Обобщение педагогического опыта Раннее введение геометрического материала на уроках математики как средство развития интеллектуальных способностей учащихся

Раннее введение геометрического материала на уроках математики как
средство развития интеллектуальных способностей учащихся

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». (Галилео Галилей )


Специфика современной системы образования состоит в том, что она должна быть способна не столько вооружать обучающегося знаниями, сколько целенаправленно, интенсивно развивать у учащихся интеллектуальную самостоятельность и активность. Ведь современный социальный заказ – это люди умеющие мыслить, прогнозировать события и явления, готовые к продуктивному сотрудничеству и способные к созидательной деятельности. В соответствии с этим, усвоение предметных знаний должно рассматриваться скорее как средство и результат обучения и развития, чем как его главная цель.
Современному учителю необходимо обеспечить не только усвоение содержания программного материала, но, главное, создать условия для развития мыслительной деятельности учащихся. Как показывает практика работы, среди всех предметов математического цикла именно геометрия обладает самым большим развивающим потенциалом. Да и возрастание значимости геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники, искусства – заметная тенденция сегодняшнего времени. Однако следует признать, что за последние годы уровень геометрической подготовки учащихся снижается.
Диагностические работы в четвертых классах показывают, что у учащихся
вызывают затруднения задания, предполагающие изображение лучей, определение видов углов и взаимного расположения геометрических фигур, обозначение углов и лучей.
Качественный анализ ошибок свидетельствует о том, что у учащихся не достаточно сформирован навык обозначения и классификации геометрических фигур, и умение применять геометрическую лексику.
Наблюдается существенная разница между качеством знаний при выполнении работ с арифметическим содержанием и геометрическим.
Такое расхождение объясняется тем, что арифметические действия учащиеся
выполняют по определенному алгоритму, а при выполнении геометрических
заданий необходимо логическое мышление, пространственное воображение.
Кроме того, изучение геометрии в седьмом классе также вызывает
целый ряд трудностей:

·во-первых, учащимся приходится работать с совершенно новыми объектами (геометрическими фигурами), восприятие которых требует умения проводить некоторые абстракции;

·во-вторых, происходит знакомство учащихся с новой терминологией, которую нужно усвоить в очень короткий срок;
в-третьих, от учащихся требуется не только свободное владение новым для них языком, но и умение думать на этом языке, чтобы активно воспринимать материал и иметь возможность самостоятельно доказывать какие-то утверждения.

Вместе с тем, раздельное изучение планиметрии и стереометрии приводит к тому, что у учащихся к 10-му классу слабо развиты пространственное воображение и представление (особенно вызывают затруднения задачи на сечения и комбинацию геометрических тел). Обращение к исследованиям психологов показало, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Изучение же стереометрии учащимися с этого возраста только начинается. У 911-классников, как считают психологи (К.Д. Мдивани, Б.Ф. Ломов и др.), преобладают планиметрические представления, хотя в старших классах изучают объемные фигуры. Поэтому и пространственное мышление как разновидность образного мышления целесообразно развивать у учащихся средней школы уже в VVI классах. В VII-IX классах предполагается обеспечивать безболезненный переход в дальнейшем к курсу стереометрии через систему задач, в которых планиметрические объекты рассматриваются в пространстве на многогранниках и телах вращения.
Таким образом, дедуктивное построение школьной геометрии, с одной стороны, представляет собой неоценимый по важности материал для развития логического мышления учеников, а с другой – создает разрыв между психологической готовностью ребенка успешно осваивать на пропедевтическом уровне мир пространственной геометрии и теорией стереометрии, изложение которой осуществляется на основе планиметрии.
Такой разрыв, а также все выше перечисленные причины объективно диктует
необходимость раннего введения геометрического материала на уроках математики.
Ведущей педагогической идеей опыта является идея опережения.
В основу педагогического опыта положены следующие образовательные технологии:
технология личностно развивающего образования;
технология проблемного обучения.
Исходные идеи технологии проблемного обучения.
Л.М. Фридман и В.И.Маху предлагают строить образовательный процесс с учетом следующих правил:
1) каждый ученик должен иметь право и фактически участвовать в постановке частных целей учебной работы, в планировании этой работы или
принимать участие в их обсуждении, если цели и планы задаются извне;
2) каждый ученик должен участвовать в контроле, оценке и учете учебной работы учащихся и всей совместно выполненной деятельности;
3) учебная работа ученика должна быть адресована в первую очередь не учителю, а всему классному коллективу школьников;
4) ученик должен нести ответственность, отчитываться и оцениваться за свою учебную работу и поведение перед коллективом класса, членом которого (с особыми правами) должен быть и учитель. Л. С. Выготский видит учителя как организатора социальной воспитательной среды, регулятора и контролера ее взаимодействия с каждым учеником.

