Технологическая карта урока по алгебре на тему «Тригонометрические функции. Преобразования графиков тригонометрических функций»
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ
Тема: «Тригонометрические функции. Преобразования графиков тригонометрических функций»
Цели:
1. Обучающие:
1.1 Обобщить и систематизировать знания о тригонометрических функциях.
1.2 Проверить и закрепить практические навыки и умения в решении упражнений прикладного характера.
1.3 Дать понятие о возможностях применения тригонометрических функций в описании и изучении процессов и явлений реального мира.
1.4 Дать понятия математического маятника и гармонического колебания.
1.5 Закрепить навыки и умения при преобразовании графиков тригонометрических функций.
2. Воспитательные:
2.1 Воспитывать умение активно участвовать в поиске истины.
2.2 Воспитывать умение общаться друг с другом.
2.3 Воспитывать умение излагать мысли и отстаивать свою точку зрения.
2.4 Воспитывать чувство ответственности за порученное дело.
3. Развивающие:
3.1 Развивать приемы сравнения, обобщения, выделение главного и переноса знаний в новую ситуацию.
3.2 Развивать навыки проектной и самостоятельной работы, работы с компьютером, тестами, анкетами.
3.4 Развивать математический кругозор, мышление, математическую речь, внимание и память.
3.5 Развивать креативные способности и навыки самоконтроля.
Формирование профессиональных компетенций:
Владеть:
1. Понятиями тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике и в единичной окружности.
2.Понятием математического маятника и гармонического колебания.
3. Понятиями преобразований графиков тригонометрических функций.
4. Понятиями амплитуды, фазы, частоты гармонических колебаний.
Реализовывать:
1. Полученные знания по теме «Тригонометрические функции» при решении практических задач прикладного характера.
2. Научно обосновывать выполненную проектную работу.
3. Объяснять изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах.
Тип занятия: комбинированный
Методы и формы технологии: проблемное обучение и проектная деятельность; метод опережающего обучения; технология дидактического дизайна; информационные технологии.
Межпредметные связи: физика, техническая механика, электротехника
Оснащение: мультимедийный комплекс; проектор, интерактивная доска; электронное учебное пособие занятия; раздаточный материал – опорный конспект с элементами рабочей тетради.
ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Организационный момент.
2. Актуализация. Постановка проблемных вопросов.
3. Повторение. Решение проблемных вопросов.
3.1 Составление логико-смысловой модели «Тригонометрические функции» с использованием интерактивной доски. (Приложение 1)
3.1.1 Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.
3.1.2 Тригонометрические функции в единичной окружности.
3.1.3 Линии функции
3.1.4 Значения тригонометрических функций для углов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3.1.5 Знаки тригонометрических функций по четвертям.
3.1.6 Область определения и область значения для тригонометрических функций.
3.1.7 Четность (нечетность) тригонометрических функций.
3.1.8 Периодичность тригонометрических функций.
3.2 Заполнение анкеты – функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с применением мультимедийного комплекса.
3.3 Практическое применение.
3.3.1 Решение задач прикладного характера
3.3.2 Заполнение анкет-функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (Приложение 3)
4. Изучение нового материала по теме «Тригонометрические функции. Преобразование графиков тригонометрических функций»
4.1 Актуализация темы.
4.2 Защита проекта «Математический маятник. Гармонические колебания». (Опережающее задание).
4.3 Преобразования графиков тригонометрических функций. Построение графиков с использованием программы «АвтоГраф 3.3» на интерактивной доске.
5. Закрепление изученного материала. Выполнение проверочных тестов с применением мультимедийного комплекса.
6. Подведение итогов
6.1 Обобщение изученного материала.
6.2 Выставление оценок
7. Домашняя работа. Выполнение графической работы «Преобразование графиков тригонометрических функций».
7.1 Оформление графической работы.
7.2 Распределение студентов по вариантам.
8. Использованная литература:
1) Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 2009. – 335с.
2) Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для средних школ 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2008. – 351с.
3) Березкин Т.Ф. Задачник по общей электротехнике с основами электроники: Учебное пособие для студентов ССУЗ. – М.: Высшая школа, 2007. – 380с.
