Треугольник Паскаля, работа учащейся 9 класса, представленная на сессию МАН, занявшая первое место
Министерство образования и науки, молодежи и спорта
Автономной Республики Крым
МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШКОЛЬНИКОВ КРЫМА "ИСКАТЕЛЬ"
Секция математики
Удивительный треугольник Паскаля и его загадочные свойства
Работу выполнила: Костенко Елизавета
(Симферопольский район,
МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2» 9 кл.)
Научный руководитель: Исаева Н. Н.,
Учитель высшей категории, учитель математики
МБОУ «Гвардейской школы-гимназии №2»
Симферопольский район - 2016 г.
Тезисы
Костенко Елизавета Александровна
Ученица 9 класса МБОУ «Гвардейской школы-гимназии №2»
Исаева Нина Николаевна
Учитель высшей категории, учитель математики МБОУ «Гвардейской школы-гимназии №2»
Тема работы: Удивительный треугольник Паскаля и его загадочные свойства
Цель: ознакомиться с треугольником Паскаля как с разновидностью треугольников, изучить свойства арифметического треугольника, рассмотреть применение треугольника в разных сферах жизни, узнать более обширную и подробную информацию о числовой таблице, а также выявить связь треугольника Паскаля с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.
Задачи: изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля», выявить свойства чисел, входящих в состав арифметического треугольника, определить применение свойств чисел треугольника Паскаля, сформулировать вывод и итоги исследования.
Актуальность данной работы обусловлена широким интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, а также ее недостаточной разработанностью. Данная работа позволяет выявить, насколько широко применяются треугольники в практической жизни, и какую они играют роль в различных направлениях.
Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля.
Мой личный вклад в работу состоит в отслеживании свойств арифметического треугольника в школьных учебниках, материалах ГИА и ЕГЭ, а также дополнительной литературе.
Практическое значение работы: материалы данной работы могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках алгебры и геометрии как в обычных, так и в профильных классах.
Выводы: таким образом, я познакомилась с треугольником Паскаля как с разновидностью треугольников, изучила свойства арифметического треугольника, выяснила какая же связь существует между числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами, рассмотрела его применение в решении некоторых задач.
СОДЕРЖАНИЕ
ВСТУПЛЕНИЕ……………………………………………………………………….5
РАДЕЛ І
Теория
Блез Паскаль – французский математик…………………………………….7
Треугольник Паскаля как разновидность треугольников…………………8
Свойства арифметического треугольника ……………………………….....12
РАЗДЕЛ ІІ
Исследование теории вероятности и последовательности чисел Фибоначчи. Биномиальные коэффициенты. Примеры решения задач с использованием свойств арифметического треугольника
2.1. Связь треугольника Паскаля с теорией вероятности………………………15
2.2. Закономерности в последовательности ряда чисел Фибоначчи…………..17
2.3. Биномиальные коэффициенты и их применение в различных областях математики…………………………………………………………………………...18
РАЗДЕЛ ІІІ
Методы решения задач по теме «Треугольник Паскаля»
3.1. Составление последовательности тренировочных задач по теме «Треугольник Паскаля» ………………………………………………………………………………………..21
ВЫВОДЫ……………………………………………………………………………22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………..………23
ВСТУПЛЕНИЕ
Тема моей работы звучит так: «Удивительный треугольник Паскаля».
Объектом исследования является треугольник Паскаля как таблица коэффициентов.
Предметом исследования являются свойства треугольника Паскаля.
Целью работы является ознакомление с треугольником Паскаля как с разновидностью треугольников, изучение свойств треугольника Паскаля, рассмотрение применения арифметического треугольника в разных сферах жизни, выявление связи треугольника с биномиальными коэффициентами и числами Фибоначчи.
Актуальность данной работы обусловлена широким интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, а также ее недостаточной разработанностью. Данная работа позволяем выявить насколько широко применяется арифметический треугольник в математике.
Задачами исследования является изучение литературы по теме «Треугольник Паскаля», выявление свойств чисел, входящих в состав арифметического треугольника, определение применения свойств чисел треугольника Паскаля, формулирование вывода и подведение итогов исследования.
Для достижения поставленной цели и задач необходимо решить следующие задачи:
Изучить статьи и учебно-методическую литературу по данной теме.
Проанализировать действующие учебники, содержащие материалы по данной теме.
Рассмотреть основные методы и приемы решения задач по теме «Треугольник Паскаля» .
Два года назад произошло наше увлекательное знакомство с таинственным и загадочным миром геометрии. Одной из глав курса геометрии 7 класса называется «Треугольники». Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о треугольниках. Ведь мир треугольников очень удивителен и интересен. Я хочу узнать как можно больше о происхождении треугольников, об их значении в нашей жизни.
Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что у разных народов и в разные времена он служил для воплощения возвышенных образов природы и природных сил в простые и загадочные символы. Например, в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету. Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.
Когда я подробно познакомилась с треугольником Паскаля, большим открытием для меня оказалось, что это и не совсем треугольник в привычном для нас представлении. Это скорее таблица с интересной структурой, простой и совершенной, содержащая числа – коэффициенты. Поскольку числа данного треугольника обладают особыми свойствами, то сам треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом. Именно это и является гипотезой моего исследования.
