Практическое занятие по математике по теме Практическое применение задач по теории вероятности в электрических схемах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
государственное профессиональное образовательное автономное учреждение
«Райчихинский индустриальный техникум»
Тема: Практическое применение задач по теории вероятности в электрических схемах
для специальности
Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем
Преподаватель: Ершова Е. В.
г. Райчихинск
2014г
Цели: Учебные:
научить решать задачи на нахождение безотказной работы цепи через определение вероятности ее надежности;
расширить и обобщить представление студентов о надежности электрических цепей;
освоить новые приемы решения задач.
Воспитательные:
развивать коммуникативные навыки (работа в паре).
воспитывать точность и аккуратность в расчетах
Развивающие:
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности.
Формируемые компетенции ПК 1.3. Проводить испытания элементов и устройств релейной защиты, автоматики и средств измерений.
ПК 4.1. Планировать работу производственного подразделения.
Ход урока:
Составление опорного конспекта.
Решение задач на определение вероятности безотказной работы функциональной цепи.
Решение задач на определение вероятности безотказной работы элементов устройства.
Решение задач на определение вероятности безотказной работы сигнализаторов.
Практическая работа в парах.
Краткие теоретические сведения
На прошлых уроках вы изучили уроках теоремы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности, научились решать простейшие задачи с применением теорем.
Сегодня на уроке мы рассмотрим практическое применение задач по теории вероятностей в электрических схемах.
Надежность каждого элемента системы электроснабжения можно характеризовать вероятностью рабочего состояния p и вероятностью отказа q. Если не учитывать плановые простои (ремонты), то можно считать, что элементы в любой момент времени находятся в одном из этих состояний. Тогда сумма вероятностей этих состояний равна 1: p+q=1.
Для группы из двух элементов возможны следующие сочетания:
оба элемента в рабочем состоянии;
первый элемент в вынужденном простое, второй в рабочем состоянии;
первый элемент в рабочем состоянии, второй в вынужденном простое;
оба элемента в вынужденном простое.
Вероятности этих состояний можно найти, воспользовавшись теоремой умножения вероятностей.
Надежность сложной электрической схемы определяется надежностью каждого элемента схемы и типом их соединения между собой.
(Перед вами на столах лежат бланки для опорных схем, по мере объяснения материала вам необходимо заполнить их: зарисовать схему, записать формулы и их словесное описание (Приложение 1)).
Вид заполненной схемы (Приложение 2).
Так при последовательном соединении двух элементов с надежностью каждого p1 и p2 надежность всей схемы определяется как

Рис.1
P=p1∙p2Другими словами схема работает, если работают оба элемента. При отказе одного (любого) из них схема работать не будет (ток через цепь не пойдет).

Рис. 2
P=p1∙p2∙…∙pn.
Вероятность отказа для последовательного соединения
P=1-q1q2 (для двух элементов).
P=1-q1q2∙…∙qn, здесь qi=1-pi (для n –элементов).
При параллельном соединении двух элементов с надежностью каждого р1 и р2 надежность всей схемы определяется как P=p1∙p2+p1∙q2+q1∙p2Пользуясь формулой для вероятности появления хотя бы одного события, надежность схемы параллельного соединения записывают в виде
P=1-q1q2.
рис. 3
Другими словами схема работает, если работают оба элемента, но также она работает, если выйдет из строя и какой либо один из элементов.
Очевидно, что схема с п параллельно соединенными элементами будет иметь надежность P=1-q1q2∙…∙qn, здесь qi=1-pi.
Вероятность отказа для параллельного соединения
P=q1q2 (для двух элементов).
P=q1q2∙…∙qn, здесь qi=1-pi (для n –элементов).
Решение задач совместно преподавателем
Решение задач на определение вероятности безотказной работы функциональной цепи
Задача 1: Цепь состоит из независимых блоков, соединенных в систему с одним входом и одним выходом.

рис. 4
Выход из строя за время Т различных элементов цепи — независимые события, имеющие следующие вероятности: q1=0,1; q2=0,2;q3=0,3; q4=0,4. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.
Решение: Событие А – система надежна.
Событие Ai – i-й блок работает безотказно.
Элементы 1 и 2 соединены параллельно, и элементы 3 и 4 соединены параллельно, а между собой они соединены последовательно, тогда используя формулы, получим PA= 1-q1q2∙1-q3q4=1-0,1∙0,2∙1-0,3∙0,4=1-0,02∙1-0,12=0,98∙0,88=0,8624.
453390251460Задача 2:


рис.5
Элементы А1 и А2 электрической цепи соединены параллельно, а А3 присоединен к ним последовательно. Вероятность выхода из строя за данный период времени элементов А1, А2 и А3 равна соответственно q1, q2, q3.
q1=0,1, q2=0,2, q3=0,1.
Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за рассматриваемый период по цепи будет проходить ток.
Решение: Параллельное соединение элементов А1 и А2 , работает, если работает хотя бы один из них. Событие А произойдет, если одновременно с этим работает элемент А3.
Используя формулы, получим PA=1-q1q2∙p3=1-q1q2∙1-q3=1-0,1∙0,2∙1-0,1=1-0,020,9=0,98∙0,9=0,882.
Задача 3. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p1=0,8, p2= p3=0,7, p4= p5= p6=0,9, p7= p8= p9=0,8

