Из истории развития магических квадратов (статья)

Магические квадраты
Что такое «магический квадрат»?
Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n), Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.
Из истории развития магических квадратов
Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные Как только их не называли. - ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн... Знакомьтесь: магические квадраты - удивительные представители воображаемого мира чисел.
Рисунок 1.1
Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.
Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается его автор (который па самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.
Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.
В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.
В начале XVI в знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив
его на гравюре «Меланхолия» (рис. 1.1).
Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис. 1.2, а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 1.2, б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 г.
16
3
2
13

5
10
11
8

9
6
7
12

4
15
14
1

6
3
2
13

5
10
11
8

9
6
7
12

4
15
14
1

а) б)
Рисунок 1.2
В середине XVI в. в Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Бесси, Эйлер, Гаусс.
Например, Баше де Мезириак* описал простой графический способ построении квадратов нечетного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был изобретен еще в древности. Отметим, что в XVI-XV1I вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые предстали как математическая забава.
Примерно в то же время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четного порядка, а Френикль де Бесси** вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). Дальнейшее развитие теории магических квадратов оказалось связано с развитием теории чисел и комбинаторики.
В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис. 1.3, а). Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек (рис. 1.3, б), украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
Рисунок 1.3

Название «магические» квадраты получили от арабов, Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.
7
12
1
14

2
13
8
11

16
3
10
5

9
6
15
4

На рис. 1.4 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам.
Он интересен тем, что сохраняет свойство
быть магическим после последовательной
перестановки строк (столбцов).
Рисунок 1.4

Разновидности магических квадратов.

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям.
Так, у изображенного на рис. 1.5 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.

Рисунок 1.5
Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Оказывается, существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство. Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец - слева).
Отметим другое, следующее отсюда свойство: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшиеся в любой группе клеток размером 5x5, образуют совершенный квадрат (рис. 1.6).


Рисунок 1.6
Кстати, упоминавшийся ранее древнеиндийский квадрат также является совершенным.
Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим следующий квадрат 5-го порядка (рис. 1.7). Что интересного можно заметить и расстановке образующих его чисел? Во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из его осей симметрии.

Рисунок 1.7
Во-вторых, суммы пар чисел, занимающих центрально - симметричные клетки, одинаковы и вдвое больше числа, стоящего в центре* (рис. 1.8).
И это не случайно. Натуральные числа 1, 2 25 являются членами арифметической прогрессии. Как известно, суммы членов, равноудаленных от концов прогрессии, равны:
а1 + аn = а2 + аn-1 = ... .
Но именно по этому принципу построены все двенадцать пар чисел.

Имеем:
1 + 25= 2 + 24 = ... = 12 + 14 = 26 = n2 + 1.
Наконец, оставшееся число 13 - непарное и помещается в центре квадрата. Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать все клетки по порядку построчно сверху вниз).



Рисунок 1.8


Аналогичными свойствами обладают таблица Ло Шу и квадрат Дюрера. Вообще квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметрическим. (Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного.) Неверно было бы говорить о том, что именно симметрия строения является основным признаком магического квадрата. Вместе с тем она часто определяет его свойства и широко используется при построении магических квадратов.
Укажем, наконец, еще одну интересную особенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «разломанных» диагоналях (рис. 1.9), являются членами арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=5, совпадающей с порядком квадрата (кстати, их суммы обладают таким же свойством).



11
24
7
20
3

4
12
25
8
16

17
5
13
21
9

10
18
1
14
22

23
6
19
2
15


Рисунок 1.9
Найдите на рис.1.9 еще две пятерки расположенных рядом чисел, из которых можно составить арифметические прогрессии с разностями d1и d2, отличными от 1. Как связаны между собой числа d, d1 и d2?
Многими интересными свойствами обладает и изображенный на рис. 1.10 магический квадрат 8-го порядка. Например, он делится па четыре равные части - квадраты 4-го порядка, у каждого из которых суммы чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 130, что вдвое меньше постоянной магического квадрата.
Его можно разбить также на четыре пары прямоугольников размером 4x2 каждый, расположенных симметрично относительно центра квадрата (на рис. 1.10 они закрашены одним и тем же цветом). Суммы пар чисел в соответствующих столбиках таких прямоугольников одинаковы и равны 57 или 73 (например, 1 + 56 = 54 + 3, 46 + 27 = 25 + 48), что дает в сумме 130. А если составить из полученных чисел прямоугольную таблицу, они распределятся в ней симметрично (рис. 1.11).