Технология опыта
В основе опыта представлена методическая система, предполагающая введение геометрического материала с 5 класса. Занятия геометрией помогают способному ребенку максимально ускорить темп своего интеллектуального развития, они же играют компенсирующую и реабилитирующую роль при обучении отстающих детей.
Таким образом, цель раннего введения геометрического содержания в преподавание математики заключается в том, чтобы развивать у учащихся такие качества, как пространственное воображение; логическое мышление;
практическое понимание.
Причем, целесообразно раннее, начиная с 5 класса, введение геометрического материала с элементами стереометрии. При этом подготовка пятиклассников предполагает включение трех тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элементов - логику, наглядные представления и применение знаний к реальным явлениям.
Пути достижения цели состоят в следующем:
1) сохранение, закрепление и развитие имеющихся пространственных представлений учащихся и обеспечение системы непрерывного геометрического образования;
2) развитие способности к логическим обоснованиям и рассуждениям;
3) формирование интереса к изучению геометрии, знакомство с геометрией как инструментом познания и преобразования окружающей действительности.
Указанные цели реализуются через решение следующих образовательных
задач:

·наблюдение геометрических форм в окружающих предметах и формирование на этой основе абстрактных геометрических фигур и отношений;

· решение занимательных задач;

· использование сведений из истории математики;

· усвоение геометрической терминологии и символики;

· осмысленное запоминание и воспроизведение некоторых определений и свойств геометрических фигур;

· сравнение и измерение геометрических величин;

· приобретение навыков работы с различными чертежными инструментами;

· решение специально подобранных упражнений и задач, направленных на формирование приемов мыслительной деятельности;

· специальное обучение математическому моделированию как методу решения практических задач.

В течение четырех лет были апробированы и сложились в определенную систему приемы, формы работы, направленные на достижение поставленной
цели и реализацию указанных задач. Они представлены на схеме (см. Приложение 1).
1. Сохранение, закрепление и развитие имеющихся пространственных представлений учащихся и обеспечение системы непрерывного геометрического образования.
1.1. В основу логической организации геометрического материала положено
ознакомление учеников с определениями, определяемыми и неопределяемыми понятиями. В ходе изучения геометрического материала в
VVI классах учащиеся встречают определения, в которых оформляется содержание практически всех геометрических понятий, рассматриваемых в начальной школе. Например: отрезок, луч, окружность, круг, треугольник, многоугольник, куб. Вместе с тем появляются новые понятия предусмотренные программой, такие как дуга и хорда окружности, угол, биссектриса угла. Однако, опыт работы показывает целесообразность введения в 5-6 классах следующего материала: понятий о смежных и вертикальных углах и их свойствах; классификацию треугольников по сторонам и по углам; свойство о сумме углов треугольника; понятие внешнего угла треугольника; взаимное расположение прямой и окружности;
виды четырехугольников и их свойства; симметрию; описание таких многогранников, как параллелепипед, призма, пирамида.
Введение указанного геометрического материала происходит не на специально организованных занятиях, а на уроках математики. По отношению к программному материалу сведения из геометрии могут быть непосредственно связаны с содержанием урока. В большинстве случаев введение геометрического материала осуществляется тогда, когда тема урока этого не предполагает. Привлекаемая учителем информация необходима для пропедевтики геометрии и решения перспективных образовательных задач.
Необходимо заранее определить объем сведений, сообщаемых на уроках,
использовать материалы из геометрии в определенном порядке, внося дополнения в тематическое планирование.
Таблица

