Урок по алгебре с использованием интерактивной доски на тему: Решение иррациональных уравнений (11 класс)

Урок алгебры в 11 классе с использованием интерактивной доски.
ТЕМА: «Решение иррациональных уравнений»
Где есть желание, найдется путь. Пойя Д.
Цели урока:
ОБУЧАЮЩИЕ. Продолжить отрабатывать навык решения иррациональных уравнений различными способами и применять их при решении тестовых заданий.
РАЗВИВАЮЩИЕ. Развивать логическое мышление, развивать навыки самоконтроля, уметь пользоваться интерактивной доской.
Этапы урока:
Организационный момент.
Устная работа.
Работа по вариантам.
Обобщение методов.
Закрепление.
Самостоятельная работа по классификации уравнений.
Решение этих уравнений.
Дополнительное задание- творческое.
Подведение итогов урока. Выставление оценок.
Домашнее задание.

1 этап. Здравствуйте, ребята, садитесь. Тема нашего урока: Решение иррациональных уравнений. Эпиграфом служат слова Пойя: «Где есть желание, найдется путь». Думаю, что желание необходимо в любом деле.
2 этап. Начнем. Задание: Выберите из данных уравнений иррациональные.
А) х + 13 QUOTE 1415 = 2,
Б) 13 QUOTE 1415 = 2 + х,
А, Г, Д, Ж

В) у2 – 2у13 QUOTE 1415 = 2,
Г) 13 QUOTE 1415 = 4,
Д) 13 QUOTE 1415 = -5,
Е) 13 QUOTE 1415 - 2х = х13 QUOTE 1415,
Ж) 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415

Сверили ответы (ответы закрашены, открываются ручкой), объяснили. Это была разминка.

Дайте определение иррациональных уравнений.
-Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.
Что значит решить иррациональное уравнение?
-Решить иррациональное уравнение- значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в уравнение получится верное числовое равенство, либо доказать, что таких значений переменных не существует.

3 этап. В листах самоконтроля подпишите фамилию, имя, класс, вариант. Посмотрите на критерий оценок. За дополнительный устный ответ: 0,5 б., за дополнительный письменный – 2б. Оценка зависит от количества набранных балов. Три задания.

Лист самоконтроля
Ф.И._________________________________________ кл.______________Вариант___________


№ задания
1
2
3
Доп.
Доп.
ИТОГО
ОЦЕНКА

Кол-во баллов








1 задание - по 1 б. (максимум – 4 б.)
2 задание - по 1 б. (максимум-3 б.)
3 задание - по 2; 2.5; 3б.(максимум – 6; 7.5; 9 б.)

15 баллов и выше- оценка «5»
13-14 баллов- оценка «4»
10-12 баллов- оценка «3»
Ниже 10 баллов- без оценки, доп.задание (карт.).

1 задание: Решить уравнения. Время выполнения 5-6 мин:
Вариант 1
№
Решить уравнение
Верный ответ

1
13 QUOTE 1415 = -2
А)1; В)-7; С)нет; D)-1; E)5.
С



2
(х- 4)13 QUOTE 1415 = 0
А)0; В)4; С)-4; Д)1; Е)4;1.
Д



3
13 QUOTE 1415 = х
А)-1; В)-1;-2; С)2; Д)нет; Е)3.
С



4
13 QUOTE 1415= х-1
А)7; В)8; С)9; Д)4; Е)11.
С




Вариант 2.
№
Решить уравнение
Верный ответ

1
13 QUOTE 1415=2
А)0; В)-1; С)13 QUOTE 1415; Д)нет; Е)5.
Д



2
(13 QUOTE 1415-9)13 QUOTE 1415 = 0
А)3; В)3; 2; С)3; -3; 2; Д)-3; 2; Е)3; -2.
Д



3
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
А)2; -1; В)2; С)-2; 1; Д)-1; Е)13 QUOTE 1415; 0.
В



4
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
А)4; В)2; С)1; Д)5; Е)6.
В




Вариант 3
№
Решить уравнение
Верный ответ

1
х + 3 – 13 QUOTE 1415 = 2
А)-2; В)1; С)1;2; Д)5; Е)-1;2.
В



2
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
А)1; В)4; С)5; Д)6; Е)0.
А



3
13 QUOTE 1415 = 6
А)9;6; В)-6; 5; С)-4; 2; Д)-7; 3; Е)-10; 3.
Е



4
(х-5)(х+2)13 QUOTE 1415 = 0
А)2; В)7;-2; С)5; Д)7; Е)5; -2; 7.
Д




Стоп. Сверили с ответами (ответы также открываются ручкой). Максимум 4 балла. Занесли результаты в лист самоконтроля. У кого меньше 3 б.? Разобрать ошибки.

