Методическая разработка по математике на тему Приемы устных вычислений на уроках математики в основной общеобразовательной школе

Владимирская область
Петушинский район
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Глубоковская основная общеобразовательная школа»

Методическая разработка
«Приемы устных вычислений на уроках математики
в основной общеобразовательной школе»
Учитель-составитель: Горшкова Татьяна Андреевна,
учитель математики
2014 год
Приемы устных вычислений на уроках математики
в основной общеобразовательной школе.
Использование специальных приемов устных вычислений - работа творческая, основанная на хорошем видении чисел, их свойств, понимании закономерностей изменяемости результатов при изменении компонентов действий, умение находить рациональные приемы вычислений. Опыт показывает, что много ошибок ученики допускают при выполнении действий с нулем и единицей. Поэтому на этапе закрепления следует чаще включать эти случаи в устные упражнения. Тем более, что эти упражнения можно сделать интересными.
Приведу примеры.
Найти значения выражений.
759145×8˗759145×7=759145×(8-7)=759145
874453×1+997836×0=874453+0=874453
0×(854201-746599)=0
0꞉(763024+697996)=0
Совершение навыков устных вычислений зависит не только от методики организации занятий, но во многом от того, на сколько сами учащиеся проявляют интерес к этой работе. Интерес можно вызвать, показав красоту и изящество устных вычислений, для чего использовать необычные вычислительные приемы. Иногда простой иллюстрации приема достаточно, чтобы он остался в памяти учащихся и использовался в дальнейшем. Так быстро запоминается правило возведения в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5: надо число десятков умножить на следующее за ним натуральное число и к результату приписать права 25.
Например, 65²=4225
Число десятков (6) умножить на число, на единицу больше (7)
6×7 и к результату справа приписать 25.
Оригинален прием умножения двух двузначных чисел, близких к 100.
Например, 98×93
Найдем дополнения каждого числа до 100; (2 и 7)
Из 100 вычтем сумму дополнений, запишем результат 100-(2+7)=91.
Умножим дополнения (2×7) и припишем полученное произведение справа к предыдущему результату 98×93=9114
Аналогично перемножаются числа, близкие к 1000
978×992=970176
1000-(22+8)=970
Приписали справа результат умножения 22×8=176
Быстро можно умножать многозначные числа на 5,50,500 и т.д. Для этого к половине числа соответственно приписать один нуль, два нуля, три нуля и т.д. Этот прием эффективен при умножении на 5,50,500 и т.д. четных чисел.
Например, 2468×5=(1234×2)×5=12340
84×50=42×100=4200
Чтобы устно умножить число на 25, можно разделить его на 4 и умножить на 100, т.к 25=100:4
3648×25=91200
2436×25=60900
4836×25=120900
В этих приемах используется известное учащимся сочетательное свойство умножения.
При умножении на 5,50,500 и т.д. нечетных чисел можно воспользоваться предыдущим приемом, представив число в виде суммы (или разности) четного числа и единицы и затем применив распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания).
Например, 47×50=(46+1)×50=46×50+1×50=2300+50=2350
При делении чисел на 5,50,500 и т.д. все надо выполнить в обратном порядке: удвоить делимое и отбросить один, два, три и т.д. нуля соответственно.
Например, 2150꞉50=4300꞉100=43
При делении чисел на 25 также следует все выполнить в обратном порядке: делимое умножить на 4 (или 2 раза на 2) и отбросить два нуля.
Например, 225꞉25; (225×2)×2=900
Отбросим два нуля. Получим ответ: 9.
Устный прием умножения на 25 можно применить к умножению на 26 и 24.
Например, 48×26=48×(25+1)=48×25+48×1=1200+48=1248
48×24=48×(25-1)=48×25-48×1=1200-48=1152
Учитывая, что 125×8=1000, можно устно вычислить произведение вида 32×125= (32꞉8)×1000=4000
Часто приходится умножать числа, близкие к разрядной единице.
Например, на 9,99,999 и т.д. В этом случае удобно представить эти числа в виде 10-1; 100-1; 1000-1 и т.д., а потом использовать распределительное свойство умножения относительно вычитания
Например, 146×9=146×(10-1)=1460-146=1314.
637×99=637×(100-1)=63700-637=63063.