Тема по программе (5-6 класс)
Новые сведения

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник
Классификация треугольников по сторонам, понятие о многоугольниках

Площади и объемы
Понятие многогранника и его элементов

Прямоугольный параллелепипед.
Куб
Понятие о призме

Окружность и круг
Взаимное расположение прямой и окружности

Угол. Прямой и развернутый угол
Классификация треугольников по углам. Понятие смежных и вертикальных углах. Свойство о сумме углов треугольника. Понятие о внешнем угле треугольника. Понятие о пирамиде.

Противоположные числа
Понятие симметрии

Перпендикулярные и параллельные прямые
Классификация четырехугольников и их свойства



Сообщение новых геометрических сведений может осуществляться в форме рассказа или беседы. Однако, наиболее ценными методическими приемами являются проблемное изложение, самостоятельная и исследовательская работы учащихся. Практически на каждом уроке используются наглядные пособия в виде таблиц, чертежей, схем. Эти пособия могут быть включены в постоянное оформление кабинета или предъявляться учащимся только при изучении соответствующего материала.

1.2. В VVI классах геометрия продолжает оставаться без доказательств в том смысле, в котором приходится иметь с ними дело в систематических курсах планиметрии и стереометрии. Но это геометрия интуитивных выводов. Основываясь на результатах графического экспериментирования, моделирования, на измерениях, а также на определениях и простейших выводах из них, учащиеся могут строить гипотетические суждения о свойствах фигур и их отношениях. Важно лишь отобрать те из них, которые являются верными, и обратить внимание ребят на тот факт, что экспериментальный путь и метод наблюдения позволяют сформулировать лишь гипотезу, истинность которой может быть доказана только с применением строгих законов логики доказательств. Изучение взаимного расположения фигур в VVI классах основано на понятиях пересечения и объединения фигур. Рассмотрение разных случаев пересечения и объединения как плоских, так и объемных фигур формирует у учащихся способность анализировать несложные чертежи, учит видеть в целом часть и объединять части в целое, подготавливает их к изучению сечений и чтению проекционных чертежей в X-XI классах. Например, рассмотрение особых случаев взаимного расположения двух углов позволяет познакомить учеников со смежными и вертикальными углами и сформулировать предположение об их свойствах.

1.3. Необходимо тренировать и развивать у учащихся умения смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей. Достигается это через решение упражнений по готовым чертежам. Такие упражнения предъявляются чаще всего в конце устного счета, иногда в середине урока. (см. Приложение 2).

