Проект: «Методика обучения решению задач на построение»

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Жизненная деятельность человека и общества состоит из каждодневного решения различных задач, отличающихся своим содержанием, значимостью, применяемыми к их решению методами. Большинство задач решается человеком в процессе целенаправленной деятельности, некоторые из задач возникают случайно и требуют принятия незапланированных решений. Решение задач является специфической особенностью интеллекта, а интеллект – это особый дар человека, поэтому «решение задач следует рассматривать, как одно из самых характерных проявлений человеческой деятельности».
Среди математических задач большую группу составляют геометрические задачи, которые имеют свои отличительные черты, обусловленные особенностями самой геометрии.
Во-первых, содержание любой геометрической задачи составляют объекты (фигуры, их элементы и совокупности, свойства и отношения их связывающие), которые, в свою очередь, является математическими моделями объектов реального физического пространства. Геометрия в отличие, например, от алгебры, связана с реальной действительностью, с восприятием пространства, его структуры, пространственных форм. Во-вторых, при решении практически любой геометрической задачи, будь то задача на вычисление, доказательство или построение, можно опереться на чертеж или выполнить модель той фигуры, о которой в ней идет речь. Именно с построения фигуры, которая в максимально возможной степени отвечает всем условиям задачи, приходиться начинать поиск ее решения. Подробный чертеж, отвечающий всем условиям и требованиям задачи, позволит выполнить измерение элементов изображенной фигуры или инструментальный поиск свойств фигуры и высказать соответствующие правдоподобные гипотезы, которые дальнейшем необходимо доказать или опровергнуть.
В-третьих, выполнение чертежа требует применения чертежных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля и других, особенно в задачах на построение.
Геометрические задачи на построение играют важную роль в евклидовой геометрии, в проективной геометрии.
Как известно, геометрическая задача на построение представляет такую задачу, в которой требуется по каким-либо данным найти некоторые геометрические элементы (точку, прямую, окружность, треугольник и т.д.), удовлетворяющие тем или иным условиям с помощью указанного набора чертежных инструментов. Зачастую таковыми являются циркуль и линейка, в отдельных случаях допустимый инструментарий может быть ограничен или же, наоборот, расширен.
При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.
Вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большой кропотливой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение – совершенно новый для учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.
Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.
К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:
Метод геометрических мест;
Метод геометрических преобразований: а) метод центральной симметрии; б) метод осевой симметрии; в) метод параллельного переноса; г) метод поворота; д) метод подобия;
Алгебраический метод.
Опишем элементарные построения используемые при решении задач на построение:
ЭП 1. Проведение прямой линии через две известные точки.
ЭП 2. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку.
ЭП 3. Определение точки пересечения двух известных прямых.
ЭП 4. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
ЭП 5. Построить треугольник по трем сторонам.
ЭП 6. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
ЭП 7. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
ЭП 8. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
ЭП 9. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка.
ЭП 10. Построить середину данного отрезка.
ЭП 11. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. При этом данная точка может лежать на данной прямой, может и не лежать на ней.ЭП 12. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.
ЭП 13. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе.
ЭП 14. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
ЭП 15. Проведение окружности с известным центром и известным радиусом.
ЭП 16. Определение точек пересечения известной прямой и известной окружности.
ЭП 17. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.
ЭП 18. Определение точек пересечения двух известных окружностей.
Под известными понимаются те элементы, которые либо даны в самом условии задачи, либо определены на предыдущих этапах решения задачи, либо выбраны произвольно.
Остановимся на произвольном выборе конструктивных элементов. Рассмотрим примеры задач, решение которых требует введения новых конструктивных элементов.
Задача 1. Дана прямая а и точка А вне ее. Из данной точки опустить перпендикуляр на данную прямую.
В данной задаче имеется лишь одна конструктивная точка (А), а для построения прямой–перпендикуляра требуется две конструктивные точки. Тем не менее, задача является разрешимой циркулем и линейкой. Для решения задачи используются произвольные точки чертежа. В данном случае таковыми являются точки, принадлежащие некоторой окружности произвольного радиуса с центром в данной точке А. Из точки А описываем окружность произвольного радиуса, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках. Они, в свою очередь, являются центрами двух других окружностей, определяющих своим пересечением пару точек, каждая из которых является конструктивной точкой для построения прямой – перпендикуляра из точка А к данной прямой а.
Задача 2. Дана окружность. Построить ее центр.
В данной задаче нет конструктивных точек, но они могут быть построены, если, например, провести две произвольные параллельные хорды (AB||CD) и найти их середины (О1 и О2), которые, в свою очередь, определяют положение диаметра окружности. Далее находиться середина диаметра – искомый центр О данной окружности (рис. 1).

Рис. 1
На произвольно выбираемые элементы вправе налагать ограничения, исходя из целесообразности задач. Например, это ограничение типа «выберем произвольную точку вне данной прямой», «опишем окружность произвольного радиуса, больше расстояния от данной точки до данной прямой» (задача 1), «проведем произвольные прямые, параллельные друг другу» (задача 2) и т.п.
В решении задач на построение рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.
Рассмотрим каждый этап этой схемы.
1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять «от руки». Иногда построение чертежа сопровождают словами: «предположим, что задача уже решена».
На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии.
Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение которой уже известно.
Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.
1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их еще нет на нем.
3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и раннее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говориться в условии рассматриваемой задачи.
4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа – наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом.
2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или раннее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.
Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.
3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.
4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:
1)  всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;
2)  можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;
3)  сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.
Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?
Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.
Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.
Для этого необходимо:
1)  Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.
Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.
2)  Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.
3)  Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).
4)  Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.
В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.