РАЗДЕЛ І
Теория
Блез Паскаль – французский математик
Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, — 19 августа 1662, Париж) — французский математик, физик, литератор, философ, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной материи. Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. Его удобное представление биномиальных коэффициентов в виде таблицы, изложенное в «Трактате об арифметике треугольника», увидевшем свет в 1653 г., (на тот момент Блезу Паскалю было шестнадцать лет ), получит название «треугольника Паскаля». Кроме того, Паскаль открыл и исследовал алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля». Переписка французского математика с Пьером де Ферма по теории вероятностей впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.
Треугольник Паскаля как разновидность треугольников
Изучая литературу, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами и назван в честь великого французского математика Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года, что является датой выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен такой треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.
Из книги "Математические новеллы" (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера я хотела бы привести его высказывание: "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике"
Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно - розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.
Свойства арифметического треугольника
Свойство №1.
Треугольник Паскаля бесконечен.
-1149356819900
Свойство №2.
Сумма чисел в строках треугольника Паскаля = 2n, где n - номер строки.
-384810791210
Свойство №3.
-1276353286760Треугольник Паскаля симметричен относительно центрального столбца.
Свойство №4.
Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, расположенные по порядку.
-2609856144260
Свойство №5.
Вторая диагональ треугольника Паскаля - это «треугольные» числа. Можно заметить, что если к 1 прибавить 2, мы получим 3, если к 3 прибавить 3, мы получим 6, а если к 6 прибавить 4 получится10, и таким образом каждый может продлить этот бесконечный ряд самостоятельно.
-3810905510
Свойство №6.
Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
Свойство №7.
Четвёртая диагональ треугольника Паскаля - это уже фигурные числа в четырехмерном измерении, поэтому это можно только представить в виртуальном мире.
19202407601585-1657357687310
Свойство №8.
-419102077085Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).
32346902000885
Свойство №9.
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы)
-419105544185
Свойство №10.
В каждой строке треугольника Паскаля сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
-1562108392160
-25590501014730003098803479801+15+15+1 = 6+20+6
001+15+15+1 = 6+20+6
Свойство №11.
Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
-419101010285
298450278765N=5
Числа 5, 10 делятся на 5
00N=5
Числа 5, 10 делятся на 5
Свойство №12.
Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки чёрного цвета, а чётные- белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники.
-1562104315460
Свойство 13.
Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А.
628657763510
РАЗДЕЛ ІІ
Исследование теории вероятности и последовательности чисел Фибоначчи. Биномиальные коэффициенты. Примеры решения задач с использованием свойств арифметического треугольника.
2.1. Связь треугольника Паскаля с теорией вероятности
Способ образования треугольника Паскаля можно было бы, конечно, задать и не прибегая к понятиям «закон Паскаля» или «строка Паскаля»: треугольник Паскаля – это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел. В такой форме треугольник Паскаля появился в сочинении Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 г. уже после смерти автора. Более точно, в указанном сочинении была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же, что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду:
1771655115560
Блез Паскаль ввел свой треугольник, как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вот исходный треугольник Паскаля:
-3810-485140
Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если мы хотим выбрать k объектов из n данных, то количество возможных вариантов выбора равно k-му числу в n-й строке треугольника. Помним, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля!
Исходя из этого, решим такую задачу: «Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?» Для решения данной задачи необходимо воспользоваться четвертой строкой треугольника Паскаля. k0=1; k1=4; k2=6. Задача решена, мы видим, что существует ровно 6 способов выбрать двух человек из четырех данных.
Для закрепления данного материала решим аналогичную задачу: «Сколько существует возможных вариантов выбрать 3 конфеты из 10 предложенных конфет?» Обратимся за помощью к строке под номером 10. И так, существует 120 способов выбрать 3 конфеты из 10.
Блез Паскаль был не первым, кто выполнял такие расчеты. Они были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. Рассмотрим треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:
-38107068185
Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, можно найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет!
Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если мы посмотрим внимательно, то увидим, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.
2.2. Закономерности в последовательности ряда чисел Фибоначчи
Итак, что же называется числами Фибоначчи? Если мы сложим числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи(выдающегося итальянского математика Леонарда из Пизы, более известного сейчас под именем Фибоначчи), написавшего свою знаменитую «Книгу об абаке». Одна из задач этой книги – задача о размножении кроликов- приводила к последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…., в которой каждый член, начиная с третьего , представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи; члены ряда Фибоначчи называются числами Фибоначчи.
Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не то иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Действительно, для n=1 и n=2 совпадение усматривается непосредственно, для дальнейших значений n совпадение обеспечивается тем, что суммы, вычисленные для любых двух последовательных диагоналей, будучи сложены друг с другом, дают сумму, вычисленную для диагонали, непосредственно следующей за этими двумя.
128905-447675
До 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.
Давайте обозначим через Pn произведение чисел в n-й строке треугольника. Так, , и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для n=1, 2, 3… он нашел числа r1, r2, r3 , получающиеся по следующей формуле:
Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.
