Сечения многогранников. Задачи на построение сечении многогранников.

Введение
Стереометрия (от «стереос» — «пространственный») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Стереометрия во многом дополняет планиметрию, так, например, в стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые — прямые не лежащие в одной плоскости. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых как нам известно выполняются планиметрические законы.
Подобно тому как в алгебре выделяют отдельный класс задач с параметрами, в стереометрии выделяют класс задач на построения сечений многогранников. Эти задачи являются интересными и весьма нетривиальными: они требуют, как знаний аксиом стереометрии, так и хорошего пространственного воображения.
В тоже время существуют специальные методы, овладев которыми можно строить сечения многогранников любой сложности. О них и пойдет речь в данной статье.
Необходимые определения, понятия, аксиомы
Плоскость - алгебраическая поверхность первого порядка, в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени ax + by + cz + d = 0, где a2 + b2 + c2 ≠ 0. Очевидно, для задания плоскости достаточно трех точек.
Аксиома 1: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Аксиома 2: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки, другими словами плоскости пересекаются по прямой.
Многогранником называется замкнутая поверхность, составленная из многоугольников или тело, ограниченное этой поверхностью.
Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество точек пространства, принадлежащих одновременно многограннику и плоскости.
Поверхность многогранника состоит из ребер - отрезков и граней - плоских многоугольников. Поскольку прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости по прямой, то сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки по которым секущая плоскость пересекает его грани.
Секущую плоскость можно задать различными способами. Наиболее часто её задают с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой, однако возможны и другие способы:
точкой и прямой, не проходящей через неё;
двумя пересекающимися прямыми;
двумя параллельными прямыми;
точкой и двумя скрещивающимися прямыми, которым секущая плоскость параллельна.
Возможны и другие способы задания секущей плоскости.
Простые сечения
На каждом из следующих рисунков изображено сечение многогранника плоскостью α = (MKH).

Прямые MK, MH и KH лежат в плоскости некоторой грани многогранника, а значит по этим прямым секущая плоскость пересекает соответствующую грань многогранника. Однако в общем случае прямые MK, MH и KH не обязаны лежать в плоскости какой-либо грани многогранника, и в этом случае так просто сечение построить не удастся.
Выделяют следующие способы построения сечений:
на основе аксиом стереометрии;
метод следов;
метод внутреннего проектирования;
комбинированный метод.
Рассмотрим каждый из них.
Построение сечений на основе аксиом стереометрии
Задача 1
Построить сечение треугольной пирамиды PABC плоскостью α = (MKH), где M ϵ PC, K ϵ AB, H ϵ PB.
Построение
Точки M и H лежат одновременно как в плоскости сечения, так и в плоскости боковой грани (PBC), значит по аксиоме о пересечении двух плоскостей, секущая плоскость пересекает плоскость (PBC) по прямой MH, значит отрезок MH одна сторона искомого сечения. Аналогично отрезок KH вторая сторона искомого сечения.
Поскольку точки M и K не лежат ни в одной из граней пирамиды, отрезок MK стороной сечения не является.
Прямые MH и BC лежат в плоскости боковой грани (PBC) и пересекаются в точке T1, при этом точка T1 лежит как в плоскости сечения, так и в плоскости основания пирамиды (ABC).
По аксиоме о пересечении двух плоскостей, секущая плоскость и плоскость (ABC) пересекаются по прямой T1K, которая в свою очередь пересекает ребро AC в точке Q.
Четырехугольник MHKQ – искомое сечение.
Задача 2
Построить сечение четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью α = (MKH), где M ϵ PD, K ϵ PC, H ϵ PA.
Построение
Точки M и K лежат одновременно как в плоскости сечения, так и в плоскости боковой грани (PCD), значит по аксиоме о пересечение двух плоскостей секущая плоскость пересекает плоскость боковой грани (PCD) по прямой MK, значит отрезок MK - одна сторона искомого сечения. Аналогично отрезок MH - вторая сторона искомого сечения.
Прямые MK и CD лежат в плоскости боковой грани (PCD) и пересекаются в точке T1. Прямые MH и AD лежат в плоскости (PAD) и пересекаются в точке T2.
Точки T1 и T2 принадлежат как плоскости сечения, так и плоскости основания пирамиды, значит по аксиоме о пересечении двух плоскостей, секущая плоскость пересекает плоскость (ABC) по прямой T1T2. В свою очередь прямая T1T2 пересекает стороны AB и BC в точка Q и R соответственно.
Пятиугольник MKRQH – искомое сечение.
В общем случае точки, задающие секущую плоскость не обязаны лежать на ребрах многогранника. Рассмотрим пример в котором одна из точек лежит в плоскости боковой грани.
Задача 3
Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (MKH), где M ϵ PA, K ϵ PD, H лежит в плоскости грани PBC.
Построение
Прямые AD и MK лежат в одной плоскости (PAD) и пересекаются в точке T1.
Проведем прямую PH, она пересекает сторону основания пирамиды BC в точке H1 – проекция точки H на плоскость основания.
Прямые HK и H1D - лежат в плоскости (PH1D) и пересекаются в точке T2.
Точки T1 и T2 принадлежат как плоскости сечения, так и плоскости основания пирамиды, значит по аксиоме о пересечении двух плоскостей, секущая плоскость пересекает плоскость (ABC) по прямой T1T2.
В свою очередь прямая T1T2 пересекает стороны BC и CD в точках Q и R соответственно.
Прямая DE пересекается с прямой T1T2 в точке T3. Точки T3 и K - лежат как в плоскости грани (PED), так и в плоскости сечения, значит по прямой T3K плоскость сечения пересекает плоскость грани (PED). В свою очередь прямая T3K пересекает ребро PE в точке G.
Шестиугольник MGKRQO - искомое сечение.
Задача 4
Построить сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ BB1, K ϵ CC1, H ϵ AB.
Построение