Рисунок 1.10
57
73
73
57
57
73
73
57

73
57
57
73
73
57
57
73

73
57
57
73
73
57
57
73

57
73
73
57
57
73
73
57

Рисунок 1.11
Рассмотрим теперь левый верхний квадрат 4-го порядка (рис. 1.10). Сложим числа, расположенные симметрично относительно его горизонтальной, а также вертикальной осей симметрии. Суммы снова повторяются и закономерно располагаются в таблицах (рис. 1.12), «скрывая в себе» числа130 и 260.
43
47
83
87

87
83
47
43

56
74

58
72

72
58

74
56






Аналогичными свойствами обладают и остальные квадраты, получающиеся при разбиении исходного квадрата на четыре равные части. Причем с каждым из них связан свой набор из восьми чисел, принадлежащих множеству; (43, 47, 51, 55, 56, 58. 72, 74, 75, 79, 83, 87). Легко видеть, что сумма двух любых чисел, «равноудаленных» от его концов, раина 130, а сумма четверок чисел - 260. Все отмеченные свойства данного магического квадрата, включая рассмотренные выше разбиения на квадраты и прямоугольники, являются проявлением особенностей его внутреннего строения, подчиненного закону центральной симметрии.
Теперь вы и сами можете найти немало интересных свойств этого магического квадрата, разбивая его на другие фигуры, например на шестнадцать квадратов размером 2x2, складывая числа, расположенные не в столбик, а по диагонали, и т.д.
Возникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них ответы давно найдены, на другие только предстоит найти. Остановимся подробнее на некоторых проблемах.
Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка является самым простым. А почему не существует магический квадрат 2-го порядка?
Квадрат размером 2x2 должен был бы состоять из чисел 1, 2, 3, 4, а его постоянная - равняться 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами*, но это сделать невозможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+4 и 2 + 3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям (рис. 1.13), но никак не одновременно.






Рисунок 1.13
Рассматривая магические квадраты разного порядка, мы указывали их постоянные, которые, как легко догадаться, однозначно определяются размером соответствующей таблицы. Конечно, при наличии квадрата для небольших значений n заветную сумму можно вычислить непосредственно. Но даже нескольких приведенных ранее примеров достаточно, чтобы понять, с увеличением n она быстро растет. А что делать в том случае, когда квадрат еще не построен? Или если нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? Да и как составить сам квадрат, не зная его постоянной?
Выведена общая формул, позволяющую вычислить её для квадрата любого порядка. Пусть в таблице размером n х n располагаются натуральнее числа от 1 до n!. Их сумма S равна
1+2+3++n=((1+n2)* n2)/2
Обозначим постоянную магического квадрата буквой s. Тогда
S=s*n= ((1+n2)* n2)/2
откуда
s= ((1+n2)* n2)/2
С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты.
Первая задача предполагает более подробное рассмотрение, и не является вопросом, рассматриваемым в данной работе. Отметим лишь, что основы математической теории построения магических квадратов были заложены французскими учеными в XVII в. Позже она стала излюбленной темой исследований многих авторов. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения.
Вторая задача также до сих пор не решена, Отчасти это связано с тем, что с увеличением n число магических квадратов стремительно растет. Например, доказано, что для n = 4 существует 880 различных магических квадратов, для n = 5 - уже около четверти миллиона, а для больших значений n их общее число не найдено.
Не менее удивительно то, что существует всего один; магический квадрат 3-го порядка! Общее число квадратов, которые можно составить из девяти чисел, равно
9! = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 362 880. Среди них есть такие, которые получаются один из другого с помощью поворота на 900, 1800, 2700 вокруг центра квадрата или при симметрии относительно четырех осей. Если найден один магический квадрат, то каждый из семи квадратов, полученный из него любым из указанных способов, не следует рассматривать как новый вариант искомого квадрата. Как известно, от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. В данном случае важна сумма, а не порядок расстановки слагаемых. Так что все восемь квадратов представляют по сути один квадрат. Отбросив все «ложные» варианты, получим интересующее нас число расстановок чисел в таблице размером 3 х 3, а именно 362 880: 8 = 45 360, и только одна из комбинаций соответствует магическому квадрату!
Как же ее найти? Оказывается, это не такая уж сложная задача. Для начала представим число 15 в виде сумм троек натуральных чисел от 1 до 9. Получим следующие восемь комбинаций.
1+5+9 2+6+7
1+6+8 3+4+8
2+4+9 3+5+7
2+5+8 4+5+6
Теперь тройки чисел надо разместить соответствующим образом в клетках квадрата. Замечаем, что число 5 входит сразу в четыре суммы. Значит, содержащая его клетка должна находиться на пересечении четырех прямых рядов. В квадрате размером 3x3 этому условию удовлетворяет только одна клетка - центральная (рис. 1.14, а).
Нетрудно сообразить: любые два числа, попавшие в одну тройку с числом 5, должны размещаться симметрично относительно центра квадрата. Осталось выяснить, как именно располагается конкретная числовая пара: по горизонтали, вертикали или по диагонали?