Традиционно при устном умножении числа на 15 применяется распределительное свойство умножения. Следует подчеркнуть, что при умножении четного числа на 15 удобно применять следующий прием: к данному четному числу прибавить его половину и к результату справа приписать нуль.
Например, 14×15
14+7=21
Приписываем справа к результату нуль.
Ответ: 14×15=210
При умножении на 150 можно умножить данное число на 15, а затем умножить на 10.
Прием округления
599+326=600+325=925
497+196+299=492+200+300=992
196+199+197=200×3-8=592
652-298=654-300=354
143+27+38+29=150+20+37+30=237
597꞉4=(600-4)꞉4=150-1=149
Прием, основанный на зависимости результата от изменения компонентов действий.
56-38=60-42=18
225꞉75=450꞉150=3
440꞉55=880꞉110=8
364꞉6+118꞉3=364꞉6+236꞉6=(364+236)꞉6=600꞉6=100
Приемы умножения на 11, 101, 1001.
Умножение двузначного числа на 11.
26×11=286, т.к. 26×11=26×(10+1)=260+26=286
37×11=407, т.к. 37×11=37×(10+1)=370+37=407
Прием: между цифрами первого множителя вписываем сумму этих цифр.
Умножение двузначного числа на 101.
73×101=7373, т.к. 73×101=73×(100+1)=7300+73=7373
Умножение трехзначного числа на 101.
125×101=12625
348×101=35148
Прием: увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя. Этот прием дети легко усваивают при умножении в столбик.
Умножение трехзначного числа на 1001.
629×1001=629629, т.к. 629×1001=629×(1000+1)=629000+629=629629
Желательно, чтобы учащиеся сначала пользовались приемами устных вычислений, а затем проверяли результат, выполняя вычисления письменно.
Использование формул сокращенного умножения.
59²=(60-1)²=3600-120+1=3481
На внеклассных занятиях можно показать приемы, основанные на знании некоторых свойств чисел.
Порекомендовать учащимся записать в «копилку интересных чисел» и запомнить следующие факты:
3×37=111
7×11×13=1001 (число Шехерезады)
Это поможет легко вычислять произведения вида:
3×9×37=9×111=999
7×11×13×754=1001×754=754754
Обратить внимание, что 10²+11²+12²=365 и 13²+14²=365
Предложить вычислить значение выражения (10²+11²+12²+13²+14²)꞉365=((10²+11²+12²)+(13²+14²))꞉365=(365+365)꞉365=2
Наблюдая примеры
1+3=4=2×2
1+3+5=9=3×3
1+3+5+7=16=4×4,
……….
можно сделать вывод, что сумма любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1, равна произведению числа, выражающего количество слагаемых на это же число.
Можно легко находить сумму любого количества последовательных натуральных чисел, заметив, что сумма крайних из них, равна сумме двух других, равноудаленных от начала и конца, слагаемых (Задача юного Гаусса)
4+5+6+7+8+9+10+11+12=16×3+8=56
На внеклассных занятиях для «Состязаний в устном счете» можно использовать задания вида:
Найдите простой прием вычислений и вычислите значение выражения устно или полуписьменно, записывая промежуточные результаты
1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+1/(4×5)+1/(5×6)+1/(6×7)+1/(7×8)+1/(8×9)+1/(9×10)
Решение
Перепишем данную сумму в виде:
(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+(1/9-1/10)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10=9/10
1/(10×11)+1/(11×12)+1/(12×13)+1/(13×14)+1/(14×15)+…+1/(98×99)+1/(99×100)
Решение
1/10-1/11+1/11-1/12+1/12-1/13+…-1/98+1/98-1/99+1/99-1/100=1/10-1/100=9/100
99-97+95-93+91-89+…+7-5+3-1
1000000-(1000000-(1000000-(1000000-(1000000-999999))))
Ответ:1
Все рассмотренные приемы устных вычислений имеют математическое обоснование, понятны школьникам. Они помогут учителю в организации устного счета на уроке, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, повысят интерес учащихся к устным вычислениям и будут способствовать формированию прочных вычислительных навыков.
Список использованной литературы
Я.И. Перельман «Занимательная арифметика». Триада-Литера. Москва, 1994
Г.А. Стальков «Устный счет» Учпедгиз Москва,1955
А.Я. Котов «Вечера занимательной арифметики» Просвещение Москва, 1967
Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка» Просвещение Москва, 1988