Цикличный четырехугольник, работа учащейся 9 класса, представленная на сессию МАН, занявшая первое место
Министерство образования и науки, молодежи и спорта
Автономной Республики Крым
МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ШКОЛЬНИКОВ КРЫМА "ИСКАТЕЛЬ"
Отделение: математика.
Секция: математика.
Условия цикличности четырех точек
Работу выполнила: Ригонен Анастасия
(Симферопольский район, МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2», 9 кл.) Научный руководитель: Исаева Н. Н.,
учитель высшей категории
учитель математики
МБОУ «Гвардейской школы-гимназии №2»
Симферопольский район - 2016 г.
Тезисы
Ригонен Анастасия Дмитриевна
Ученица 9-Б класса МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2»
Исаева Нина Николаевна, руководитель,
Учитель математики МБОУ «Гвардейская школа-гимназия №2»
Тема:Условия цикличности четырех точек
Цель: Выяснение практических областей применения четырех точек на окружности
Задачи: изучение информации о цикличных четырехугольниках в интернете, школьных пособиях и учебниках. Систематизация полученной информации и формулировка выводов по теме исследования.
Актуальность данного исследования связана с необходимостью обобщению теоретического материала по изучаемой теме, его практической ценностью для решения большого количества задач как базовой программы, так и повышенной сложности.
Предмет исследования: Четыре точки, лежащие на одной окружности
Мой личный вклад в работу заключается в исследовании школьной литературы и разных источников с целью обобщения и систематизации свойств цикличности, методов применения к решению задач.
Практическое значение работы: материал данной исследовательской работы можно в дальнейшем будет использовать на уроках геометрии, при подготовке к ГИА и олимпиадам.
Выводы: изучение представленного материала позволяет более детально изучить проблему, рассмотреть аналогию ее и определить место в логическом изложении школьной программы.
Содержание
ВСТУПЛЕНИЕ
РАЗДЕЛ Ι
Окружность
Окружность и круг……………………………………………………………4
Описанная окружность……………………………………………………….6
РАЗДЕЛ ΙΙ
Окружность и четырехугольники
2.1 Вписанные четырехугольники………………………………………………9
2.2 Первое условие цикличности………………………………………………..9
2.2 Второе условие цикличности……………………………………………….10
2.3 Третье условие цикличности………………………………………………..11
2.4 Четвертое условие цикличности……………………………………………11
2.5 Пятое условие цикличности………………………………………………...12
РАЗДЕЛ ΙΙΙ
Применение условий на практике
3.1 Задачи………………………………………………………………………...13
3.2 Японская теорема……………………………………………………………16
ВЫВОДЫ………………………………………………………………………..18
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………..19
ВСТУПЛЕНИЕ
Темой представленной исследовательской работы является цикличный четырехугольник.
Целью данной работы было выяснение практического применения цикличного четырехугольника в решении задач.
Объектом исследования являются свойства четырех точек, лежащих на одной окружности.
В качестве методов исследования в работе были использованы:
Систематизация теоретического материала.
Анализ и синтез изучаемого материала.
Аналитический метод исследования.
Достижение поставленной цели осуществлялось через решение некоторых задач, таких как:
Сбор теоретического материала по теме и его систематизация
Изучение возможности практического применения теоретической база
Применение условий цикличного четырехугольника в задачах по геометрии
Оформление проработанной информации в виде проекта.
Актуальность изучаемой темы обусловлена возможностью применения условия цикличности для решения задач, так как установление факта описания окружности около четырехугольника часто является ключом к решению задачи.
Глава 1
Окружность
Окружность и круг
2533655366385Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали изучать окружность и круг на плоскости очень давно.
Самая простая и одна из древнейших геометрических фигур - окружность. Философы древности придавали ей большое значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной линии - окружности.
Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям.
Круглые тела тоже в древности заинтересовали человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать их части – в виде колес, которые катились уже легче.
В Древней Греции, где все разрозненные знания привели в систему, “окружность” и “круг” получили свои названия. Там же многие свойства фигур, в том числе круга и окружности были сформулированы в виде теорем и доказаны. rightbottom
Современные определения круга и окружности следующие.
Окружность- это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Круг — это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.
Математиками были рассчитаны формулы, позволяющие определить ряд показателей круга и окружности.
Со школьных времен всем знакомы эти две формулы:
Формула площади круга
S=π∙R2И формула длины окружности
C=2πRОписанная окружность
-1371603451860Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Теорем, доказывающих данное положение несколько. Одно из доказательств представлено ниже.
Доказательство
Соединим отрезками точки A F, A и G, A H
AC=AD (как радиусы), следовательно, треугольник CAD — равнобедренный с основанием CD.
По свойству равнобедренного треугольника, высота и медиана, проведенные к основанию AC, совпадают):32537406242685AH⊥CD, CH=DHСледовательно, центр описанной окружности — точка A — лежит на прямой, перпендикулярной стороне CD и проходящей через ее середину, то есть на серединном перпендикуляре к CD.
