Готовимся к ЕНТ Тригонометрические уравнения (Тренажер)

Готовимся к ЕНТ
Тригонометрические уравнения
(Тренажер)

Т.И. Харитонович, учитель математики
ГУ «Школа-лицей №20» (г. Павлодар)


Решение уравнений разложением на множители.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение запишется в виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Но сокращать левую и правую часть на 13 EMBED Equation.3 1415 не рекомендуется. Лучше разложить на множители
13 EMBED Equation.3 1415
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Первое уравнение решений не имеет, так как функция синус не может принимать значений, по модулю больше единицы. Решение второго уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользовавшись формулой 13 EMBED Equation.3 1415перепишем уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415
Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Первое множество решений целиком содержит в себе второе множество, поэтому в ответ надо записывать только его.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415




Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Применим к обоим частям уравнения формулу 13 EMBED Equation.3 1415 Получим
13 EMBED Equation.3 1415
Воспользовавшись формулой 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415приходим к уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством 13 EMBED Equation.3 1415, получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Сделав замену 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
приходим к квадратному уравнению относительно новой переменной
13 EMBED Equation.3 1415
корни которого 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Второй корень не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
откуда находим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415









Решение однородных тригонометрических уравнений.
Уравнения вида
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 -некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Разделим правую и левую части на 13 EMBED Equation.3 1415.Получим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Уравнения вида
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Разделим правую и левую части на уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415. В результате приходим к квадратному уравнению относительно 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
решив которое, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Представим правую часть данного уравнения виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда исходное уравнение запишется в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
После очевидных преобразований приходим к уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
разобранному в предыдущем примере.













Решение линейных тригонометрических уравнений.
Линейным тригонометрическим уравнением будем называть уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- некоторые числа.
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Способ 1. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой 13 EMBED Equation.3 1415. При таком переходе следует помнить, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(в этих точках 13 EMBED Equation.3 1415 не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользовать данной подстановкой значения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.
Для сокращения письма введем новую переменную
13 EMBED Equation.3 1415.
Исходное уравнение перепишем в виде
13 EMBED Equation.3 1415
После очевидных преобразований находим
13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим теперь в исходное уравнение значения 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, и убедимся, что они являются его решениями.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED
·Equation.3 1415
Способ 2. Перепишем исходное уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 получим
13 EMBED Equation.3 1415
или по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 (синуса суммы)
13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Способ 3.Возведем исходное уравнение в квадрат. После нехитрых преобразований получаем уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
откуда находим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Введение дополнительного аргумента.

Умение преобразовывать выражения вида
13 EMBED Equation.3 1415
может потребоваться не только при решении неоднородных линейных тригонометрических уравнений, но и для построения оценок левой и правой частей уравнений, нахождения наибольших значений и т.д.
Вынесем в рассматриваемом выражении за скобки величину 13 EMBED Equation.3 1415 Получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Введем дополнительный аргумент – угол 13 EMBED Equation.3 1415, такой, что 13 EMBED Equation.3 1415
Для любых 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 такой угол существует. Итак,
13 EMBED Equation.3 1415
Введение дополнительного угла 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 такого, что13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 исходное выражение может быть приведено к иной функции 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415и перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Применим к правой части процедуру введения дополнительного аргумента. Получим
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
где, как легко видеть, 13 EMBED Equation.3 1415Преобразуя правую часть полученного уравнения с помощью формулы 13 EMBED Equation.3 1415, приходим к уравнению
13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415
Последнее уравнение легко решить, преобразовав сумму косинусов в произведение по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение расщепляется на два уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
решение13 EMBED Equation.3 1415 которых не представляет сколь-нибудь значительных трудностей.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415- многочлен, удобно решать при помощи введения новой переменной
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Введем новую переменную
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда

13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
и исходное уравнение принимает вид
13 EMBED Equation.3 1415
корни последнего уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Для определения переменной 13 EMBED Equation.3 1415 получаем 2 уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 решений не имеет.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем исходное уравнение в виде
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Введем новую переменную
13 EMBED Equation.3 1415
и запишем уравнение относительно новой переменной
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение является кубическим, поэтому попробуем угадать хотя бы один корень. Разделив затем многочлен 13 EMBED Equation.3 1415на двучлен13 EMBED Equation.3 1415 подучим квадратный трехчлен относительно переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Это позволяет нам перейти к квадратному уравнению, решить его. Остается возвратиться к исходной неизвестной 13 EMBED Equation.3 1415 и записать ответ.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.






Задачи для самостоятельного решения.
Решите уравнения
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415.
11. 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415
14. 13 EMBED Equation.3 1415
15. 13 EMBED Equation.3 1415
16. 13 EMBED Equation.3 1415
17. 13 EMBED Equation.3 1415
18. 13 EMBED Equation.3 1415
19. 13 EMBED Equation.3 1415
20. 13 EMBED Equation.3 1415
21. 13 EMBED Equation.3 1415
22. 13 EMBED Equation.3 1415
23. 13 EMBED Equation.3 1415
24. 13 EMBED Equation.3 1415















Ответы.
1. пустое множество.
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415
14. 13 EMBED Equation.3 1415
15. 13 EMBED Equation.3 1415
16. 13 EMBED Equation.3 1415
17. 13 EMBED Equation.3 1415
18. 13 EMBED Equation.3 1415
19. 13 EMBED Equation.3 1415
20. 13 EMBED Equation.3 1415
21. 13 EMBED Equation.3 1415
22. Пустое множество.
23. 13 EMBED Equation.3 1415 24. 13 EMBED Equation.3 1415










Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native