Рисунок 1.14

Будем рассуждать так же, как и раньше. Каждое четное число встречается сразу в трех суммах, поэтому четные числа должны попасть в клетки, лежащие на пересечении трех рядов, то есть в углах таблицы (рис. 1.14, б). Наконец, каждое из оставшиеся нечетных чисел входит в суммы дважды, их место - в средних клетках по краям квадрата (рис. 1.14 ,в).
Следуя найденным принципам, легко распределить все девять чисел.
Интересны и другие задачи на построение магических квадратов: состоящих из заданных чисел, обладающих определенными свойствами и т.д. Такова, например, задача на составление квадратов из простых чисел,
Ее возможное решение приведено на рис. 1.15. Любопытно, что все подобранные числа заканчиваются цифрой 7. Сумма чисел, стоящих, в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях таблицы, равна 798. Ее нельзя вычислить с помощью формулы постоянной s магического квадрата, поскольку числа не являются членами арифметической прогрессии, и это осложняет поиски решения.
3
61
19
37

43
31
5
41

7
11
73
29

67
17
23
13

17
317
397
67

307
157
107
227

127
277
257
137

347
47
37
367


Рисунок 1.15 Рисунок 1.16




На рис. 1.16 изображен ещё один квадрат из простых чисел: одно- и двузначных. Его постоянная выглядит «скромнее» и равна всего 120. -Трудней построить магический квадрат из первых п2 простых чисел. В начале XX в. было доказано, что наименьший такой квадрат имеет размер 12 х 12. Правда, при его составлении било сделано исключение: число 2 заменено единицей.
Иногда рассматривают магические квадраты не с суммами, а с произведениями чисел. Например, изображенный на рис. 17 квадрат 3-го порядка составлен из первых девяти членов геометрической прогрессии 1, 2, ... . В нем произведения чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 4096. Легко видеть, что данный квадрат является симметрическим: произведение двух любых чисел из центрально-симметричных клеток равно 256.

Рисунок 1.17

Задачу можно обобщить на случай магического квадрата, составленного из чисел а, аq, аq2,..., aq8. Как его построить с помощью полученных ранее знаний? Обращает на себя внимание показатель степени qm он последовательно принимает целые значения от 0 до 8. Сравните их с числами из таблицы Ло шу. Отличие только одно - вместо числа 9 присутствует 0, но оно приводит к следующему предположению: квадраты аналогичны по структуре и должны строиться одним и тем же способом. А он нам уже известен. Составим сначала таблицу из чисел 0, 1, ..., 8 (рис. 1.18, а), затем соответствующий квадрат из чисел а, аq, аq2, ..., aqs (рис. 1.18, б). Убедитесь в том, что он магический.



Рисунок 1.18


Отметим, что задачу можно было решить иначе. Сначала, опираясь на свойства геометрической прогрессии (Ьп), а именно,
b1*bn=b2*bn-1=и
b2n=bn-m*bn+m, где 1
· m
· n – 1
вычислить постоянную s квадрата:

Затем, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием, представить выражение а3q12 восемью способами в виде произведения трех из множителей а, аq, aq2, ..., aq8 и распределить последние в клетках квадрата, рассуждая подобно тому, как это делалось при построении таблицы Ло Шу.
Помимо квадратов, существуют и другие магические фигуры. Одна из них - магический шестиугольник 3-го порядка (на каждой его стороне по три числа), составленный из первых девятнадцати натуральных чисел (рис. 1.19). В нем пять рядов и десять диагоналей (по пять в каждом направлении), все пятнадцать сумм чисел одинаковы, постоянная шестиугольника S0=(1+2++19)/5=3
Рисунок 1.19






Интересно, что магический шестиугольник 3-го порядка существует в единственном экземпляре (с точностью до поворотов и отражений), как и его «младший брат» квадрат. Более того, нельзя построить такой шестиугольник никакого другого порядка!
Наконец, можно рассматривать трехмерные фигуры из чисел, в частности магический куб – пространственный аналог магического квадрата. Подобный куб размером n х n х n должен быть заполнен натуральными числами от 1 до n3, суммы которых к каждой строке и каждом столбце произвольного слоя, а также на любой из четырех диагоналей куба одинаковы.
Один из магических кубов 3-го порядка построил Леонард Эйлер. На рис. 1.20 показано, как распределены натуральные числа 1, 2, , 27 в слоях куба.











Верхний слой Средний слой Нижний слой
Рисунок 1.20

" Клод Гаспар Баше де Мезириак французский математик. и поэт XVII века. Известен в частности, тем, что перевёл с греческого и издал и 1621 г, "Арифметику* Диофанта, снабдив книгу подробными комментариями.
" Бернар Френикль де Бесси французский математик XVII в., занимавшийся в основном теорией чисел.


а) б)
Рисунок 1.3

* Можно сказать иначе; число, стоящее и центральной клетке квадрата, есть среднее арифметическое любой пары чисел из центрально - семеричных клеток.


Рисунок 1.12

Слагаемый в сумме не должны повторяться, при этом их порядок не учитывается.


13 EMBED Equation.3 1415



Root Entry