Опорные конспекты по алгебре для учащихся 9 класса

Справочные материалы
по алгебре.
9 класс.

Составитель: учитель математики
МБОУЛ №3
Съедина Л.Н.

Свойства функции .

№
Определение свойства функции
Где смотреть свойство на графике

1

2

3

4

5

6
Область определения D(y) – все значения аргумента (х).

Область значений функции Е(у) - все значения у.

Нули функции – те значения х, при которых у=0.

Промежутки знакопостоянства – те значения х, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.
Промежутки монотонности:
а) Функция возрастает, если большему значению аргумента(х) соответствует большее значение у.
б) Функция убывает, если большему значению аргумента(х) соответствует меньшее значение у.
Четность функции:
Функция четная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0).
2) противоположным х соответствуют одинаковые у.
Функция нечетная: 1) D(y) симметрична относительно (0;0) .
2) противоположным х соответствуют противоположные у .

По оси Ох от крайней левой точки графика до крайней правой.

По оси Оу от самой нижней точки графика до самой верхней.

По оси Ох – точки пересечения графика с осью.

По оси Ох.
Если у13 EMBED Equation.3 14150, то график над Ох, если у13 EMBED Equation.3 1415,то график под Ох.

а) График идет вверх.

б) График идет вниз

График четной функции симметричен относительно оси Оу.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Исследование свойств функции без построения графика.

У = 13 EMBED Equation.3 1415.

1. D(y): х13 EMBED Equation.3 14150.
2. Е(у): 13 EMBED Equation.3 1415= 2 + 13 EMBED Equation.3 1415, у13 EMBED Equation.3 1415(-13 EMBED Equation.3 1415;2)13 EMBED Equation.3 1415(2; 13 EMBED Equation.3 1415).
3. нули: у=0, 2х + 8 = 0, х = -4.

4. у>0 13 EMBED Equation.3 1415>0 2х + 8 >0 и х>0 или 2х + 8 < 0 и х< 0
х >-4 и х >0 или х<-4 и x< 0
х >0 х<-4
х13 EMBED Equation.3 1415 (-13 EMBED Equation.3 1415;-4) 13 EMBED Equation.3 1415(0; 13 EMBED Equation.3 1415).
у<0 х13 EMBED Equation.3 1415(-4;0).

х1 1 2 х1< х2 , но у1 > у2, значит, функция убывающая.
х2 2 5
у1 10 6
у2 6 3,6

6. у(х) = 13 EMBED Equation.3 1415. у(-х) =13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 у(х) 13 EMBED Equation.3 1415 -у(х).
Функция ни чётная, ни нечётная.
Алгоритм определения чётности функции.

1. Определить является ли D(y) симметричной относительно (0;0).

Да нет вывод: функция ни четная, ни нечетная.

Определить чему равно f(-x) =

f (-x) = f(x) f(-x) = - f(x) f(-x) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415f(x) 13 EMBED Equation.3 1415 - f(x)

чётная нечётная функция ни чётная, ни нечётная.

№1. у=2х-5. D(y) = R ; у(-х)=-2х – 5 = -(2х + 5) - функция ни чётная, ни нечётная.

Квадратный трёхчлен ах2 + bх + с . (а13 EMBED Equation.3 14150)

Разложение на множители:
ах2 + bх + с = а (х-х1) (х-х2), х1 и х2 – корни трёхчлена.

Способы нахождения корней трёхчлена:
ах2 + bх +с=0.
1. по формулам: D = b2 – 4ас, х1=13 EMBED Equation.3 1415 х2 = 13 EMBED Equation.3 1415.

2. по теореме Виета: а=1, х1х2= с х1+ х2= -b.
3. если а+ b+с = 0, то х1= 1, х2=13 EMBED Equation.3 1415.
4. если а+ с = b, то х1= -1, х2= - 13 EMBED Equation.3 1415.
5. метод переброски: ах2 + bх +с = 0.
у2 + bу + ас = 0
у1/2 найти по т. Виета, х1/2= 13 EMBED Equation.3 1415.
Квадратичная функция у = ах2 + bх +с .
13 EMBED Equation.3 1415
Алгоритм построения графика.