1.4. Большое значение для развития образных форм мышления имеют конструирование и изобразительная деятельность. Именно здесь у детей развивается способность представить результат своих действий, как в целом, так и поэтапно. Это может быть:
во-первых, выполнение схематического рисунка к задаче от руки, где от учащегося требуется отобразить основные особенности конфигурации;
во-вторых, построение фигуры или конфигурации с помощью инструментов по известному алгоритму, подразумевающее владение чертежными инструментами и знание алгоритма построения;
в-третьих, восп
·роизведение заданного графического изображения, требующее самостоятельного создания алгоритма его построения на основе визуального анализа;
в-четвертых, построение изображения по описанию, предполагающее сначала создание зрительного образа, а затем способа его построения.
Вот пример типичного задания: скопируйте в тетрадь фигуру, изображенную на рисунке (см. Приложение 3). В этом задании клетчатая бумага используется в качестве измерительного инструмента. Учащиеся последовательно определяют, из каких геометрических фигур состоит конфигурация, каково их взаимное расположение и размеры. При этом, учащиеся должны уметь выполнять построения не только на клетчатой, но и
на нелинованной бумаге.
Какие же виды конструирования предлагаются школьникам VVI классов при изучении геометрии? Они определяются доступностью для использования на уроке и дома, а также наличием у учащихся определенных
навыков. Ученикам предлагается изготовить модели пространственных тел, необходимые в процессе изучения их свойств.
Наиболее доступный для конструирования материал - это лист бумаги.
Вырезанный из листа бумаги квадрат можно разрезать по диагонали на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника и сложить из них новый прямоугольный равнобедренный треугольник, параллелограмм можно
«перекроить» в прямоугольник и т.д. Можно еще строить геометрические фигуры путем перегибания листа бумаги. Например, построение ромба основано на свойствах его диагоналей и сторон. Учащиеся дважды перегибают лист бумаги так, чтобы образовался прямой угол, а затем загиба-
ют его. Развернув лист, они обводят линии сгиба, образующие ромб, карандашом.

1.5. Китайская игра-головоломка «Танграм» помогает подготовить учащихся к решению задач на распознавание и на построение фигур, на разбиение фигур на части и их преобразование. Ученик постоянно сравнивает построенную фигуру с заданной, сравнивает углы и соотношения отрезков, передвигает и поворачивает фигуру. Фигурки, которые нужно сложить, эмоционально привлекательны для учащихся 5-6 классов. Но, чтобы сложить фигурку, нужно проявить внимание и настойчивость, аккуратность и терпение. Большое количество таких заданий позволяет индивидуализировать эту работу, предложив каждому ученику свой набор задач (см. Приложение 4).

1.6. Понятно, что ни конструирование, ни графическая деятельность не состоятся без деятельности по измерению и вычислению количественных характеристик объектов изучения. Формирование метрических отношений должно включать:
во-первых, осознание учащимися процесса измерения как выбора некоторого определенного элемента в качестве единицы измерения, сравнения измеряемого объекта с единицей измерения и соотнесения ему некоторой меры;
во-вторых, владение единицами измерения;
в-третьих, понимание того, что равным элементам соответствуют и равные меры, а сумме элементов сумма их мер.
Опыт показывает, что наибольшую трудность для учащихся представляет измерение величины угла. В чем здесь проблема? Их несколько. Одна из них
состоит в том, что угол это новая для учащихся геометрическая фигура, сложная в силу содержащейся в ней идеи бесконечности. Кроме того, в своей повседневной жизни учащиеся не сталкиваются с угловыми величинами, а, следовательно, у них отсутствует интуитивная база для восприятия таких объектов. Измерение на протяжении четырех лет начальной школы линейных величин вырабатывает некий шаблон: измерить значит приложить линейку. В результате одни учащиеся и величину угла пытаются измерить линейкой, другие же автоматически переносят ее шкалу на транспортир, не осознавая, игнорируя шкалу транспортира. Умение измерять величины углов необходимо постоянно тренировать и развивать. Для этого использую индивидуальные карточки (см. Приложение 5).

1.7. Важнейшим видом деятельности для развития образного мышления является наблюдение. Восприятие обслуживает продуктивную деятельность, формируется вместе с ней и несет на себе печать этой деятельности. Конечно, у учащихся VVI классов уже имеется определенный уровень развития восприятия, который складывается в результате определенным образом организованной системы перцептивных действий. На этапе создания образа перцептивные действия носят моторный характер движения рук, ощупывающие предмет, движения глаз, прослеживающие контур предмета, и т.д. Такими действиями, предлагаемыми учащимся при изучении свойств геометрических объектов, являются: преобразование предметной модели, проведение ладонью по поверхности предмета, фиксирование пальцами граней, проведение пальцем по ребрам, обведение контура фигуры карандашом или пальцем, выделение цветом определенных элементов конфигурации, выделение углов дужками (см. Приложение 6).