4 этап. При решении данных уравнений вы использовали различные методы.
Назовите их. И в чем идея каждого метода?
-Возведение в степень (общий метод);
-Введение новой переменной (метод замены);
-Разложение на множители (правило расщепления).
ОТВЕТЫ:
Возведение в степень.
а) Сначала изолируют (уединяют) 1 радикал, затем обе части возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось рациональное уравнение.
б) Если 2 или более радикала, то сначала изолируют 1 из радикалов, затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, и повторяют операцию до тех пор, пока не получится рациональное уравнение.
Что важно помнить?
- При возведении в четную степень возможно появление постороннего корня, в нечетную степень – нет.
2) Введение новой переменной.
Если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины, принимают его за новую переменную и решают относительно новой переменной. Затем найти исходную величину.
3) Метод разложения на множители.
Пользуемся правилом: Произведение равно нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Мы разбирали следующие СХЕМЫ РАВНОСИЛЬНОГО ПЕРЕХОДА, при котором выполнять проверку не нужно:
13 QUOTE 1415 = g(x) 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 g(x) = 0 13 QUOTE 1415

Но все же чаще решаем иррациональные уравнения путем замены уравнения его следствием. Пожалуйста, перечислите пункты АЛГОРИТМА решения иррациональных уравнений:
1. Найти ОДЗ переменной, содержащейся под знаком корня.
2. Перейти от уравнения к его следствию.
3. Найти корни полученного уравнения.
4. Проверить, являются найденные корни, корнями исходного. (Проверяются те корни, которые входят в ОДЗ!)
Выслушали ответы. За верные ответы по 0,5 б. дополнительно.

5 этап. К доске идут 2 ученика решать уравнения средней сложности. Остальные решают самостоятельно.
1) 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415 = 2 – ученик решает у доски
2) 13 QUOTE 1415 = 2 - 13 QUOTE 1415 – ученик решает на доске
3) (х - 1)13 QUOTE 1415 = 0 - самостоятельно у доски, под шторкой верное решение.

1 уравнение. (решение под шторкой, которая открывается ручкой)
ОДЗ: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 х13
·QUOTE 1415 -1 ОТВЕТ: 15, -1

2 уравнение. (решение под шторкой)
Введем замену: 13 QUOTE 1415 = t, t13 QUOTE 1415 ОТВЕТ: 4.

3 уравнение. Решают у доски.
х-1 = 0 или 13 QUOTE 1415 = 0 ОТВЕТ: -1; 2

Проверить решения. Найти ошибки, если они есть.

6 этап. 2 задание: Итак, разобрали 3 метода, а теперь самостоятельно разбейте в 3 колонки по методам решения (на доске разбросаны уравнения). Только букву соответствующего уравнения.


1 метод 2 метод 3 метод
Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители
И) (х2 - 5х - 6)13 QUOTE 1415 = 0 3) 13 QUOTE 1415- 213 QUOTE 1415 = 1 Д) 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 12
Ж) 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 Г) 13 QUOTE 1415 = 1
Е) (х+1)13 QUOTE 1415 = х +1,3 А) 13 QUOTE 1415- 1=х
Б) х2 +11+13 QUOTE 1415 = 42
В) (х2-9)13 QUOTE 1415 = 0

Проверим. Уравнения перетягиваются ручкой по колонкам. Максимум-3б.

1 метод 2 метод 3 метод
Возведение в степень Введение переменной Разложение на множители
А) 13 QUOTE 1415 - 1 = х Б) х2 +11+13 QUOTE 1415 = 42 В) (х2-9)13 QUOTE 1415 = 0
Г) 13 QUOTE 1415 = 1 Д) 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 12 Е) (х+1)13 QUOTE 1415 = х +1
Ж) 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415 З) 13 QUOTE 1415-213 QUOTE 1415 = 1 И) (х2 - 5х - 6)13 QUOTE 1415 = 0.