4) Мякишев Г. Я. Физика: Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2007. – 381с.
А синуса график волна за волной
по оси абсцисс пробегает..
1. Организационный момент.
Педагог: Здравствуйте ребята. Дежурные, пожалуйста, перечислите фамилии студентов, отсутствующих на занятии.
2. Актуализация. Постановка проблемных вопросов
Педагог: Окружающая нас среда в ходе эволюции человека практически вся подчиняется законам физики, химии, биологии. Эти естественные науки базируются на математических знаниях. Например, какое-либо здание или просто предмет можно описать с помощью геометрических фигур, а размеры - с поиском параметров, таких как площадь, высота, объем и т.д. Для нахождения каждого из этих значений происходит с использованием стандартных математических формул. Траекторию и движение человека, полет птиц определяются с применением векторов, их законов. Химические процессы также описываются с использованием математических тождеств и алгебраических вычислений. Математические методы давно применяются не только для описания происходящего события, но и для предсказания последующих действий, особенно это касается физических знаний, которые также базируются на математических знаниях: алгебраические выражения, тригонометрические формулы и т.д.
Таким образом, математические знания вносят прикладной характер в современной жизни.
Тема нашего занятия - «Тригонометрические функции». У каждого на столе лежит опорный конспект, который вы ребята по ходу нашего занятия будете заполнять. (Приложение 2).
Какие проблемные вопросы стоят перед нами:
1. Какие тригонометрические функции чаще всего используются в реальной жизни? Что мы можем рассказать о них с точки зрения математического анализа?
На этот вопрос ответим, составим логико-смысловую модель.
2. Какими свойствами обладают тригонометрические функции? На примере функции синуса заполним анкету - функции.
3. Сможем ли полученные знания реализовать на практике? Решение примеров прикладного характера и проверка знаний.
4. Какое явление показывает связь математики и физики? Заслушаем защиту проекта «Что собой представляет математический маятник, и какому закону подчиняются его колебания?».
5. Какие преобразования можно выполнить с графиками тригонометрических функций? Подготовимся к выполнению графической работы, которую будете выполнять дома.
3. Повторение. Решение проблемных вопросов.
Педагог: Первый вопрос: Какие тригонометрические функции чаще всего используются в реальной жизни? Что мы можем рассказать о них с точки зрения математического анализа?
На этот вопрос ответим, составим логико-смысловую модель.
1. Определение тригонометрический понятий, используя прямоугольный треугольник
Обучающийся: - синус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Обучающийся: - косинус острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Обучающийся: -тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Обучающийся: - котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношении прилежащего катета к противолежащему катету.
2. Определение тригонометрических понятий, используя единичную окружность:
Обучающийся: - окружность с центром в начале координат и радиусом равным единицы называется единичной окружностью;
Обучающийся: - синусом острого угла в единичной окружности называется ордината точки данной окружности;
Обучающийся: - косинусом острого угла в единичной окружности называется абсцисса точки данной окружности;
Обучающийся: - тангенсом острого угла в единичной окружности называется отношение ординаты точки к ее абсциссе;
Обучающийся: - котангенсом острого угла в единичной окружности называется отношение абсциссы точки к ее ординате.
3. Линии функций.
4. Значения тригонометрических функций для углов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Знаки тригонометрических функций.
6. Область определения и область знания функций:
7. Четность:
8. Периодичность:
Педагог: Второй вопрос: Какими свойствами обладают тригонометрические функции? На примере функции синуса заполним анкету – функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415с применением интерактивной доски. (Обучающийся выходит к интерактивной доске и заполняет анкету – функции)
Анкета - функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Название графика
Синусоида
Область определения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Область значения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Четность, нечетность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Периодичность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Непрерывность
непрерывная
Возрастание
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Убывание
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ограниченность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Нули функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция положительная
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция отрицательная
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция максимума
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функция минимума
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Педагог: Как практически, можно получить график синуса? (Обучающийся показывает опыт, в котором получается синусоида.)
Взять свечу, обернуть ее бумагой, затем ножом отрезать часть свечи под углом, развернув бумагу, учащиеся увидят синусоиду.
