Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»

Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»
Цели лекции:
1) ввести и обосновать методы вычисления неопределенного интеграла;
2) разобрать доказательство теорем, на которых основываются методы;
3) разобрать примеры на каждый метод.
Тип лекции: изучение нового материала.
План лекции:
1) ввести и обосновать метод введения нового аргумента;
2) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод введения нового аргумента;
3) разобрать примеры, связанные с методом введения нового аргумента;
4) ввести и обосновать метод подстановки;
5) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод подстановки;
6) разобрать примеры, связанные с методом подстановки;
7) ввести и обосновать метод интегрирования по частям;
8) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод интегрирования по частям;
9) рассмотреть типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям и примеры для каждого типа.
Ход лекции
1. Метод введения нового аргумента.
1) По определению неопределённого интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, x( - независимая переменная. Эта формула инвариантна относительно х, т.е. в формуле х может быть как независимой переменной, так и непрерывно дифференцируемой функцией.
2) Выделение со студентами этапов в тексте доказательства теоремы.
При разборе доказательства теоремы выделялся план доказательства. Для выделения этапов студентам задавался вопрос «Что делается дальше?». План записывался на доске, и студенты выделяли этапы у себя в лекциях.
Теорема. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где u=
·(x) – непрерывно дифференцируемая функция.
Доказательство.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (1)
где х – независимая переменная. С другой стороны, дан 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где u=
·(x)– непрерывно дифференцируемая функция, значит, du=
·'(x)dx. Тогда
f(u)du=f(
·(x))(
·'(x)dx. (2)
Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(
·(x)).
[F(
·(x))]'=F'(u)(
·'(x)=f(u)(
·'(x)=f(
·(x))(
·'(x), т.е. функция F(
·(x)) является первообразной для f(
·(x))(
·'(x). Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, или по (2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дано:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2) u=
·(x) – непрерывно дифференцируемая функция.
Доказать: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
План доказательства:
1) находим 13 EMBED Equation.3 1415;
2) находим f(u)du=f(
·(x))(
·'(x)dx;
3) рассмотрим F(u)=F(
·(x));
4) находим [F(
·(x))]'=f(
·(x))(
·'(x)=13 EMBED Equation.3 1415;
5) из 2) и 4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) Примеры:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
u du
2) 13 EMBED Equation.3 1415
u u du
3) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415/
2. Метод подстановки
4) Теорема 2. Пусть y=f(x) непрерывна на
·x, x=
·(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на
·t. Пусть определена сложная функция f(
·(t)) на
·t (множеством значений функции
·(t) является промежуток
·x). Тогда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
Доказательство.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Продифференцируем обе части равенства (3):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Значит, обе части формулы (3) имеют один и тот же дифференциал и, следовательно, выражают собой одно и то же семейство первообразных для функции f(x). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Дано:
1) y=f(x) непрерывна на
·x;
2) x=
·(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на
·t;
3) определена сложная функция f(
·(t)) на
·t.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415
5) Итак, для вычисления интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с помощью
· подстановки x=
·(t) надо выразить х через t, dx – через t и dt, т.е. dx=
·'(t)dt. Чтобы после вычисления интеграла вернуться к переменной х, надо в полученной функции заменить t значением, которое находится из соотношения t=
·-1(x) (существование обратной функции следует из монотонности
·(t)).
6) Примеры:
1) Линейная подстановка:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Метод интегрирования по частям
7) – 8) Теорема 3. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на промежутке
·. Пусть на
· функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет первообразную. Тогда функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на
· имеет первообразную и справедлива формула
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (4)
Доказательство.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 По правилу дифференцирования произведения имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5)
По условию существует интеграл 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По свойству интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому существует интеграл правой части (5), следовательно, существует интеграл и левой части:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Относя в последнем равенстве С ко второму интегралу получим (4). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Замечание. Т.к. v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то (4) можно записать в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (6)
Дано:
1) u=u(x) и дифференцируема на промежутке
·;
2) v=v(x) дифференцируема на промежутке
·;
3) на
· функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет первообразную.
Доказать:
1) функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на
· имеет первообразную;
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
План доказательства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) интегрируем равенство и получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
9) I. Подынтегральная функция имеет вид P(x)eax, P(x)cosax, P(x)sinax, где P(x) – многочлен. В таких интегралах за u(x) надо принять многочлен P(x) и формулу интегрирования по частям применять столько раз, какова степень многочлена.
13 EMBED Equation.3 1415 eax
u(x) cosax
sinax
Цель интегрирования: понизить степень многочлена до 0.
II. Подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
В этом случае за u(x) надо взять эту функцию.
13 EMBED Equation.3 1415 lnx
arcsinx
arccosx = u(x)
arctgx
arcctgx


Цель интегрирования: находя 13 EMBED Equation.3 1415 при u(x) равной одной из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx перейти к многочлену от переменной 13 EMBED Equation.3 1415.
III. Подынтегральная функция имеет вид: eaxsinbx, eaxcosbx, cos(lnx), sin(lnx).
Формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причём оба раза за u(x) выбирается одна и та же функция (либо показательная, либо тригонометрическая). После этого получается линейное уравнение относительно исходного интеграла.

13 EMBED Equation.3 1415sinbx , cos(lnx), sin(lnx)
cosbx

u(x)
Цель интегрирования: после применения формулы интегрирования по частям два раза получить линейное уравнение относительно исходного интеграла и найти из этого уравнения значение исходного интеграла.

Root EntrydEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation Native