7 этап. 3 задание: Решите уравнения, выбрав уровень сложности. Ответы открываются.
1 уровень- по 2б. 2 уровень- по 2,5б 3 уровень- по 3б.
А) 13 QUOTE 1415 - 1 = х, Г)13 QUOTE 1415 = 1, Ж) 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415
2 1 4
Б) 13 QUOTE 1415 +11+13 QUOTE 1415 = 42, Д)13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 12, З)13 QUOTE 1415- 213 QUOTE 1415 = 1
13 QUOTE 1415 5 76 2,5
В) (13 QUOTE 1415-9)13 QUOTE 1415 = 0, Е) (х+1)13 QUOTE 1415 = х +1, И) (13 QUOTE 1415 - 5х - 6)13 QUOTE 1415 = 0.
2; -3 13 QUOTE 1415 -2;6

8 этап. Кто справился с заданием, получит дополнительное задание (творческое):
Самостоятельно разобрать метод анализа уравнения (пристального взгляда).
МЕТОД АНАЛИЗА УРАВНЕНИЯ
1) 13 QUOTE 1415 = -1,
2) 13 QUOTE 1415,
3) 13 QUOTE 1415 = 1.
4) 13 QUOTE 1415 = 1,
5) 13 QUOTE 1415 = 3,
6) 13 QUOTE 1415 = 2,
7) 13 QUOTE 1415
8) 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 4,
9)13 QUOTE 1415 = -2,
10) 13 QUOTE 1415,
11) 13 QUOTE 1415 – 2. Затем, учащиеся разобравшие новый метод, объясняют остальным.
9 этап. Подводится итог урока.
Подсчитываются баллы. Согласно критериям, выставляются оценки в листах ответов.

10 этап. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:
1) § 8 с.61, № 124,130 (п.34 с.208 авт. Колмогоров). Разбор нового метода «Метод исследования монотонности функции», который будет рассмотрен на прикладном курсе.
2) Домашнее задание, для кто не набрал баллы на «4» и «5». Решить уравнения:
1. Возведением в степень:
1) х + 13 QUOTE 1415 = 6
2) 13 QUOTE 1415
3) 13 QUOTE 1415
2. Введением новой переменной:
4) х +13 QUOTE 1415 = 2
5) 13 QUOTE 1415 = 6
3. Разложением на множители:
6) (25-х2) 13 QUOTE 1415 = 0
7) 13 QUOTE 1415 (х2 -9) = 0.

Для самостоятельного изучения.
МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ. Использование монотонности функции, входящих в уравнение, упрощает техническую часть решения.
Свойства монотонных функций и теорема о корне:
1. Сумма возрастающих функций- функция возрастающая на их общей области определения. Сумма
убывающих функций- функция убывающая.
2. Разность возрастающей и убывающей функций- функция возрастающая на из общей области определения. Соответственно, разность убывающей и возрастающей- убывающая.
3. Теорема о корне: Пусть у = f(x)- монотонная на некотором промежутке функция. Тогда при любом значении а уравнение f(x)=а имеет на этом промежутке не более одного корня. Наглядный смысл теоремы: горизонтальная прямая у=а может пересечь график монотонной функции у=f(x) не более чем в одной точке (т.е. либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).
а) 13 QUOTE 1415 – 13 QUOTE 1415 = 2. Первый радикал при увеличении х возрастает, а второй- убывает, но он вычитается из первого, поэтому их разность возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Легко найти, что х = 1.
б) 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415=8. Левая часть- возрастающая функция. Поэтому существует не более одного решения данного уравнения. Подбором найдем этот корень х=10.
в) 13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415 = 6. Левая часть- возрастающая функция. Единственный корень х = 7.

МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ
1) 13 QUOTE 1415
2) 13 QUOTE 1415 = 3,
3) 13 QUOTE 1415
4) 13 QUOTE 1415

Спасибо за урок! Все хорошо поработали!















15