Урок «Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем».

Урок алгебры в 9 классе
«Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем».
Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.

Ход урока:
1. Организационная часть. (Цель занятия)
2. Актуализация знаний.
Алгебраическое определение модуля 13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415
Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.
Решите уравнения
13 QUOTE 14154 13 QUOTE 1415
Решите неравенства



Запишите к каждому чертежу соответствующее уравнение или неравенство

////////////////////////////////////
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Изучение нового материала.
Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой
А) А(-1) и В(3)
Б) Р(0,0001) и Q(132)
В) М(-2) и N(-87)
Формула расстояния между двумя точками координатной прямой с координатами х и а

· (х,а)=13 QUOTE 1415

Геометрическое истолкование выражения13 QUOTE 1415- это расстояние между двумя точками координатной прямой.

Отметить на координатной прямой точки, для которых
|х| =1 |х|
·3 |х| 2 1< |х| <4 |х|=0 |х|=-1

х
-1 1

////// ///////////// х
-3 3

///////////// /////////////////// х
-2 2

/////////////////// х
1 4

х
0




Каков смысл выражений?
Изобразите множества, задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем аналитические модели на геометрический язык.





|х-3|=10 x
-7 3 10

|х-3| 13 QUOTE 141510 ////////// //////////////////// x
-7 3 10
|х-3| 13 QUOTE 141510
///////////////////////// x
-7 3 10


Решим неравенство |х-2| <3

Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
· (х,213 QUOTE 1415. Другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние меньше 3.
Это все точки принадлежащие интервалу (-1;5)

////////////////////////////
-1 2 5
Ответ: (-1;5)
Как решить уравнение?
|х-5| +|х+1|=8
Выражение |х-5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.
Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.
Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8.
Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 613 QUOTE 14158, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка13 QUOTE 1415 и таких точек две.



x
-2 -1 5 6
Ответ: х=-2, х=6

в) Что произойдет, если вместо 8 взять число 1, 6, 100,?
Сколько будет тогда корней уравнения?
При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 113 QUOTE 14156.
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как все точки отрезка13 QUOTE 1415 удовлетворяют условию уравнения.
При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.
Вывод:
Если сумма модулей больше расстояния между двумя точками, то уравнение имеет два решения.
Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку между точками.
Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей то решений нет.

Закрепление полученных знаний

Решите неравенство: |х-5| 13 QUOTE 1415
Ответ: (3;7)
Решите неравенство: |х+3|13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415, х13 QUOTE 1415
Решите уравнение:
|х-1| +|х+2|=5
x
-3 -2 1 2
Ответ: х=2, х=-3
Изобразите на координатной плоскости решения неравенств:
|х-1| +|х+2|
·5


/////////////// ////////////////////////// x
-3 -2 1 2

| х-1| +|х+2|<5
//////////////////////////////////////////////////// x
-3 -2 1 2
Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а
|х+3| +|х-1|= а
Ответ:
а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений – отрезок 13 QUOTE 1415
б) Если, а>4, то уравнение имеет 2 корня
в) Если, а<4. то уравнение не имеет решений
5. Домашнее задание:
1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а,
2. Решить №13, №16 (а,б)
Итог занятия:
Геометрический смысл модуля
Как применит геометрический смысл модуля для решения неравенств
Как применит геометрический смысл модуля для решения уравнений









Литература:
Мордкович А.Г. Алгебра ,9 класс, в двух частях,6 издание , Москва, Мнеиозина,2004
«Метод координат», учебное пособие для учащихся
ОЛ ВЗМШ, Москва ,2002

Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 315