1. Указать, что графиком является парабола и определить положение её ветвей.
2. Найти координаты вершины: х0= m =13 EMBED Equation.3 1415; у0 = у ( х0).
3. Указать ось симметрии - прямая х = m.
4. Составить таблицу значений для х, расположенных правее или левее оси симметрии.
5. Построить график.

Например: у = 2х2+4х- 1.

Графиком функции является парабола,
ветви которой направлены вверх.
Вершина х0= m =13 EMBED Equation.3 1415= -1 ; у0= у( х0 ) =-3.
Прямая х = -1 – ось симметрии.

Х
0
1
2

У
-1
5
15

-

Квадратичные неравенства.
a) ах2 + bх +с<0 a>0
у
y
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· х

D>0 (a;b) D=0 нет решений D<0 решений нет

b) ах2 + bх +с>0 a>0
у
y y

///////////////// ////////////////////// //////////////////////////////////////
b x a //////////////////////////////////
x х

D>0 (-13 EMBED Equation.3 1415;a)13 EMBED Equation.3 1415 (b;+13 EMBED Equation.3 1415) D=0 (13 EMBED Equation.3 1415;a)13 EMBED Equation.3 1415(a;13 EMBED Equation.3 1415) D<0(-13 EMBED Equation.3 1415;+13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Word.Document.8 \s 1415Метод интервалов.
Этот метод применяют для решения неравенств, представляющих собой произведение или частное.
Например: х(х-2)(х+4)>0; 13 EMBED Equation.3 1415<0.
Алгоритм решения.
Задать функцию.
Найти область определения функции.
Нули функции.
Числовая прямая, на которой отмечены область определения и нули. Проверить знак функции на каждом промежутке.
Выбрать те промежутки, которые удовлетворяют условию. Если в условии знак «>», то выбрать с «+», если в условии знак «<», то выбрать с «-».
Записать ответ.
№1. х(х-2)(х+4)>0. №2. 13 EMBED Equation.3 1415<0
1. у =13 EMBED Equation.3 1415
1. y = х(х-2)(х+4). 2. D(y): х13 EMBED Equation.3 1415-8
2. D(y)=R. 3. у=0, х=0, х=3.
3. y=0 x=0, x=2 , x=-4. 4.
4 - + - + - + - +
-4 0 2 х -8 0 3 х
5. у>0, х13 EMBED Equation.3 1415 (-4;0)13 EMBED Equation.3 1415(2;13 EMBED Equation.3 1415). 5. у<0, х13 EMBED Equation.3 1415 (-13 EMBED Equation.3 1415;-8)13 EMBED Equation.3 1415(0;3).

Элементы комбинаторики.

Перестановки – расположение всех данных элементов в определённом порядке.
Например: а,в,с. Возможные варианты: авс, асв, вас, вса, сав, сва. Рn=n! = n (n-1) (n-2)..1

2. Размещения – возможные варианты из n элементов по k, взятых в определенном порядке.
Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2: ав, ва, ас, са, вс, св.
Аnk = 13 EMBED Equation.3 1415; ( k
3.Сочетания - возможные варианты из n элементов по k, порядок расположения не важен.
Например: а,в,с. Возможные варианты из 3 по 2:ав,ас,вс.
Сnk =13 EMBED Equation.3 1415 , ( k
4.Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех возможных.
Выделение квадрата двучлена.
.
ах2 + bх +с = a(х2 + m) + n.

1 . Вынести общий множитель а за скобки.

2х2 + 8х – 6 = 2(х2 +4х – 3)

2. Выделить в скобке квадрат двучлена: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2

2(х2 + 213 EMBED Equation.3 1415х13 EMBED Equation.3 14152 +4 -4 -3)=2( (х+2)2 – 7) = 2 (х+2)2 – 14.

Т.к. 2 (х+2)2 > 0, то наименьшее значение равно (-14).

№1. 4 х2 – 2х + 12 = 4(х2 -13 EMBED Equation.3 1415х + 3) = 4(х2 - 213 EMBED Equation.3 1415х13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 +13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 3) = 4( (х -13 EMBED Equation.3 1415)2 +213 EMBED Equation.3 1415) =4 (х -13 EMBED Equation.3 1415)2 + 1113 EMBED Equation.3 1415.

Наименьшее значение равно 1113 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а

а

У

х

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15