Решение. - надежность работы прибора, т. е. вероятность того, что ток пройдет через весь прибор.
Событие - сигнал пройдет через участок 1 -2 , если будет работать хотя бы один из элементов этого участка, т.е. надежность этого участка
PA1=1-q1q2=1-1-p1∙1-p2=1-1-0,8∙1-0,7==1-0,2∙0,3=0,94Событие - сигнал пройдет через участок 4 -5- 6 , если будет работать хотя бы один из элементов этого участка, т.е. надежность этого участка
PA2=1-q4q5q6=1-1-p4∙1-p5∙1-p6=1-1-0,9∙1-0,9∙1-0,9=1-0,13=0,999Событие - сигнал пройдет через участок 7 - 8 , если будет работать хотя бы один из элементов этого участка, т.е. надежность этого участка
PA3=1-q1q2=1-1-p7∙1-p8=1-1-0,8∙1-0,8==1-0,2∙0,2=0,96Событие А состоит в совмещении событий , A2, A3 и безотказной работы 3-го и 9-го элементов, т.е. надежность всей системы:
PA=PA1∙PA2∙PA3∙p3∙p9=0,94∙0,999∙0,96∙0,7∙0,8=0,5048≈0,5.
Вывод по задаче: Обратите внимание, если элементы цепи соединены параллельно, то их надежность выше.
Решение задач на определение вероятности безотказной работы элементов устройства
Задача 4:
Прибор состоит из 3-х узлов, которые за время работы могут выходить из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) i-го узла равна pi, вероятность отказа qi = 1 – pi (i = 1, 2, 3).
p1=0,95; p2=0,98; p3=0,9
Найти вероятности следующих событий: А - все узлы работают безотказно; В - первый узел отказал, остальные нет; С - один из узлов отказал, остальные нет; D - отказали два узла из 3-х; E - отказал хотя бы один узел.
Решение. Пусть Аi -работа i-го узла (i= 1,2,3), Ai- отказ i-го узла.
1) Событие А произойдет, если одновременно произойдут события A1, A2, A3 . Следовательно, оно является их произведением:
A=A1∙A2∙A3Применяя к этому равенству событий теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим
P(A)=P(A1)∙P(A2)∙P(A3)=p1∙p2∙p3=0,95∙0,98∙0,9=0,8379.
2) Событие В произойдет, если одновременно произойдут события A1, A2, A3. Следовательно В=A1∙A2∙A3Вероятность этого события будет равна
P(В)=P(A1)∙P(A2)∙P(A3)=q1∙p2∙p3=0,05∙0,98∙0,9=0,0441.
3) Событие С может осуществиться, если откажет первый узел, а остальные два работают или, если откажет второй узел, а работают первый и третий или, если откажет третий узел, а работают первый и второй. Следовательно, С - сложное событие, представляющее собой сумму произведений простых событий: С=A1∙A2∙A3+A1∙A2∙A3+A1∙A2∙A3.Применяя к этому равенству сначала теорему сложения вероятностей для несовместных событий, а затем к каждому слагаемому теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим
P(С)=P(A1)∙P(A2)∙P(A3)+P(A1)∙P(A2)∙P(A3)+P(A1)∙P(A2)∙P(A3)=q1∙p2∙p3+p1∙q2∙p3+p1∙p2∙q3==0,05∙0,98∙0,9+0,95∙0,02∙0,9+0,95∙0,98∙0,1==0,0441+0,0171+0,0931=0,1543.4) D - событие, которое может осуществиться тремя различными способами:D=A1∙A2∙A3+A1∙A2∙ A3+A1∙A2∙A3.
ПоэтомуP(D)=P(A1)∙P(A2)∙P(A3)+P(A1)∙P(A2)∙P(A3)+P(A1)∙P(A2)∙P(A3)=q1∙q2∙p3+p1∙q2∙q3+q1∙p2∙q3==0,05∙0,02∙0,9+0,95∙0,02∙0,1+0,05∙0,98∙0,1==0,0009+0,0019+0,0049=0,0077.5) Для вычисления вероятности события E применим теорему о вероятности появления хотя бы одного события. Тогда получим
PE=1-p1∙p2∙p3=1-0,95∙0,98∙0,9=1-0,8379=0,1621.
Решение задач на определение вероятности безотказной работы сигнализаторов
Задача 5: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Решение: A – при аварии сработает только один сигнализатор.
A1- сработает первый сигнализатор, PA1=0,95.
A2- сработает первый сигнализатор, PA2=0,9.
A1- первый сигнализатор не сработает, PA1=0,05.
A2- первый сигнализатор не сработает, PA2=0,1.
PA=PA1∙PA2+PA1∙PA2=0,95∙0,1+0,05∙0,9==0,095+0,045=0,14.Работа в парах
Карточка 1
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,8.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.
___________________________________________________________________
Карточка 2
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,9.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,9; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3. Вероятность того что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,8 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.
Карточка 3
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,8.