Аналогично доказывается, что точка A лежит на серединном перпендикуляре к стороне CE.
Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то точка A — центр описанной около треугольника CED окружности. Что и требовалось доказать.
По теореме, центр окружности будет находится на пересечении серединных перпендикуляров (ортоцентр). Эта точка может находиться как и в треугольнике, так и за его пределами.
Центр описанной окружности около остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. У тупоугольного треугольника ортоцентр лежит вне его. У прямоугольного треугольника же центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Замечу, что у правильного треугольника центр описанной и вписанной окружности совпадает.
Практическая значимость представленных свойств описанной окружности велика, так как можно вывести ряд формул, позволяющих рассчитать величины сторон треугольника по величинам элементов описанной вокруг него окружности.
Например, представим вычисление радиусов описанных окружностей для различных видов треугольников:
Произвольных треугольников (Применяя формулу Герона)
R=abc4p-ap-b(p-c)Произвольных треугольников (Применяя теорему синусов)
R=12∙asinaПравильных треугольников
R=a3Равнобедренных треугольников (Применяя формулу Герона)
R=ba24pp-ap-a(p-b)Прямоугольных треугольников (применяя теорему Пифагора)
R=12∙a2+b2В целом, всякий треугольник имеет одну описанную окружность, одну вписанную и три вневписанных. Но уже не всякий четырехугольник имеет вписанную и описанную окружность.
Глава 2
Окружность и четырехугольники
Вписанные четырехугольники
3377565120396000Итак, окружность можно описать вокруг любого треугольника, но не любого четырехугольника. Для того, чтобы четырехугольник мог быть вписан в окружность, необходимо и достаточно выполнение условий.
Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника. В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.
Четырехугольник же иногда называют cyclic quadrilateral, что в переводе означает «циклический четырехугольник».
Если в сложной геометрической задаче удается установить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности, то это зачастую оказывается существенным продвижением к решению. Поэтому нужно свободно владеть свойствами и признаками расположения четырех точек на окружности.
Первое условие цикличности
Если суммы противоположных сторон равны, то четыре точки лежат на одной окружности.
Из этого следует, что окружность около ромба можно описать только тогда, когда он является квадратом, а описание окружности около стандартного, так сказать, ромба, который мы привыкли видеть, и вовсе невозможно (2 условие цикличности).
Второе условие цикличности
Если сумма противоположных углов равна 180 градусов, то четыре точки лежат на одной окружности.
Это и есть самое главное условие. Его можно легко доказать.
Доказательство
Докажем теорему методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга.
4115435450342000Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A. Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Из этого следует, что окружность можно описать около трапеции только если она равнобедренная.
У дельтоида же можно описать окружность только тогда, когда он состоит из двух одинаковых равнобедренных треугольников.
Параллелограмм имеет описанную окружность тогда, когда он прямоугольник.
Третье условие цикличности
Описать окружность можно около любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра.
Это условие следует из того, что центром описанной около четырехугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров.
Четвертое условие цикличности
Если произведение диагоналей четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, то четыре точки цикличны.
Данная теорема установлена Клавдием Птолемеем во втором веке нашей эры. Доказать, в свою очередь, ее очень легко. Я выбрала несколько доказательств, которые понравились мне. Первое доказательство будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге «Альмагест». Используется подобие треугольников.
1. Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA, или, перемножая крест на крест, MA ∙ BD = AB ∙ CD.
В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, или, перемножая крест на крест, MC ∙ BD = AD ∙ BC.
Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и
MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.
2. Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углуABD. Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Что и требовалось доказать.
Пятое условие цикличности
Называют ее второй теоремой Птолемея. Выглядит она так:
38442904366260Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:
FDCE=CF∙FE+CD∙EDCF∙CD+FE∙EDГлава 3
Применение условий на практике
Задача 1
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Описанные окружности треугольников AOB и COD пересекаются в точке M на стороне AD. Докажите, что точка O – центр вписанной окружности треугольника BMC.
Решение 1
36728403480435Из равенства вписанных углов следует, что ∠OBC = ∠DBC = ∠DAC = ∠MAO = ∠MBO , то есть BO – биссектриса угла MBC. Аналогично, CO – биссектриса угла BCM. Следовательно, O – центр вписанной окружности треугольника BMC.
Решение 2
∠AMO = ∠DCO = ∠DCA = ∠DBA = ∠OBA = ∠DMO. Отсюда следует, что все эти углы – прямые. Значит, DB и AC – высоты треугольника, образованного прямыми AB, DC и AD, ортоцентр O которого является центром вписанной окружности ортотреугольника BMC.
Задача 2
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точкахA1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.
Решение
Рассматривая вписанный пятиугольник A1NB1CD, получаем, что A1N = B1N, так как равны опирающиеся на эти дуги углы BDA и BCA. Аналогично, NC1 = ND1. righttop Кроме того, ∠NA1A = ∠ACD = ∠ABD = ∠DD1N (см. рис.). Следовательно, ND1 = NA1.
