Разработка урока по математике на темуЦентральные и вписанные углы. Касательная к окружности

Урок математики по теме "Центральные и вписанные углы. Касательная к окружности"
Учитель Артемова Л.И.
Образовательные цели:
-Систематизировать изученный материал на предыдущих уроках.
-Проконтролировать степень усвоения ЗУН.
Воспитательные задачи:
Формирование мировоззрения:
показать, что источник возникновения изучаемой темы возник из практических потребностей людей.
Формирование учебных навыков:
а) внимания
б) самоконтроля и контроля
Формирования учебных навыков:
а) трудолюбия
б) самостоятельности
в) честности
Развивающие задачи:
а) развитие речи
б) развитие мыслительной деятельности, умения анализировать, обобщать, классифицировать
Тип урока: Совершенствование знаний, умений и навыков по этой теме.
К уроку:
1. Слайды 1; 2; 3; 4 для устного решения задач: рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6.
2. Индивидуальные доски для написания и проверки графического диктанта.
3. Листочки для практической работы.
4. Слайд5 для проверки практической работы: рисунок 7.
5. Слайды 6; 7 для решения задач по готовым рисункам: рисунок 9, рисунок 10.
6. "Задачи в таблицах 7 класс" стр.4,5. Таблица 11. (каждому ученику)
7. Слайд 8 для решения тренировочных задач более высокого уровня сложности: рисунок 11, рисунок 12.
8. Тест №1 по темам "Центральные и вписанные углы. Касательная к окружности".
9. Листок двойной с копировальной бумагой для написания теста.
10. Слайд 9 для проверки теста, слайд 10 критерии оценки теста.
11. Список учащихся для предварительного подведения итогов урока.
Предварительная подготовка к уроку.
1. Подготовить слайд для устного решения задач: рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3, рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6.
2. Подготовить слайд для проверки практической работы: рисунок 7.
3. Подготовить слайд с рисунком и краткой записью условия задачи: рисунок 9, рисунок 10.
4. Подготовить слайды для решения тренировочных задач более высокого уровня сложности: рисунок 11, рисунок 12, для проверки теста и критерии оценки теста.
5. На доске написать высказывание "Ум без догадки - гроша не стоит" (Народная мудрость). "Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком" К. Вейерштрасс.
Листы для написания практической работы раздаются до начала урока.
Два скреплённых листа с копировальной бумагой раздаются до урока.
I .Организационный момент.
Сегодня на уроке мы повторим теоретический материал, будем решать задачи разного уровня сложности по темам "Центральные и вписанные углы. Касательная к окружности", а затем проверим ваши знания с помощью тестов. Понятие угол и окружность появилось много веков назад. Инженеры и математики древности пользовались этими понятиями при расчётах различных архитектурных сооружений. Так же эти понятия использовались при навигации на море и на суше. В наше время понятие и свойство центральных и вписанных углов используется в науке и технике. На пример невозможно представить себе без этих понятий современную инженерную графику и машиностроение. Хочется ещё раз повторить народную мудрость "Ум без догадки - гроша не стоит", т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. К. Вейерштрасс сказал по этому поводу "Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком". Вдохновения вам на протяжении всего урока.
II. Воспроизведение и коррекция опорных знаний у учащихся. (фронтальный опрос)
Устно: Используя данные рисунка, ответьте на вопросы.
1) Как называется ∆АВС? Как называются его стороны? Найдите ∠ABC. Рис.1.
2) Найдите SM. Рис.2

Слайд 1
3) Найдите RK. Какую теорему использовали для нахождения RK? (Слайд 1)
4) Как называется ∆АВС? Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. ∠ABD=80°. Найдите∠ ABC,∠ BDA.

Слайд 2
5) MA, АK - касательные к W(0;3) ОА - ? АK - ?
Слайд 3
6) AB, АK - касательные к W(0;4); ОА=8см∠ BAK - ?
Слайд 4
2. Графический диктант (выполняется на индивидуальных досках).
А сейчас проверим, хорошо ли, вы знаете теорию. Я формулирую определение или теорему, если верно, то вы пишите символ ^, если неверно, то " ? ".
Вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, острый.
Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны от этой хорды, составляют в сумме 180°.
Вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны от этой хорды, в сумме составляют 180°.
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Проверка графического диктанта (каждый ученик показывает свой ответ, записанный на индивидуальной доске). Если есть ошибки, то их следует разобрать. Верный ответ: ?^^?^?^^.3.Практическая работа (на листах заранее розданных)

1) Начертите окружность W(0;2).
2) Постройте центральный угол АОВ меньше развёрнутого.
3) Запишите, чему равна градусная мера ∪АВ.
4) Постройте вписанный ∠АСВ.
5) Запишите, чему равен вписанный угол.
6) Постройте вписанный ∠АМВ.
7) Что можно сказать про углы АСВ и АМВ?
Запишите ответ.
∪AB= ∠АОВ ∠АСВ= 12 ∪АВ = 12∠АОВ ∠АСВ=∠АМВ
Слайд 5
(Для проверки практической работы использую кодоскоп и слайд 5 "рис.7").
III. Решение задач реконструктивного - вариативного типа.
а) Сейчас решим задачи на применение теорем о касательной и секущей (пока решают задачи собрать листы с практической работой ).
На экране слайд 6 "рис.9" с краткой записью условия задачи. Ученик объясняет решение задачи.