Педагог: Третий вопрос: Сможем ли полученные знания реализовать на практике? Решение примеров прикладного характера и проверка знаний.
Обучающийся: В технической механике применяют тригонометрические функции для:
- определение силы на брус, шарнирно закреплённый в какой – либо точке.
- расчет цилиндрической косозубой передачи редуктора привода винтового транспорта.
Задача 1. Определить модуль равнодействующей заданной системы сходящихся сил, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение: 1) определим проекции каждой силы на ось Ох
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Педагог: В электротехнике при расчете электрических цепей используют токи, напряжения и Э.Д.С, изменяющиеся по закону синуса или косинуса.
Задача № 2. Активная мощность, потребляемая от трехфазной сети, при симметричной нагрузке независимо от способа ее включения определяется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- фазовые напряжение и ток, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- фазовый сдвиг.
1. При каком значении фазового сдвига 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415активная мощность больше?
Ответ: ответ поясним с помощью единичной окружности.
Проекция ОА больше проекции ОВ на ось Ох. Значит при фазовом сдвиге 13 EMBED Equation.DSMT4 1415активная мощность будет больше.
2. При каком значении фазового сдвига активная мощность достигает максимального значения, если фазовые напряжение и ток постоянны?
Ответ: так как активная мощность изменяется по закону косинуса, то используя свойство функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, область значения функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Фазовое напряжение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, фазовый ток 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, фазовый сдвиг 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Чему должен быть равен фазовый сдвиг, чтобы при уменьшении 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415раз и неизменном 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 активная мощность не изменилась?
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Педагог: Проверим ваши знания. На столах находятся ноутбуки. Предлагается студентам, сидящих за первом вариант, пройти компьютерное тестирование. Студентам второго варианта заполнить анкету – функции. На выполнение этой работы отводится 10 минут.
4. Изучение нового материала.
Актуализация темы
Педагог: Тригонометрические функции служат, прежде всего, для описания разнообразных периодических процессов. С периодически повторяющимися ситуациями человек сталкивается повсюду. Его жизнь сопровождают различные астрономические явления – восход и заход Солнца, изменение фазы Луны, чередование времен года, положение заезд на небе, затмения и движение планет. Человек давно заметил, что все эти явления возобновляются периодически. Жизнь на Земле тесно связана с ними, и поэтому неудивительно, что астрономические наблюдения явились источником многих математических открытий.
Педагог: Биение сердца, цикл в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы, наполненность городского транспорта, эпидемии гриппа – в этих многообразных примерах можно найти общее: эти процессы периодичны.
Синусоида – график физических колебательных процессов. Богаче, глубже станет представление о ней как еще и о линии нашей жизни. Это представлено в стихотворении Евгения Долматовского:
Научись беду встречать не плача:
Горький миг – не зрелищу для всех.
Знай: душа растет при неудачах
И слабеет, если скор успех.
Мудрость обретают в трудном споре.
Предначертан путь нелегкий твой
Синусоидой радости и горя,
А не вверх взмывающей кривой.
Педагог: Какое явление показывает связь математики и физики? Заслушаем защиту проекта «Что собой представляет математический маятник, и какому закону подчиняются его колебания?».
Выступление обучающегося: Рассмотрим простой маятник – шарик, подвешенный на нити.
Чем можно пренебречь:
1. Размерами шарика, т.е. рассматривать шарик как материальную точку.
2. Растяжением нити, так как оно мало.
3. Массой нити по сравнению с массой шарика.
Таким образом, вместо реального маятника – шарика определенного размера на нити – мы будем рассматривать простую модель – материальную точку, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником.
Положение нити вертикально вниз является положением устойчивого равновесия. Если отклонить направление нити от вертикали, то возникнет сила, возвращающая ее в прежнее положение. Попробуем описать движение такого маятника математически. Зависимость координаты конца математического маятника от времени определяется тригонометрической функцией – синусом или косинусом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где угловая частота 13 EMBED Equation.DSMT4 1415определяется длиной маятника13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями.