Задача 3
31013404099560Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Касательные к окружности в точках A и C и прямая, симметричная BD относительно точки O, пересекаются в одной точке. Докажите, что произведения расстояний от O до противоположных сторон четырехугольника равны.
Решение
Пусть B' и D' — точки, симметричные B и D относительно центра окружности. По условию, прямая B'D' проходит через точку P пересечения данных касательных. Из подобия треугольников PD'C и PCB' следует, что , а из подобия треугольников PD'A и PAB' следует, что . Поскольку PA = PC, то CD'· AB' = AD'· CB'.
Перпендикуляры, проведенные из точки O к прямым AB, BC, CD и DA, являются средними линиями треугольников ABB', CBB', CDD' и ADD' соответственно. Длины этих перпендикуляров равны соответственно ½AB', ½CB', ½CD' и ½AD', поэтому для них выполняется требуемое равенство.
Задача 4
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?
Решение
MN – средняя линия в треугольнике AKC, поэтому ∠BAC = ∠NMC. Кроме того, ∠BAC = ∠BDC, так как четырёхугольник ABCD – вписанный. Пусть точки M и N лежат с одной стороны от прямой BD. Тогда M лежит внутри треугольника BCD и, тем более, внутри треугольника BNrighttopD, а значит, и внутри его описанной окружности. Но тогда точки B, N, D и M не могут лежать на одной окружности. Значит, N и M лежат по разные стороны от BD, и ∠BDC = ∠BMN. Из параллельности MN и AK вытекает, что ∠BMN = ∠ABM, откуда ∠BAC = ∠BDC = ∠ABM. Отсюда получаем AM = MB, то есть в треугольнике ABC медиана BM равна половине стороны AC. Следовательно, ∠ABC = 90°, а значит, и ∠ADC = 90°.
Задача 5
33585156880860Oколо четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Точка P – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC, Q – из A на DC, R – из D на AB и T – из D на BC. Докажите, что точки P, Q, R и T лежат на одной окружности.
Решение
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Следовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.
Японская теорема
В XVII веке в Японии возникла сильная математическая школа, связанная с многовековыми традициями китайской математики и не имевшая контактов с современной математикой Запада.
Метод открытия геометрических теорем, практиковавшийся японскими геометрами, основывался на интенсивной и продолжительной концентрации на рассматриваемом чертеже. Когда одного геометра спросили, как он получил свои замечательные теоремы об эллипсах, он ответил, что не размышлял ни над чем, кроме эллипсов, в течение последних десяти лет! Интересно, что когда японские геометры получили в свои руки китайский перевод «Начал» Евклида, они были очень сильно удивлены. «Зачем, — сказали они, — доказывать такие очевидные факты, когда есть ещё столько красивых и сложных геометрических теорем?»
Рассмотрим одну из таких типичных теорем.
В геометрии японская теорема утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника.
Разбиение произвольного вписанного четырёхугольника диагоналями даёт четыре перекрывающих друг друга треугольника каждая диагональ создаёт два треугольника). Центры вписанных в эти треугольники окружностей образуют прямоугольник.
27870151489710В частности, пусть □ABCD — произвольный вписанный четырёхугольник и пусть M1, M2, M3, M4— центры вписанных в треугольники △ABD, △ABC, △BCD, △ACD окружностей. Тогда четырёхугольник, образованный центрами M1, M2, M3, M4, является прямоугольником.
Заметим, что доказательство этой теоремы легко обобщается до доказательства японской теоремы о вписанных многоугольниках. Для доказательства случая четырёхугольника просто строим параллелограмм, проходящий через вершины четырёхугольника (центры окружностей), со сторонами, параллельными диагоналям вписанного четырёхугольника. Из построения следует, что получится ромб, что следует из утверждения, что суммы радиусов вписанных окружностей, касающихся диагоналей, равны (а это следует из равенства сумм площадей пар треугольников).
ВЫВОДЫ
По результатам проделанной работе можно сделать ряд выводов:
-Окружность, как и треугольник, является одной из основных фигур геометрии, которые помогают в решении многих практических задач.
-Свойства окружности были открыты и описаны еще в древности.
-Не каждый четырехугольник можно вписать в окружность.
- Если в сложной геометрической задаче удается установить, что какие-то четыре точки лежат на одной окружности, то это зачастую оказывается существенным продвижением к решению.
- Изученные свойства описанных окружностей и свойства цикличности позволяют решать сложные геометрические задачи, то есть имеют широкий спектр методов практического использования.
Список использованной литературы:
https://ru.wikipedia.orghttp://www.resolventa.ruhttp://www.nsu.ru/classics/pythagoras/Japan_temple_geometry.pdfЭнциклопедический словарь юного математика/Сост. Э-68 А.П.Савин- М.: Педагогика, 1989.
https://www.fxyz.ru