Дано: W(0;R)
АС, АK - секущая
AB = 3см, ВС = 5см, AD = 4см
Найти: AK.
Решение:
АС=AB+ВС=3+5=8(см). По условию АС, AK - секущие, проведённые из одной т. А к W(0;R), значит AB АС=AD AK, AK=АB•ACАD=3•84=6(см)
Ответ: AK=6см.
Слайд 6
На экране слайд 7 "рис.10" с краткой записью условия задачи. Ученик объясняет решение задачи.

Дано: W(0;R), АВ - касательная, AD - секущая; АС=2см, CD=6см
Найти: АВ.
Решение:
По условию AB - касательная, AD - секущая, проведённые из одной т. А к W(0;R), значит АВ2=АС AD; AD=АС+CD=2+6=8(см)
AB=AC•AD=2•8=16=4(см)
Ответ: AB= 4см.
Слайд 7
б) Решение тренировочных задач устно.
Задачи в таблицах 11 стр.45 7класс (У каждого ученика).
Таблицы на столах у учеников; с 8 по 12 задачу.

Две задачи на слайде.
Слайд 8
IV. Контроль знаний и умений учащихся по теме "Касательная к окружности. Вписанные и центральные углы".
Тест №1 по этой теме в двух вариантах. (У каждого ученика тест и два листа с копировальной бумагой, где они выполняют тест).
Тест взят из газеты "Математика". Приложение к газете "1 сентября".
Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание. Учащиеся отвечают на вопросы в тесте на листах с копировальной бумагой.
I Вариант II Вариант
1) Точка равноудалённая от всех точек окружности, называется её: 1) Геометрическая фигура, все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от заданной точки, называется:
2) Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её: 2) Хорда, проходящая через центр окружности, называется:
3) Все радиусы окружности: 3) Все диаметры окружности:
4) На рисунке О(r) окружность, AB касательная к ней; точка B называется:
4) На рисунке О(r) окружность. В точка касания прямой AB и окружности.
Прямая AB называется : к окружности.

5) Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется : к окружности. 5) Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется: окружности.
6) Угол между касательной к окружности и радиусом, проведённым в точку касания, равен: 6) Касательная к окружности и радиус, проведённые в точку касания,:7) На рисунке AB - диаметр окружности, C - точка, лежащая на окружности.

Треугольник ABC : (вид треугольника). 7) На рисунке AB - касательная, ОА - секущая, проходящая через центр окружности.

Треугольник ОВА : (вид треугольника).
8) На рисунке AB=2ВС, AB - диаметр окружности.

Угол САВ равен: 8) На рисунке ОС=СА, AB - касательная к окружности с центром О.

Угол ВАС равен:
9) На рисунке хорды AB и CD пересекаются в точке М.

Угол ACD равен углу: 9) Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке K.

Угол ACD равен углу:
10) На рисунке O - центр окружности. Дуга АmB равна 120°.

Угол АВС равен: 10) На рисунке O - центр окружности.

Угол СВА равен 40°. Дуга CmB равна:
11) На рисунке AK =24см, KB=9см, CK=12см. Тогда KD=:
11) На рисунке AM =15см, MB=4см, MC =3см. Тогда DM=:

12*) На рисунке AB=BC=13см, высота BD=12см.

Тогда BK=:, KC=: 12*) На рисунке AB=BC, BD - высота треугольника АВС, BK=8см, KC=5см.

Тогда BD=:, DC=:
Проверка теста с помощью слайда, предварительно собрав верхний лист. Лист, записанный под копировку, остается у ученика для проверки теста.
Слайд для проверки теста.
Ответы на тест №1
I Вариант II Вариант
1) Центром 1) Окружностью
2) Диаметром 2) Хордой
3) Равны 3) Равны
4) Точкой касания 4) Касательной
5) Касательной 5) Секущей
6) 90° 6) Перпендикулярны
7) Прямоугольный, т.к. вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. 7) Прямоугольный, т.к. ВО ⊥ AB
8) 30°, т.к. ВС= 12 ВА 8) 30°, т.к. ОВ=ОС=АС= 12ОА
9)∠ ABD, т.к. они опираются на ∪AD 9) ∠ABC, т.к. они опираются на ∪АС
10) ∠ABC=30°∪ АВМ=120°,∪САВ=180°,
∪АС=180°-120°=60°;∠ABС =12∪АС=30° 10) ∪ВМС=100°; ∪АС=40° 2=80°
∪ ВМС=180°-80°=100°
11) KD=18см. AK KB=KD KC
KD= AK•KDKC = 24•912 =18(см) 11) DM=20см. АМ МВ=DM MC
DM== AM•MBMC = 15•43=20(см)
12) BK=8см, KC=5см
Из ⊿BDC по т. Пифагора
DC=BC2-BD2=169-144=25=5(см)
DC=KC=5см как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности KB=BC-KC=13-5=8(см) 12) BD=12см, DC=5см.
Из ⊿BCD по т. Пифагора