MK, BC ϵ (BB1C1), MK ϵ α, MK ∩ BC = T1
T1, H ϵ α, T1, H ϵ (ABC) => (ABC) ∩ α = T1H
T1H ∩ CD = R
Четырехугольник MKRH - искомое сечение
Задача 5
Построить сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ B1C1, K ϵ CC1, H ϵ AA1.
Построение
MK, BC ϵ (BB1C1), MK ϵ α, MK ∩ BC = T1
MK, BB1 ϵ (BB1C1), MK ∩ BB1 = T2
T2H, AB ϵ (ABB1), T2H ϵ α, T2H ∩ A1B1 = Q, T2H ∩ AB = T3
T1T3 ϵ (ABC), T1T3 ϵ (MKH) => (ABC) ∩ α = T1T3
T1T3 ∩ AD = R, T1T3 ∩ CD = G
Шестиугольник MKGRHQ - искомое сечение
Задача 6
Построить сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ A1C1, K ϵ AC, H ϵ BB1.
Построение
MK, CC1 ϵ (ACC1), MK ϵ α, MK ∩ CC1 = T1
T1H, BC, B1C1 ϵ (BCC1), T1H ϵ α, T1H ∩ BC = Q, T1H ∩ B1C1 = T2
T2M, A1B1 ϵ (A1B1C1), T2M ϵ α, T2M ∩ A1B1 = R
Пятиугольник MRHQK - искомое сечение
Задача 7
Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ A1B1, K ϵ BB1, H ϵ AD.
Построение
MK, AB ϵ (ABB1), MK ϵ α, MK ∩ AB = T1
MK, AA1 ϵ (ABB1), MK ∩ AA1 = T2
T1H, BC ϵ (ABC), T1H ϵ α, T1H ∩ BC = Q
T2H, A1D1 ϵ (ADD1), T2H ϵ α, T2H ∩ A1D1 = R
Пятиугольник MKQHR - искомое сечение
При построении сечений призм можно заметить, что стороны сечения, расположенные в параллельных гранях многогранника - параллельны.
Аксиома 3: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
Задача 8
Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ BB1, K ϵ AA1, H ϵ CC1.

