План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Основное тригонометрическое тождество».

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Основное тригонометрическое тождество».


Цель урока: вывод формул sin2
· + cos2
· = 1; sin(180°-
·) = sin
·; cos(180°-
·) = -cos
·; sin(90°-
·) = cos
·; cos(90°-
·) = sin
·. Формирование умений учащихся находить тригонометрические функции тупых углов.
Тип урока: комбинированный.
Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника» [13], табл. 1. Требования к уровню подготовки учащихся: применяют формулы sin2
· + cos2
· = 1; sin(180°-
·) = sin
·; cos(180°-
·) = -cos
·; sin(90°-
·) = cos
·; cos(90°-
·) = sin
· к решению упражнений.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания
Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся в ходе выполнения домашних заданий.
Фронтальное опрос
1) Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса углов от 0° до 180°.
2) Пользуясь таблицей (или калькулятором), найдите:
a) sin 112°, cos 112°, tg 112°;
б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;
в) sin 167°, cos 167°, tg 167°.
 
II. Поэтапное восприятие и осознание нового материала
Основная тригонометрическая тождество
Следует отметить, что основную тригонометричну тождество sin2
· + cos2
· = 1 в восьмом классе доказано для острого угла
·. Покажем, что это тождество справедливо для любого угла sin 0° до 180°.
Если угол
· - тупой (рис. 6), тогда из прямоугольного треугольника ОАВ ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]В = 90°, АВ = а , ВО = -х, ОА = 1) по теореме Пифагора имеем: ОВ2 + АВ2 = ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Учитывая, что x = cos
·, y = sin
·, имеем sin2
· + cos2
· = 1.
Если
· = 0°, тогда cos2 0° + sin2 0° = 12 + 02 = 1.
Если
· = 90°, тогда cos2 90° + sin2 90° = 02 + 12 = 1.
Если
· = 180°, тогда cos2 180° + sin2 180° = (-1)2 + 02 = 1.
Следовательно, для любого угла
· (0°
· 180°) выполняется тождество sin2
· + cos2
· = 1.
 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Формулы дополнения
В 8-м классе для острого угла а было доказано формулы, выражающие функции угла 90°-
· через функции угла
·. Напомним их:
sin(90° -
·) = cos
·, cos(90° -
·) = sin
·, tg(90°-
·) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или tg(90°-
·) = ctg
·.
Например, sin 30° = cos 60° = 13 INCLUD
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Следует отметить, что эти формулы справедливы и для тупого угла a, однако это вызывает необходимость вводить тригонометрических функции для отрицательных углов. С этим материалом учащиеся ознакомятся в 10-м классе.
Формулы sin(180°-
·) = sin
·, cos(180°-
·) = - cos
·
Рассмотрим круг с центром в начале координат и радиусом 1. Отложим угол
· - острый угол, который образует радиус круга с положительной осью Ох. Построим угол 180°-
·. Для этого отложим угол В1ОА1 от отрицательной полуоси Ох, тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]A1OB = 180° -
· (рис. 7).
 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Пусть координаты точек А и А1 соответственно (х; у) и (х1; у1),
·ОВА =
·ОВ1А1 (по гипотенузой и острым углом). Тогда sin (180°-
·) = y1 = y = sin
·, cos (180°-
·) = = х1 = - x = -cos
·, tg (180°-
·) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= - tg
·. Эти формулы дают возможность, зная значения тригонометрических функций острых углов, находить значения тригонометрических функций тупых углов.
Например,
sin 120° = sin (180° - 60°) = sin60° = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
tg 120° = tg (180° - 60°) = - tg 60° = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Далее следует предложить учащимся найти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. После этого надо занести результаты в табл. 1, в которой учащиеся будут пользоваться в течение следующих уроков.
 




Таблица 1
 Функция
Угол


30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°

sin
·
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

cos
·
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

tg
·
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
- 1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

 
III. Закрепление и осмысление нового материала
Выполнение упражнений
1. Упростите выражение:
a) 1 - cos2
·;
б) (1 - cos
·)(1 + cos
·);
в) sin4
· + sin2
·cos2
· + cos2
·;
г) 1 + 2sin2
·cos2
·.
2. Найдите:
а) cos
· и tg
·, если sin
· = 0,8 и 90°
· 180°;
б) sin
· и tg
·, если cos
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и 90°
· 180°.
 
IV. Домашнее задание
1. Выучить формулы и значения тригонометрических функций некоторых углов (табл. 1).
2. Найти cos
· и tg
·, если sin
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и 90°
· 180°.
3. Упростить sin4
· + sin2
·cos2
· - sin2
· + 1.
 
 
V. Подведение итогов урока
Задача класса
1. Могут ли одновременно выполняться равенства:
а) sin
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], cos
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
б) sin
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], cos
· = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]?
2. Определите знак выражения: а) sin 171°; б) cos 139°; в) tg 173°.

Домашнее задание
Учебник Л.С. Атанасян п. 94 № 1013, 1014 (а,б)

15