Проект по математике Этот удивительный мир многогранников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГИМНАЗИЯ №9
Этот удивительный мир многогранников

Автор:
Сидорина Елена Алексеевна,
ученица 10 класса
МОАУ гимназия №9
Руководитель исследовательской работы:
Сидорина Оксана Вячеславовна
учитель информатики МОАУ гимназия №9
г. Свободный
2015
Содержание
Введение ……………………………………………………………………….3
Основная часть………………………………………………………………...5
Общая информация о многогранниках………………………………….5
Выпуклые многогранники………………………………………………….5
Платоновы тела……………………………………………………...5
Архимедовы тела……………………………………………………6
Многогранники вокруг нас………………………………………………8
Многогранники в природе………………………………………….8
Многогранники в искусстве………………………………………..9
Многогранники в архитектуре……………………………………11
Заключение…………………………………………………………………...11
Список использованной литературы……………………………………….12
Приложения…………………………………………………………………..13
Введение
Основополагающий вопрос: в чём состоит уникальность правильных многогранников как пространственных тел?
Гипотеза: правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека.
Цель исследования: познакомиться с яркими примерами применения многогранников в окружающем мире.
Задачи исследования:
1.Изучение особенностей строения правильных многогранников;2.Исследование аналогов выпуклых многогранников и выявление их роли в окружающем мире.
3. Анализ полученных исследований;
Объект исследования: многогранники.
Предмет исследования: многогранники вокруг нас.
«Правильных многогранников вызывающе мало, — написал когда-то английский писатель, математик и логик Лью́ис Кэ́рролл— но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим и объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей: Евклида, Пифагора, Платона, Гипсила, Архимеда и др.
Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма правильных многогранников.
Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.
Ни одни геометрические тела не обладают такой гармонией и красотой, как правильные многогранники, они привлекают меня совершенством своих форм и полной симметричностью.
Считается, что в основе строения правильных многогранников заложены пропорции всего, из чего состоит мир. Поэтому эти уникальные фигуры и получили название «ключи мироздания».
Актуальность моего исследования состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен. Чем же обусловлен столь бессмертный интерес?