1.8. Опираясь на исследования психологов о развитии пространственного
мышления учащимся VII- IX классов предлагаются задачи по планиметрии
на многогранниках. Такие задачи распределены по темам планиметрии
(см. Приложение 7).
Практика работы показывает, что в 7-9 классах необходимо рассмотреть такие многогранники, как параллелепипед, призма, пирамида, правильные многогранники. При знакомстве с каждым видом многогранников необходимо придерживаться некоторой схемы: описание данного вида многогранников; нахождение данного вида многогранников на рисунках, чертежах, среди окружающих предметов; изображение; развертка; некоторые свойства; сечение (см. Приложение 8). На основе этого, учащиеся этих классов не только учатся рассуждать, доказывать различные утверждения при изучении систематического курса планиметрии, но и представлять себе пространственные формы.

Параллельное изучение планиметрии и стереометрии предоставляет возможности для развития интеллектуальных способностей детей. «Выход в
пространство» во многих случаях помогает, например, искать аналогию между свойствами плоских и пространственных фигур или строить контрпримеры, когда этой аналогии нет. Работа с многогранниками позволяет применять планиметрические теоремы. Кроме того, появляется дополнительная возможность дифференцировать обучение: кому-то интереснее окажется наглядный стереометрический материал, другим – логика планиметрических рассуждений.

2. Развитие способности к логическим обоснованиям и рассуждениям.

2.1. Чтобы справиться с решением той или иной задачи ребенок должен овладеть навыками проведения анализа и выполнением мыслительных операций.
Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез. Формированию и развитию данных мыслительных операций способствует решение задач, в которых от учащихся требуется проводить правильные рассуждения, рассматривать объекты с разных сторон, указывать их различные свойства, а также формулировать различные вопросы относительно данного объекта (см. Приложение 9).

2.2. Формированию приема сравнения способствуют задания, в которых требуется сравнить объекты, указать их признаки и свойства, находить сходства и различия (см. Приложение 10).

2.3. При овладении математикой и при решении жизненных ситуаций человеку помогает аналогия. Это такая мыслительная операция, с помощью которой находится сходство между объектами в некотором отношении. Для формирования умения проводить аналогию используются задачи на нахождение словесных аналогий, аналогий между различными объектами (см. Приложение 11).

2.4. Выделение существенных признаков объектов и явлений и использование их необходимо при выполнении классификации. Учащиеся выполняют задания, предполагающие разбиение множества рассматриваемых явлений или объектов на попарно непересекающиеся подмножества (см. Приложение 12). Решение подобных задач способствует развитию умения учащихся «узнавать» знакомые объекты, переносить знания в непривычную ситуацию, видеть структуру объекта, находить альтернативные решения, то есть, работать на творческом уровне.

2.5. Большое практическое значение в развитии математической зоркости, умения мыслить последовательно, обобщать изображенные объекты по признакам или находить отличия имеют задачи на отыскание закономерностей. Решая такие задачи учащиеся учатся анализировать, сопоставлять, обобщать (см. Приложение 13).

2.6.Развитию мыслительных операций способствует: решение занимательных задач, задач-головоломок, задач на смекалку, математических головоломок, шарад. При выполнении таких заданий учащимся приходится пользоваться методом проб и ошибок. Это развивает интуицию, способность отказаться от ложного пути и искать другой способ решения, который приведет к положительному результату. Кроме того, воспитывает усидчивость, внимание, развивает различные виды памяти, пространственное и образное мышление. Одним из таких заданий является задание с палочками (см. Приложение 14).

2.7. Обучение школьников грамотным логическим рассуждениям начинается с обучения их грамотной устной и письменной речи. Для развития устной и письменной речи используются следующие приемы:
. проговаривание трудных математических понятий мысленно и хором;
. выписывание слов с ошибками;
. математические диктанты (см. Приложение 15);
. взаимоопрос по изучаемой теме;
. минуты разговора;
. комментированное решение;
. упражнения «Продолжи мысли», «Повтори».

