arcsin x) = sin (2 arcsin (x√2)).
Обозначим α=arcsin x , β= arcsin (x√2).
X=sin 2β, x=2sin β cos β;
sin β=x√2, x=2*x√2*√(1-2x²),
sin β=x√2, x-2x√(2-4x²) =0,
сosβ=√(1-2x²); x*(1-2√(2-4x²)) = 0;
х=0 –корень;
√(2-4x²)=1/2, 2-4x²=1/4, 4x²= 1¾,
x² = 7/16, х = ±√7.
Ответ: 0. 4




Дополнительные задания.
Решить уравнения.
1. arcsin x = arctg х. Ответ: .
2. arcсos (2х – 1) = 3 arcсos х Ответ: 1.
3. arcsin x + arcsin = . Ответ: .
4. arcсos + arctg = . Ответ: решения нет.
Задания на построение графиков обратных функций.
Построить графики функций:
а) y = cos 2 arcsin x; б) y = arccos cos x.
Решение.
а) Заметим, что данная функция определена при -1 ≤ x ≤ 1. Далее, по определению arcsin x: если обозначить arcsin x = a, то sin a = x, -π/2 ≤ a ≤ π/2. Таким образом, y = cos2α = 1 -2sin² α = 1 – 2x².
Графиком функции будет дуга параболы y = 1 – 2x² при -1 ≤ x ≤ 1.
б) Данная функция является периодической , её значения не меняются при замене x на x + 2π.
Если 0 ≤ x ≤ π, то y = x. Это следует из определения арккосинуса: если
y = arccos cos x, то cos y = cos x и 0 ≤ y ≤ π.
А поскольку на отрезке [0; π] каждое значение косинуса достигается в одной точке, то y =x.
Пусть π ≤ x ≤ 2π. Поскольку cos x = cos (2π – x), а при π ≤ x ≤ 2π будем иметь 0 ≤ 2π –x ≤ π, то из определения арккосинуса получим при
π ≤ x ≤ 2π y = 2π –x.
Применение обратных тригонометрических функций и их свойств на ЕНТ и итоговой аттестации.
Найдите значения выражения
tg.
Решение. Введя подстановку arccos = a, где а ;
Т.к. cos = -< 0, получим tg = - 1, tg =16-1= 15.
Ответ: 15.

Найдите значения выражения
tg.
Решение.
tg = tg = tg = (-1) =1.
Ответ: 1.
Найдите значения выражения
tg .
Решение.
tg = tg = tg = = 1.
Т.к. = а, sin а = >0, значит аI четверти, откуда cos > 0, tg> 0.
cos = tg= .
Ответ: .
Найти множество значений функции
у = arcсos (cos х – sin х).
Решение.
1). Так как cos х – sin х = = sin (x - ),
а синус принимает все значения от -1 до 1, то множество значений разности равно .
При умножении на = этот отрезок перейдет в отрезок .
2) Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество значений выражения arcos ( (cos х – sin х)) – это отрезок
= .
3) При умножении этого отрезка на получим .
Ответ: .