Построение
Очевидно отрезки MK и MH являются сторонами сечения.
Так как (ABB1) || (CDD1), то секущая плоскость пересекает плоскость грани (CDD1) по прямой HR || MK. Аналогично, секущая плоскость пересекает плоскость грани (ADD1) по прямой KQ || MH.
Пятиугольник MHRQK – искомое сечение.
С помощью метода построения сечений на основании аксиом стереометрии можно построить любое сечение, однако есть еще как минимум два способа о которых необходимо знать. Ни один из методов не является универсальным: в одних задачах проще применить один метод в других - другой. Действовать по ситуации вот лучший совет при построении сечений.
Построении сечений методом следов
В начале статьи мы сказали о том, что если у двух плоскостей есть общая точка, то существует прямая содержащая все общие точки этих плоскостей.
Новый термин: следом s плоскости α на плоскость β называется прямая, по которой плоскость α пересекает плоскость β. Ясно, что прямая s так же является следом плоскости β на плоскость α.
Из определения следа получаем в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в плоскости α, другая в плоскости β.
В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а отрезок следа, лежащий в грани многогранника, называют следом секущей плоскости на этой грани.
Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построение так называемого основного следа секущей плоскости, то есть следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника (как правило нижнего).
Для того, чтобы понять смысл данного метода для начала зададим плоскость точкой и прямой лежащей в плоскости нижнего снования.
Задача 9
Построить сечение четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью, заданной точкой M ϵ PA и следом s в плоскости нижнего основания.
Построение
AD ∩ s = T1, T1M ϵ (PAD),T1M ϵ α, T1M ∩ PD = H
CD ∩ s = T2, T2H ϵ (PCD), T2H ϵ α, T2H ∩ PC = K
BC ∩ s = T3, T3K ϵ (PBC), T3K ϵ α, T3K ∩ PB = Q
Четырехугольник MHKQ - искомое сечение
Задача 10
Построить сечение шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью, заданной точкой M ϵ DD1 и следом s в плоскости нижнего основания.
Построение
ED ∩ s = T1, T1M ϵ (EDD1), T1M ϵ α, T1M ∩ EE1 = H
EF ∩ s = T2, T2H ϵ (FEE1), T2H ϵ α, T2H ∩ FF1 = K
AF ∩ s = T3, T3K ϵ (AFF1), T3K ϵ α, T3K ∩ AA1 = Q
AB ∩ s = T4, T4Q ϵ (ABB1),T4Q ϵ α, T4Q ∩ BB1 = R
CD ∩ s = T5, T5M ϵ (CDD1), T5M ϵ α, T5M ∩ CC1 = O
Шестиугольник MHKQRO - искомое сечение

