Конспект урока на тему Обратные тригонометрические функции


Урок алгебры в 11-м классе "Обратные тригонометрические функции"
Тип урока: комбинированный, состоит из 7 учебно-воспитательных моментов: организационный момент, повторение изученного, подготовка к изучению материала, изучение и закрепление нового материала, тестовая работа, итог урока.
Цели урока:
сформировать умение применять определения аркфункций для нахождения тригонометрических функций от аркфункций;
развивать познавательный интерес учащихся к предмету через систему нестандартных задач;
воспитывать нестандартно, логически мыслящую личность.
Оборудование: доска, таблицы, компьютер, мультимедийная установка, экран, учебник.
Ход урока
I. Организационный момент.
Ребята, сегодня мы проводим урок - обобщение по теме: "Обратные тригонометрические функции". Материал этого параграфа в учебнике вынесен для самостоятельного изучения, но поскольку задания с аркфункциями стали включать в ЕГЭ, я решила не только изучить новый материал на уроке, но обобщить ваши знания по данной теме.
II. Актуализация опорных знаний:
1. Значения аркфункций:
Вспомните, для чего в 10 классе были введены понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса? (Для решения тригонометрических уравнений).
Давайте вспомним формулы, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения.
Слайд1:

вопросы к классу: -формула нахождения корней уравнения соs х=а;
-дать определение арккосинуса числа а ;Слайд 2 :(вопросы аналогичные предыдущим)

Слайд 3

Слайд 4

Заполним таблицу значений аркфункций: Слайд 5

Пользуясь ей решим следующие упражнения:
1) arcsin(1/v2)-4 arcsin1=
2) arccos(-1)- arcsin(-1)=
3)4 arctg(-1)+3 arctg(v3)=
Из ЕГЭ:
1) arcsin(sin /3)+ arcsin (-v3/2)=
3)10cos(arctg(v3))=
Проверим получившиеся ответы: Слайд 6

2.Вспомним формулы, связывающие аркфункции с тригонометрическими функциями:
Слайд 7

С помощью них вычислим устно:
sin(arcsin(-1/5))=
sin(+ arcsin 3/4)=
(из ЕГЭ) 5 sin(+ arcsin (-3/5)=
cos(arccos(-2/3))=
sin(/2+ arccos 1/3)=
tg(arctg(-3))=
сtg(/2+ arctg 6)=
3. Нахождение значения тригонометрической функции от аркфункции.
1. Сильный ученик:
sin(arccos v3/4)=
2.(Из ЕГЭ) - сильный ученик
5v2 sin(/2- arctg(-1/7))=
в) Решим вторым способом следующие примеры:
1) tg(arccos (-1/3))=
2) 3v5 tg(arcsin(2/7)=
3) по вариантам:
а) сtg(arccos (2/5))=
б) v15 tg(arcsin(1/4))
4) Средний ученик:
sin(2 arctg 5)=
III. Изучение нового материала:
В материалах для подготовки к ЕГЭ есть задания, в которых необходимо знать свойства обратных тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. Название обратных тригонометрических функций образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (в переводе с латинского - дуга).
Пусть дана функция у=sin х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arcsin х функцией не является.
Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она возрастает и принимает все свои значения на [-|2;|2]. Так как для функции у=sin х на интервале
[-|2;|2] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция у=arcsin х, график которой симметричен графику у=sin х на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.


Пусть дана функция у=cos х. На всей области определения она являются кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие у=arccos х функцией не является.
Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она убывает и принимает все значения на [0;?]. Так как для функции у=cos х на интервале [0;?] каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция у=arccos х, график которой симметричен графику у=cos х на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х. 


2.Выполняем задания:
1. Найти число целых значений функции у= 12arccos х. (Объясняю сама)
0<arccos х<, тогда 0<12arccos х<12
12=123,14=37,8, значит, целых значений будет 38.
Ответ:38
2. Найти число целых значений функции у=5 arctg х. - (сильный ученик).
3. Самостоятельно:
у=1,7 arсctg х.
4. Найти наибольшее целое число, входящее в область значений функции у= 6 arcсtg(|sin х|).
5. Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции:у=24/ arcsin(sin хcos х)
IV. Дом.задание:
Вычислите:
sin(2 arcsin 3/5)
sin(arccos 1/3+arccos 2/3)
sin(  arccos 5/13)
2*.Постройте графики функций:
а) у=arccos|х|;
б) у=arccos х +arcsin х;
в) |у|=arctg х.
3.* Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции:у=arccos (sin х cos х)
4*. Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции:
у=40arcctg(cos х).
V. Рефлексия. Оценки учащихся за урок.
Приложение 1.