Гармонические колебания – это процесс, который может быть описан функцией вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
А – амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
При колебаниях движения тела периодически повторяются. Минимальный промежуток времени Т, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная период, можно определить частоту колебаний, т.е. число колебаний в единицу времени. Число колебаний за секунду определяется 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Период функции синуса и косинуса равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- угловая частота, которая показывает, сколько полных колебаний совершает точка за 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 единиц времени.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415- начальная фаза, которая показывает начальное положение точки на окружности.
Таким образом, гармоническое колебание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415определяется тремя параметрами: амплитудой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, угловой скоростью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и так называемой начальной фазой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Часто вместо угловой скорости говорят о частоте колебаний 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которая связана с угловой скоростью формулой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
График гармонического колебания получается из синусоиды, выполнив некоторые преобразования:
1) сжать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или растянуть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 вдоль оси абсцисс в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415раз
2) параллельный перенос вдоль оси абсцисс на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415единиц: вправо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; влево 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) сжать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или растянуть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415вдоль оси ординат в А раз.
Преобразования графиков тригонометрических функций. Построение графиков с использованием программы «АвтоГраф 3.3» на интерактивной доске.
Педагог: Задание: построить график функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
1. построим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-синусоида смещенная влево на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - растяжение вдоль оси абсцисс в 2 раза
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-симметрия относительно оси ординат
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-параллельный перенос влево по оси абсцисс на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415единиц
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-растяжение вдоль оси ординат в 2 раза
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-симметрия относительно оси абсцисс
7. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-параллельный перенос вниз по оси ординат на единицу.
5. Закрепление изученного материала
Выполнение проверочного теста с применением мультимедийного комплекса(приложение)
Какие преобразования нужно сделать с графиками функций? (программа на интерактивной доске)
6. Подведение итогов
Педагог: Ребята, давайте вместе завершим предложения:
1. Мы повторили..
2. Мы заполнили.
3. Мы решали..
4. Мы рассмотрели
5. Мы ввели понятия..
6. Мы закрепили.
Педагог: Выставление оценок.
7. Домашняя работа.
Выполнение графической работы «Преобразование графиков тригонометрических функций».
7.1 Оформление графической работы.
7.2 Распределение студентов по вариантам.
Приложение 1
Приложение 2
Опорный конспект
«_____»________________20.г.
Тема: _____________________________________________________________
Задача 1. Определить модуль равнодействующей заданной системы сходящихся сил, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ.______________________
Задача № 2. Активная мощность, потребляемая от трехфазной сети, при симметричной нагрузке независимо от способа ее включения определяется по формуле 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- фазовые напряжение и ток, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- фазовый сдвиг. При каком значении фазового сдвига 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415активная мощность больше?
Решение:_______________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________
Ответ.___________________________________
Проект:______________________________________________________________________________________________________________________________
Уравнение___________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Задача №3 Через конденсатор в электрической цепи протекает переменный ток, изменяющийся по закону: . Изобразите в координатной плоскости график переменного тока. Определите амплитуду и период колебания переменного тока.
План:
1. _______________________________________________________________
2. _______________________________________________________________
3. _______________________________________________________________
4. _______________________________________________________________
5. ________________________________________________________________
6. ________________________________________________________________
Приложение 3
Фамилия, имя ______________________________________ гр. ________
Анкета функции _________
Название графика
Область определения
Область значения
Четность, нечетность
Периодичность
Непрерывность
Возрастание
Убывание
Ограниченность
Нули функции
Функция положительная
Функция отрицательная
Функция максимума
Функция минимума
Асимптоты
Оценка ____________________________
Фамилия, имя ______________________________________ гр. ________
Анкета функции _________
Название графика
Область определения
Область значения
Четность, нечетность
Периодичность
Непрерывность
Возрастание
Убывание
Ограниченность
Нули функции
Функция положительная
Функция отрицательная
Функция максимума
Функция минимума
Асимптоты
Оценка ____________________________
Фамилия, имя ______________________________________ гр. ________
Анкета функции _________
Название графика
Область определения
Область значения
Четность, нечетность
Периодичность
Непрерывность
Возрастание
Убывание
Ограниченность
Нули функции
Функция положительная
Функция отрицательная
Функция максимума
Функция минимума
Асимптоты
Оценка ___________________________
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native