Задача 2: В электрическую цепь последовательно включены 5 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказов первого, второго, третьего, четвертого, пятого элементов соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3; 0,2; 0,1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,7, что сработает второй - равна 0,8. Найти вероятность того, что сработает только один сигнализатор.
___________________________________________________________________
Карточка 4
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,8.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,8; 0,75; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,7, что сработает второй - равна 0,8. Найти вероятность того, что не сработает ни один сигнализатор.
Карточка 5
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,9.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,85, что сработает второй - равна 0,8. Найти вероятность того, что сработает первый, но не сработает второй.
_________________________________________________________________
Карточка 6
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,9.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,95; 0,8; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,85, что сработает второй - равна 0,9. Найти вероятность того, что сработает хотя бы одни сигнализатор.
Карточка 7
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,8.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,85; 0,75; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, что сработает второй - равна 0,9. Найти вероятность того, что сработают оба сигнализатора.
______________________________________________________________________
Карточка 8
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p=0,8.

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,92; 0,6; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для информирования про аварию установлены три независимых между собой сигнализатора. Вероятность того, что во время аварии сработает первый сигнализатор р1=0,95, второй – р2=0,9, третий – р3=0,86. Найдите вероятность того, что во время аварии сработают все три сигнализатора.
Карточка 9
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p1=0,8, p2= p3=0,7, p4= p5= p6=0,9, p7= p8=0,7

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,95; 0,75; 0,8. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,85, что сработает второй - равна 0,95. Найти вероятность того, что сработают оба сигнализатора.
_____________________________________________________________
Карточка 10
Задача 1. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p1=0,9, p2=p3=0,6, p4=0,8, p5=p6=0,7,

Задача 2. Устройство состоит из 3 элементов, работающих независимо. Вероятность безотказной работы 1. 2 и 3-го элемента соответственно равны: 0,8; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что безотказно будут работать: а) только один элемент; б) два элемента; в) все три элемента.
Задача 3: Для информирования про аварию установлены три независимых между собой сигнализатора. Вероятность того, что во время аварии сработает первый сигнализатор р1=0,95, второй – р2=0,9, третий – р3=0,86. Найдите вероятность того, что во время аварии сработает только один сигнализатор.
Дополнительные карточки:
Питание потребителя осуществляется по одной цепи, состоящей из КЛ, трансформатора и выключателя. Вероятность безотказной работы за время t для этих элементов: pкл=0,96, pт=0,98, pв=0,97. Отказ любого элемента приводит к перерыву питания, причем отказы взаимно независимы. Найти вероятность безотказной работы передачи.

-308610237490 Определить вероятность перерыва электроснабжения в схеме.
Известны вероятности отказов элементов схемы:
qГ=3∙10-3, qТ1=5∙10-5, qЛ=2∙10-3, qТ1=4∙10-5Пусть вероятность КЗ одной фазы ЛЭП PA=0,02; вероятность КЗ второй фазы при условии, что одна фаза повреждена, PB∖A=0,2; вероятность КЗ третьей фазы при повреждениях первых двух PC∖AB=05. Требуется определить вероятность полного выхода ЛЭП из строя.
Домашнее задание: Выучить формулы.
Выводы урока: Сегодня на уроке вы научились решать задачи на нахождение безотказной работы цепи через определение вероятности ее надежности, расширили и обобщили представление о надежности электрических цепей. Оценки за работу в парах на следующий урок.
Приложение 1
Соединение Последовательное Параллельное
Схема 2 элемента
n- элементов
2 элемента
n- элементов
Вероятность работы (формула)
Словесное описание Вероятность отказа (формула)

Словесное описание Приложение 2
Соединение Последовательное Параллельное
Схема 2 элемента

n- элементов
2 элемента

n- элементов

Вероятность работы (формула) P=p1∙p2P=p1∙p2∙…∙pnP=p1∙p2+p1∙q2+q1∙p2или
P=1-q1q2, где qi=1-piP=1-q1q2∙…∙qn,
где qi=1-pi
Словесное описание Схема работает, если работают оба элемента. При отказе одного (любого) из них схема работать не будет (ток через цепь не пойдет).
Схема работает, если работают оба элемента, но также она работает, если выйдет из строя и какой либо один из элементов.
Вероятность отказа (формула)
P=1-q1q2.
P=1-q1q2∙…∙qn,
где qi=1-piP=q1q2,
где qi=1-piP=q1q2∙…∙qn,
где qi=1-pi
Словесное описание Схема откажет, если откажет хотя бы один элемент. Схема откажет, если откажут оба элемента.