Подборка задач для работы на уроке по теме Описанная окружность

Описанная окружность.
Теория
Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Теоремы, связанные с описанной окружностью
Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью треугольника , и — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны , тогда .
Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров и вневписанных окружностей.
Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника ABC на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности.
Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек.
Задача №1 Радиус окружности, описанной около треугольника , равен 13, высота, проведённая к стороне равна 5. Найдите длину той хорды описанной окружности, которая делится пополам стороной
Решение.

Пусть — середина искомой хорды Через точку проведём хорду параллельную стороне Тогда точка пересечения отрезков и — середина значит задача имеет два решения. Кроме того, высота треугольника вдвое больше высоты треугольника значит и Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника По теореме синусов
Пусть — центр окружности, описанной около треугольника — середина Из прямоугольного треугольника находим, что а так как расстояние между параллельными хордами и также равно 5, то точка лежит на отрезке Следовательно, — диаметр окружности.
Из прямоугольного треугольника находим, что Следовательно, Аналогично находим, что
Ответ:
Теорема синусов
Теорема Пифагора
Задача №2 Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точек A, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.
Решение.

Точка лежит на окружности с диаметром поэтому По теореме Пифагора
 
Пусть — высота треугольника Тогда:.
Отсюда Из прямоугольного треугольника находим:
 
Если точка лежит между точками и , то Следовательно,
 
Если точка лежит между и то Следовательно,

Ответ:
Теорема Пифагора
Формула площади треугольника
Задача №3 Продолжение биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает прямую в точке , отличной от . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если , , угол равен .
Решение.

Возможны два случая:
1) точка лежит между и (рис. 1);
2) точка лежит между и (рис. 2).
Рассмотрим первый случай.
поэтому треугольники и равны. Значит,
Тогда искомый радиус равен
Рассмотрим второй случай.
, поэтому треугольники и равны. Значит, Тогда искомый радиус равен
 
Ответ:
Замечание: на самом деле при внимательном рассмотрении оказывается, что первый случай невозможен, так как оказывается, что — самой длинной из сторон треугольника, а такого быть не может. Ошибка была допущена составителями задачи. При проверке, полный балл выставлялся, либо в случае, когда были разобраны оба случая и верно получены оба ответа, либо в случае, когда была объяснена невозможность первого случая и дан только один ответ.
Дополнительные задачи
№2

№3

№4