3. Формирование интереса к изучению геометрии, знакомство с геометрией как инструментом познания и преобразования окружающей
действительности.

3.1. «учение, лишенное всякого интереса и взятое только силой принуждения убивает в ученике охоту к учению, без которого он далеко не
уйдет». К.Д. Ушинский. Исходя из того, что занимательность пробуждает в ученике любопытство, любопытство переходит в любознательность, и просыпается интерес к предмету, в 5-6 классах необходимо выполнение занимательных заданий. Это могут быть кроссворды, ребусы, шарады, головоломки, игры (см. Приложение 16).

3.2. Введение элементов истории математики помогает повысить интерес учащихся к изучению предмета и углубить понимание ими изучаемого фактического материала, расширить умственный кругозор учащихся и повысить их общую культуру. Это могут быть минуты фантазии:
. у пирамиды Хеопса в Гизе;
. сообщения учащихся;
. путешествие в прошлое с окружностью, треугольником, квадратом и т.д.
. решение старинных занимательных задач

3.3. В жизни приходится сталкиваться с множеством практических задач, решить которые помогает математика. Здесь важно умение учащихся переходить от реальной практической ситуации к математической модели задачи, решив соответствующую геометрическую задачу, снова вернуться к практической стороне исходной задачи. Целенаправленная работа в этом направлении ведется по развитию умения видеть в окружающих предметах геометрические формы (см. Приложение 17).

3.4. Для активизации познавательной деятельности используются дидактические игры. Они не только способствуют формированию интереса, но и развивают у учащихся аналитическое мышление, умение излагать мысли и свою точку зрения, ставить проблему, организовывать работу по ее
решению, позволяют осуществлять принцип педагогики сотрудничества. В практике работы используются игры: «Составление и решение кроссвордов»,«Кто быстрее», «Цепочка» и другие.


Библиографический список:

1. Знаменская, Е.В. Непрерывное изучение геометрии (II-IX классы) //
Математика в школе. - 2008. - №10
2. Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки./ Е.И. Игнатьев, – М: Наука,
1984.
3. Расторгуева Т.Г. Геометрия на каждом уроке // Приложение к газете
«Первое сентября»: «Математика». - 2007. - №27-28
4. Сучкова, Т. Развитие мыслительной деятельности учащихся //
Приложение к газете «Первое сентября»: «Математика». - 2007.
- № 45
5. Ходеева, Т. Свойства многогранников // Приложение к газете
«Первое сентября»: «Математика». - 2008. - №13
6. Ходеева,
7. Т. Изучение свойств многогранников // Приложение к газете
«Первое сентября»: «Математика». - , 2008. - №17, №18

П р и л о ж е н и е

Приложение №1 – Схема опыта
Приложение №2– Решение упражнений по готовым чертежам
Приложение №3 – Конструирование и изобразительная деятельность
Приложение №4 – Танграм
Приложение №5 – Задачи на измерение и вычисление количественных
характеристик
Приложение №6 – Наблюдения
Приложение №7 – Задачи по планиметрии на многогранниках
Приложение №8 – Изучение многогранников. Куб.
Приложение №9 – Задачи на анализ и синтез
Приложение №10 – Задачи на сравнение
Приложение №11 – Задачи на аналогию
Приложение №12 – Задачи на классификацию
Приложение №13 - Задания на отыскание закономерности
Приложение №14 –Задания с палочками
Приложение №15 – Математические диктанты для 5-6 классов
Приложение №16 – Кроссворд.
Приложение №17 – Наблюдение геометрических форм в окружающих предметах, решение практических задач
Приложение №18 – Конспект урока по математике (с элементами геометрических знаний). Тема: «Деление». 6 класс.
Конспект урока по геометрии (с элементами
стереометрических знаний). Тема: «Параллельные
прямые». 7 класс.

15