DC=BC2-DC2=169-25=144=12(см)
DC=KC=5см как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности BC=BK+KC=8+5=13(см)
Слайд 9
V. Подведение итога урока. Критерий оценок за тест:
с 7 по 13 - "3"
с 14 по 19 - "4"
с 20 по 24 - "5"
Слайд 10
Таблица
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Балл 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 5
Учащиеся самостоятельно по слайду выполняют проверку теста. Используя оценочную таблицу, выставляют себе предварительную оценку, сообщив ее учителю. Каждый ученик за урок получит две оценки: за графический диктант и практическую работу (в конце урока), а за тест, на следующем уроке, после его проверки учителем.
VI. Домашнее задание. Повторить теоретический материал стр. 158 - 166.
Место для формулы.I Вариант II Вариант
1. Б ∠ACB = 84⁰ : 2 = 42⁰ 1. Б ∠ACB=1640:2=82⁰2. Б ᴗMK=88⁰∙2=176⁰ 2. A ᴗAC=44⁰∙2=88⁰
3. Б 2OB=OA, ∆ OBA прямоугольный, ∠B=90⁰, ∠A=30⁰3. Б OM=2OK, ∆ OKM прямоугольный, ∠K=90⁰, ∠M=30⁰4. Б ᴗAB=70⁰ ∙2=140⁰, ᴗBM=360⁰ - - ( 80⁰+140⁰)= 140⁰ 4. A ᴗMB=80⁰∙2 = 160⁰, ᴗAB=360⁰ - - ( 160⁰+120⁰)=80⁰
5. Б ∆ABC, ∠A=90⁰, AC=100-36 = 64 = 8
S=12∙8∙6 = 24 5. Б AC – диаметр, ∠B=90⁰, BC=169-144==25=5, S= 12∙5∙12=306. A MK= 20∙2 = 40, KD = 15∙2=30 6. Б AC=40∙2=80, AB=25∙2=50
7. Б 6∙9 = 3∙OD, OD = 18 7. Б 8∙16=4∙PD, PD=32
8. A AB=16∙4= 4∙2 = 8 8. A ∆ OAM прямоугольный, ∠A=90⁰, по т. Пифагора AM=202-122=8∙32=4∙64-=
=2∙8=16
9.Б ∆ABC, ∠A=90⁰, OB2=OA2+AB2,
(x+5)2=25+144, x2+10x+25=0,x1=-18, x2=89.Б OA=8+5=13, ∆ OBA прямоугольный, ∠B=90⁰, AB=132-52=144=12Таблица оценки теста
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Балл 1 1 2 2 3 3 3 3 5
I Вариант II Вариант
Б 1.Б
Б 2.А
Б 3.Б
Б 4.А
Б 5.Б
А 6.Б
Б 7.Б
А 8.А
Б 9.Б
Критерий оценок за тест:С 8 – 12 «3»С 13 – 19 «4»С 20 – 23 «5»Практич. работа ᴗAB=∠AOB , ∠ACB=12ᴗAB=12∠AOB, ∠ACB=∠AMB∠ABC=∠CBD=12∠ABD=400, ∠BDA=900-∠CBD=900-400=50⁰MA=AK=4см,
в ∆ OMA, ∠OMA=900, OM=3см-радиус, по т.Пифагора OA= =32+42=25=5Т.к. OB = 12OA, то∠BAO=300, тогда ∠BAK=300∙2=60⁰№8 AO – диаметр, ∠ABD=90⁰, ∆ABD – равнобедренный, BO – медиана, т.к. AO=OD, BO – биссектриса, ∠ABC=900:2=45⁰№9 ᴗDBC=300⁰, ᴗDAC=360⁰-300⁰=60⁰, ᴗAC=ᴗAD=60⁰ : 2=30⁰, ∠ABC=15⁰
№10 AD – диаметр, ᴗCD=60⁰, ᴗAC=180⁰-60⁰=120⁰, ∠ABC=12ᴗAC=60⁰№11 ᴗBC=60⁰, AB – диаметр, ᴗCDA=180⁰-60⁰=120⁰, ∠ABC=1200:2=60⁰№12 DC – диаметр, в ∆DEC ∠DEC=90⁰, ∠ECD=90⁰-70⁰=20⁰, ∆AOC – равнобедренный, OE=OC как радиусы одной окружности, ∠OEC=∠ECO=20⁰, ∠AEC=∠ABC=12ᴗAC=20⁰
Рис.11,12
∠E=∠A=15⁰, ∠ A=∠B=12ᴗGF=15⁰
FD – диаметр, ∠O=90⁰ , ᴗAC=90⁰=∠AOC – центральный, ∠ABC=12ᴗAC=45⁰