Общая информация о многогранниках
Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Многоугольники из которых составлен многогранник называются его гранями. Стороны граней – ребрами. Концы ребер – вершинами многогранника.
Многогранник является выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.
Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше, ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).
Платоновы тела
Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Рассмотрим их более подробно.
1. Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - самый простой представитель Платоновых тел, т.е. правильных выпуклых многогранников. Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной развёрткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. (Приложение 1, рис.1)
2.Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань) - это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. (Приложение 1, рис.2)
3. Гексаэдр (куб) (от греческого hex — шесть и hedra — грань) - является самым общеизвестным и широко используемым многогранником. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых тел. (Приложение 1, рис.3)
4. Икосаэдр(от греческого ico – двадцать и hedra – грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников. Каждая из двенадцати вершин икосаэдра является вершиной пяти равносторонних треугольников, поэтому сумма углов при вершине равна 300°.(Приложение 1, рис.4)
5. Додекаэдр (от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер. Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.(Приложение 1, рис.5)
Архимедовы тела
Известно также множество тел получивших название Архимедовы тела. Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, т.е. выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых правильные многоугольники одного типа). Открытие тринадцати полуправильных многогранников приписывается Архимеду (287-212 г. до н.э.), который впервые перечислил их свойства в не дошедшей до нас работе. Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.
Первую из них составляют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае - удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для Платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр, усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр. (Приложение 2, рис.1)
Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что
грани этих многогранников, представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два типа носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр. (Приложение 2,рис.2)
Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром». (Приложение 2,рис.3)
Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усечённым кубооктаэдром» и «усечённым икосододекаэдром» соответственно. Но проще если мы будем их называть ромбоусечённым кубооктаэдром и ромбоусечённым икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применён для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. (Приложение 2,рис.4)
Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). (Приложение 2, рис.5)
Итак, все выше рассмотренные тела и называются выпуклыми однородными многогранниками.
Со времен Декарта (французский философ, математик, физик и физиолог) многие великие математики также уделяли внимание нашей теме.
Эйлер (математик, механик, физик и астроном) открыл и доказал знаменитую формулу
В-Р+Г=2
связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника (Приложение 3). Гамильтон (ирландский математик) придумал икосоэдралъную игру. Фон Штаудт дал новое доказательство формулы Эйлера. Шлефли распространил этот результат на случай п измерений.
Где же можно встретиться с правильными многогранниками?
Многогранники в природе
Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.
Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. (Приложение 4, рис.1)
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, что из всех многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Вирусы (от лат. Virus — яд), возбудители инфекционных болезней растений, животных и человека имеют форму практически усеченного икосаэдра, его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. (Приложение 4, рис.2)
Соты пчелиные — наиболее совершенные постройки насекомых. Соты пчелиные состоят из шестигранных призматических ячеек, которые заполняют пространство без просветов. Верхняя часть пчелиной ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.
В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n-угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. (Приложение 4, рис.3)
Многие природные кристаллы имеют форму многогранников, например: куб - монокристалл поваренной соли (NаСl), октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов (КАl(SО4)2 * 12 Н2О), додекаэдр - кристалл пирита (сернистого колчедана FеS). (Приложение 4, рис.4)
Многогранники в искусстве.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли и проявляют художники. Их всех поражало совершенство и гармония многогранников.
Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955 г) изобразил Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  Вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра. (Приложение 5, рис.1)
Знаменитый художник эпохи возрождения Альбрехт Дюрер (1471 — 1528) на переднем плане своей гравюры «Меланхолия» изобразил додекаэдр. В 1525 году он написал трактат, в котором представил пять правильных многогранников, поверхности которых служат хорошими моделями перспективы. (Приложение 5, рис.2)
Правильные многогранники имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
В холсте Михаила Матюшина Кристалл, написанном холодными голубыми красками с использованием сложного линейного построения, уже само название было камертоном и образного, и пластического смысла. Набегавшее друг на друга ритмы граненных геометрических форм, их пересечение, взаимопроникновение создавали игру прозрачных отражений, подобную иллюзионистическим эффектам, возникающим при взгляде на органические структуры льда, каменной соли, кварца. (Приложение 5, рис.3)
На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. (Приложение 5, рис.4)
Лесицкий Эль: аксонометрическое черчение, переводившее плоскостные проекции в объемные стереометрические формы в пространственных ракурсах, заставило нарастить толщину и глубину у квадратов, прямоугольников, трапеций и т.д., сделав из них кубы и кубики, призмы, бруски, пирамиды. (Приложение 5, рис.5)
Многогранники в архитектуре
Не обошли многогранники стороной и архитектуру. Благодаря многих фигурам, которые относятся к классу многогранников, было спроектировано множество зданий, соборов, арок и других архитектурных сооружений.
История человеческой цивилизации - это история экспериментов человека с материалами и конструкциями. Подбирая разнообразные их сочетания, он стремился с минимальными затратами добиться максимального эффекта. И ни один человек в мире не приблизился к этой цели в большей степени, чем Ричард Бакминстер Фуллер - философ, математик, инженер, историк, поэт и, помимо всего прочего, изобретатель геодезических куполов.
Геодезический купол - это не просто совокупность треугольников, соединенных особым образом. Геометрическая симметрия порождает сочетание прочности и компактности и создает эффект беспрецедентной новизны. (Приложение 6)
Применение элементов многогранников можно увидеть и в нашем городе: здание налоговой инспекции, торговый центр «Пассаж», Свято-Никольский храм, и др. (Приложение 7)
Заключение
Таким образом можно сделать вывод, что правильные многогранники не только занимательные геометрические фигуры, но и часть жизни человека.
Свое выступление мне хочется закончить словами Платона: «Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».
Список литературы и интернет-ресурсовАлександров А.Д. , Вернер А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.
Веннинджер М. Модели многогранников. – М.: Мир, 1974.
Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.
Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.
Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
«Polyhedron Origami For Beginners», Miyuki Kawamura, Tokyo, Japan, Published by Nihon CO., LTD, 2001.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.
9. http://ru.wikipedia.org
10. http://www.vseznaika.ru11. http://youtube.com12. http://origamisan.com13. http://liberte.com
3999865273685Октаэдр
00Октаэдр
264160273685Тетраэдр
00Тетраэдр
Приложение 1 (Платоновы тела)
7054858526780Рис.4
00Рис.4
4038605986780Икосаэдр
00Икосаэдр
-17843563296800026663655758180Рис.3
00Рис.3
164401533064450023152102964180Гексаэдр
00Гексаэдр
39154102659380Рис.2
00Рис.2
5403852659380Рис.1
00Рис.1
290322037863300-26733537338000
38220655284470Додекаэдр
00Додекаэдр
41046407913370Рис.5
00Рис.5
3139799571817500
Приложение 2 (Архимедовы тела)
Первая группа
4142740195580Усеченный
куб
00Усеченный
куб
151765128905Усеченный
тетраэдр
00Усеченный
тетраэдр

