Решение логарифмических неравенств удобным способом

Лысенко О.А. Выступление на МО ЕМЦ.

Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1)
является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени.
Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий способ решения этого стандартного неравенства. Для этого учтем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] непрерывная возрастающая функция на множестве X. Тогда на этом множестве знак приращения функции будет совпадать со знаком приращения аргумента, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Примечание: если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] непрерывная убывающая функция на множестве X, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Вернемся к неравенству [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Перейдем к десятичному логарифму (можно переходить к любому с постоянным основанием больше единицы).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Теперь можно воспользоваться теоремой, заметив в числителе приращение функций [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и в знаменателе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Таким образом, верно
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (2)
В результате количество вычислений, приводящих к ответу, уменьшается примерно в два раза, что экономит не только время, но и позволяет потенциально сделать меньше арифметических ошибок и ошибок “по невнимательности”.
Пример 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сравнивая с (1) находим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Переходя к (2) будем иметь:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сравнивая с (1) находим 13 INCL
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Переходя к (2) будем иметь:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 3.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Поскольку левая часть неравенства – возрастающая функция при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то ответом будет множество [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Множество примеров, в которых можно применять терему 1 может быть легко расширено, если учесть терему 2.
Терема 2.
Пусть на множестве X определены функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и на этом множестве знаки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]совпадают, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда будет справедливо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 4.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 5.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
При стандартном подходе пример решается по схеме: произведение меньше нуля, когда сомножители разных знаков. Т.е. рассматривается совокупность двух систем неравенств, в которых, как было указано в начале, каждое неравенство распадается еще на семь.
Если же учесть терему 2, то каждый из сомножителей, учитывая (2), можно заменить на другую функцию, имеющую тот же знак на данном примером О.Д.З.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Метод замены приращения функции приращением аргумента с учетом теоремы 2, оказывается очень удобным при решении типовых задач С3 ЕГЭ.
Пример 6.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 7.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Обозначим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Заметим, что из замены следует: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Возвращаясь к уравнению, получим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 8.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В используемых нами теоремах нет ограничении на классы функций. В данной статье, для примера, теоремы были применены к решению логарифмических неравенств. Несколько следующих примеров продемонстрируют перспективность метода при решении других видов неравенств.
Пример 9.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 10.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задачи для самостоятельного решения.
1. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
4. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
5. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
6. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
7. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].