И вот удивительная вещь: когда n становится все больше, это отношение становится все ближе к числу е, e — это бесконечная десятичная непериодическая дробь, приближенно равная 2,71828. …. Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к e с ростом n.
2.3. Биномиальные коэффициенты и их применение в различных областях математики
Однако, на мой взгляд, наиболее интересной особенностью треугольника Паскаля обладают биномиальные коэффициенты. Для того, чтобы убедиться в этом, узнаем, что же называется биномиальными коэффициентами и вычислим алгоритм для их определения. Итак, биномиальные коэффициенты – это коэффициенты в разложении бинома Ньютона по степеням x. Биномиальные коэффициенты определяются следующим образом. Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т . д. , располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим
(1+х)0=1,
(1+х)1=1+х,
(1+х)2=(1+х)(1+х)=1+2х+х2,
(1+х)3=(1+х2)(1+х)=1+3х+3х2+х3 и т. д. (1.1)
Вообще для любого целого неотрицательного числа n
(1+х)n=a0+a1x+a2x2+ … + apxp ,
где a0, a1, … , ap - некоторые целые числа. При желании было бы нетрудно убедиться, что p=n и a0= ap=1.
Таким образом, результат возведения бинома 1+х в степень n (где n – целое неотрицательное число) можно записать в виде расположенного по возрастающим степеням буквы х многочлена с числовыми коэффициентами, как показано в соотношении. (1.1) . Многочлен, стоящий в правой части этого соотношения , называется разложением бинома для показателя n.
При изучении свойств треугольника Паскаля у меня возникла гипотеза, что все внутренние члены m-й строки делятся на m ( внутренними называются все члены строки , кроме крайних- нулевого и последнего, таким образом, в нулевой и первой строках Паскаля внутренних членов нет вовсе). Для проверки возьмем 7-ю строку арифметического треугольника и убедимся, что все ее внутренние члены делятся на 7. Однако внутренние члены 6-й строки отнюдь не делятся на 6, а внутренние члены 14-й строки не делятся на 14; более того, в каждой из этих строк наибольший общий делитель всех внутренних членов равен единице. Пытаясь обнаружить разницу между числами 13 и 7, с одой стороны, и с числами 6 и 14- с другой, видим, что первые два числа простые , а вторые - составные. Из этого следует, что все внутренние члены m-й строки Паскаля делятся на m тогда и только тогда, когда m – простое число.
РАЗДЕЛ ІІІ
Методы решения задач по теме «Треугольник Паскаля»
3.1. Составление последовательности тренировочных задач по теме «Треугольник Паскаля»
В своей практической работе я подобрала ряд задач по теме «Треугольник Паскаля»
1. Сколькими способами можно решить правильно 4 уравнения из 9?
2. Выпишите разложение (2a-b)4.
3. Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В - трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?
4. Во сколько раз сумма чисел в 12-ой строке треугольника больше суммы чисел в 7-ой строке?
5. В пятнадцатой строке прочередуйте знаки “+” и ” - “. Чему равно значение полученного выражения?
6. Предположим, что некий шейх, следуя законам гостеприимства, решает отдать вам трех из семи своих жен. Сколько различных выборов вы можете сделать среди прекрасных обитательниц гарема?
Решив составленные мною задачи, я получила следующие ответы:
1. Для решения данной задачи обратимся к 9-ой строке треугольника Паскаля: k0=1; k1=9; k2=36; k3 = 84; k4=126. Таким образом, существует ровно 126 способов решения 4-х уравнений из 9-и .
2.2а-b4=16а4-32а3 b+24a2 b2 -8ab3+b43. Для решения данной задачи необходимо сложить количество партий, недостающих игрокам, а затем воспользоваться строкой таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т.е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В -сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В - 1+4=5.
4. Воспользуемся одним из свойств треугольника Паскаля: сумма чисел в строках арифметического треугольника = 2n, где n - номер строки. Таким образом, 21328=25=32. Таким образом, сумма чисел в 12-ой строке треугольника Паскаля больше суммы чисел в 7-ой строке арифметического треугольник в 32 раза.
5. Поскольку треугольник Паскаля симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину, прочередовав знаки «+» и «-», мы будем наблюдать взаимное уничтожение слагаемых.
6. Для ответа на этот волнующий вопрос необходимо лишь найти число, стоящее на пересечении диагонали 3 и строки 7: оно оказывается равным.
Примечание: если, охваченные радостным волнением, вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 7 со строкой 3, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться!
ВЫВОДЫ
Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: были определены объектная область, объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема, обоснована актуальность. В данной работе был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства. Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и находит применение в разных областях деятельности человека, например, в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов. Рассматривая тему «Треугольник Паскаля» я расширила свои знания, научилась решать задачи разными способами, выявила самые рациональные методы решения, а также укрепила свой интерес к математике. Кроме того, составление задач по данной теме и их решение способствует совершенствованию математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей. Работа по данной теме оказалась очень полезной и интересной. Я убедилась, что благодаря содержанию такого количества особых свойств, треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом. Таким образом, выдвинутая мною гипотеза доказана.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля
2. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 3.Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.
4. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003
5. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.
6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/
8. Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.