В случае если секущая плоскость задана тремя точками, для применения метода следов необходимо сначала построить основной след, а потом применять рассуждения, использованные в выше рассмотренных примерах.
Задача 11
Построить сечение шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ CC1, K ϵ AA1, H ϵ DD1.
Построение
MH, CD ϵ (CDD1), MH ϵ α, MH ∩ CD = T1
KM, AC ϵ (ACC1), KM ϵ α, KM ∩ AC = T2
T1, T2 ϵ (ABC), T1, T2 ϵ α => T1T2 - след секущей плоскости на плоскость (ABC)
ED ∩ T1T2 = T3, T3H ϵ (EDD1), T3H ϵ α, T3H ∩ EE1 = Q
AF ∩ T1T2 = T4, T4K ϵ (AFF1), T4K ϵ α, T4K ∩ FF1 = R
AB ∩ T1T2 = T5, T5K ϵ (ABB1), T5K ϵ α, T5K ∩ BB1 = O
Шестиугольник MHQRKO - искомое сечение
Задача 12
Построить сечение четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью α = (MKH), где M ϵ AB, K ϵ PD, H ϵ PO, где О - точка пересечения диагоналей AC и BD.
Построение
HK, BD ϵ (PBD), HK ϵ α, HK ∩ BD = T1
T1, M ϵ (ABC), T1, M ϵ α => T1M - след секущей плоскости на (ABC)
AD ∩ T1M = Q
CD ∩ T1M = T2, T2K ϵ (PCD), T2K ϵ α, T2K ∩ PC = R
BC ∩ T1M = T3, T3R ϵ (PBC), T3R ϵ α, T3R ∩ PB = O
Пятиугольник MQKRO - искомое сечение
Задача 13
Построить сечение четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ (AA1B1), K ϵ B1C1, R – вне призмы.
Построение
Точки М1 и К1 – проекции точек М и К на плоскость основания призмы. Прямые М1К1 и МК лежат в плоскости (KK1M1) и пересекаются в точке Т1.
Точка R1 – проекция точки R на плоскость основания. Прямые KR и K1R1 лежат в плоскости (KK1R1) и пересекаются в точке Т2.
Точки Т1 и Т2 лежат как в плоскости сечения, так и плоскости основания призмы => секущая плоскость пересекает плоскость основания по прямой Т1Т2.
AB ∩ Т1Т2 = Т3, T3M ∩ АА1 = O, T3M ∩ ВВ1 = P
CD ∩ T1T1 = T4, PC ∩ CC1 = F
T4F ∩ DD1 = S, T4F ∩ CC1 = R
Пятиугольник PKRSO – искомое сечение.

Метод внутреннего проектирования
При построении сечений методом следов большинство построений происходит вне многогранника. Наравне с этим методом есть метод позволяющий проводить все построения внутри многогранника. Этот метод называется методом внутреннего проектирования или методом диагональных сечений.
Задача 14
Построить сечение четырехугольной пирамиды PABCD плоскостью α = (MKH), где M ϵ PA, K ϵ PB, H лежит в плоскости грани (PСD).
Построение
(PAH1) ∩ (PBD) = PO
MH ∩ PO = Q, MH ϵ α
KQ ∩ PD = T, KQ ϵ α
TH ∩ PC = R
Четырехугольник MKRT – искомое сечение

Задача 15
Построить сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (MKH), где M ϵ PA, K ϵ PB, H ϵ PD.
Построение
(PAD) ∩ (PBE) = PO1
MH ∩ PO1 = Q1
KQ1 ∩ PE = T
(PAD) ∩ (PCE) = PO2
MH ∩ PO2 = Q2
TQ2 ∩ PC = R
Пятиугольник MTHRK – искомое сечение

Задача 16
Построить сечение пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α = (MKH), где M ϵ BB1, K ϵ CC1, H ϵ AA1.
Построение
(ACC1) ∩ (BEE1) = O1O2
HK ∩ O1O2 = Q1
MQ1 ∩ EE1 = R
(ACC1) ∩ (BDD1) = O3O4
HK ∩ O3O4 = Q2
MQ2 ∩ DD1 = T
Пятиугольник MKTRH – искомое сечение
Заключение
Мы рассмотрели три основных способа построения сечений многогранников: на основе аксиом стереометрии, метод следов и метод внутреннего проектирования. У каждого из них есть как сильные, так и слабые стороны. Метод на основе аксиом стереометрии является в достаточной мере универсальным, но не всегда построения этим методом оказываются быстрыми. Метод следов удобно применять если многогранник обладает большим количеством граней или если секущая плоскость задана точкой и прямой. Метод внутреннего проектирования удобен если основной след секущей плоскости лежит вне многогранника.
Не стоит забывать о так называемом комбинированном методе построения сечений, название которого говорит само за себя. Суть данного метода заключается в том, что он использует все три метода вместе, то есть на одних этапах построения сечения используется, например, метод на основе аксиом стереометрии, а на других методов следов или метод внутреннего проектирования. Не стоит забывать и о полезных аксиомах, таких как Аксиома 3, которые существенно могут упростить процесс построения сечений.