373380019177000-3524257747000
2037715169545Усеченный
октаэдр
00Усеченный
октаэдр

179006518859500
75565158750Усеченный
икосаэдр
00Усеченный
икосаэдр
4276090158750Усеченный
додекаэдр
00Усеченный
додекаэдр

-28575010731500
39338253619500
2238375176530Рис.1
00Рис.1

Вторая группа
377190033655Икосододекаэдр00Икосододекаэдр8572590805Кубоктаэдр00Кубоктаэдр
-2381251435100035528258636000
47339256859905Рис.5
00Рис.5

2571750146050Рис.2
00Рис.2

Третья группа
3676650152400Ромбоикосододекаэдр
00Ромбоикосододекаэдр
57150114300Ромбокубоктаэдр
00Ромбокубоктаэдр

38195258636000571501968500
257175090170Рис.3
00Рис.3

Четвертая группа
381952538100Ромбоусеченный икосододекаэдр
00Ромбоусеченный икосододекаэдр
47625104775Ромбоусеченный
кубоктаэдр
00Ромбоусеченный
кубоктаэдр

373380063500571502921000
2524125186055Рис.4
00Рис.4

3743325516260003819525271780Курносый додекаэдр
00Курносый додекаэдр
-1619255861050026765252644775Рис.5
00Рис.5
-247650271780Курносый куб
00Курносый куб
Пятая группа
Приложение 3
Кол-во
ребер Кол-во
вершин Кол-во
граней Вид
грани
Тетраэдр 6 4 4 12890531115
Куб 12 8 6 262255118745
Октаэдр 12 6 8 19558090805
Додекаэдр 30 20 12 21463091440
Икосаэдр 30 12 20 214630114300
Приложение 4
25812758255000Рис.3
00Рис.3
-38989050628550022288504272280Пчелиные соты
00Пчелиные соты
351028051669950043815003330575Рис.2
00Рис.2
3089910575945004381500433705Вирус
00Вирус
6762753406775Рис.1
00Рис.1
-38854877660500276225433705Феодария00Феодария(Многогранники в природе)
27717758059420Рис.4
00Рис.4
40481254219575Кристалл
алмаза
00Кристалл
алмаза
6191254324350Монокристалл
соли
00Монокристалл
соли
434340057149Кристалл
пирита
00Кристалл
пирита
314579063817500200025209550Алюминиевые
квасцы
00Алюминиевые
квасцы
-75247589535000
-36195017018000
3618865381000
Приложение 5
(Многогранники в искусстве)
201930086360Картина «Тайная вечеря»
00Картина «Тайная вечеря»

26670012573000
2562225136525Рис.1
00Рис.1

359092569215Картина «Кристалл»
00Картина «Кристалл»
1905069215Гравюра «Меланхолия»
00Гравюра «Меланхолия»

30384751646300-5289553363300
426720015240Рис.3
00Рис.3
48577581915Рис.2
00Рис.2

21145504781550Работы Эля Лисицкого
00Работы Эля Лисицкого
3352800535305000-32139353530500026670008402320Рис.5
00Рис.5
3638550123825Гравюра «Четыре тела»
00Гравюра «Четыре тела»
390525123825Гравюра «Звезды»
00Гравюра «Звезды»
330517594234000-857256381750028098754306570Рис.4
00Рис.4

Приложение 7
16240313980180Торговый центр «Пассаж»
00Торговый центр «Пассаж»
7064974517876003528210634103Свято-Никольский храм
00Свято-Никольский храм
-43516633954Здание налоговой инспекции
00Здание налоговой инспекции
3080385112522000-640605112204500
Приложение 6
(Многогранники в архитектуре)
20435794883598Частный дом
00Частный дом
15113044259500169862599060Монреальская биосфера
00Монреальская биосфера
203835536152900