Программа элективного курса по теме Решение задач с параметрами

Итоговая работа
Программа элективного курса
«Решение задач с параметрами»
Пояснительная записка.
Элективный курс «Решение задач с параметрами» рассчитан на учащихся 9 класса, увлекающихся математикой, но благодаря содержанию может быть полезен и ученикам 10-11 классов при подготовке к экзаменам Программа рассчитана на 24 часа.
Данный элективный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих параметр, и в построении графиков элементарных функций, содержащих параметр, необходимы не только ученикам, желающим успешно выступить на олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче экзаменов. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, выбору профиля дальнейшего обучения.
Общая характеристика курса.
Задания с параметрами – один из труднейших разделов школьного курса математики. На заданиях с параметрами можно проверять знание основных разделов математики школьного курса, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Способы логического рассуждения, планирования и коммуникации, моделирования реального мира, реализуемые и развиваемые данным элективным курсом, являются необходимым элементом общего математического образования, что соответствует требованиям ФГОС
Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходиться обдумывать по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. При изучении данного курса учащиеся знакомятся со стандартными подходами к решению задач с параметрами и идеей отыскания контрольных точек, позволяющих судить о координальном изменении характера уравнения или неравенства при различных контрольных значениях параметра. Наряду с аналитическими методами решения заданий с параметрами мы познакомимся и с графическими методами в плоскости «переменная-значение» и в плоскости «переменная-параметр».
Потребность проведения данного курса возникла в связи с тем, что:
Эта тема недостаточно освещена в учебниках (исключение составляют сборники задач для классов с углубленным изучением математики) и в школе решению таких примеров уделяется очень мало времени.
Отсутствие системы знаний по данной теме. В базовых учебниках нет таких тем. Лишь в учебники 11 класса (авт. А.Г. Мордкович) на тему «Уравнения и неравенства с параметрами» отводиться 3 часа.
Отсутствует общая методика решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами. При решении приходиться исходить из структуры конкретного уравнения или неравенства.
Задания с параметрами, кроме значительной логической нагрузки, несут в себе и не меньшую психологическую: параметр является величиной постоянной, и в то же время он может принимать различные значения.
Задачи с параметрами систематически встречаются на ЕГЭ (ОГЭ) различных олимпиадах. И результативность выполнения таких заданий мала.
Цели курса:
- Формирование прочной и осознанной системы знаний по данной теме
- Формирование устойчивого интереса к предмету
- Выявление и развитие математических способностей, выбору профиля дальнейшего обучения.
Задачи курса:
- Научить учащихся решать линейные уравнения и неравенства с параметром
- Научить решать и исследовать квадратные уравнения и неравенства
- Рассмотреть аналитический и графический метод решения задач с параметрами
- Помочь овладеть рядом интеллектуальных умений
- Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им.
- Помочь ученику оценить свой потенциал.
Место предмета в базисном учебном плане:
Данный элективный курс реализуется за счёт часов вариативной части учебного плана, рассчитан на 24 часа.
Личностные, метапредметные, предметные результаты освоения курса.
        Программа обеспечивает достижение следующих результатов:      
личностные:
формирование ценностных ориентаций (саморегуляция, стимулирование, достижение и др.);
формирование математической компетентности;
формирование ответственного отношения к учению, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учетом познавательных интересов;
умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры,
уважать и принимать чужое мнение, если оно обосновано, доказывать свою точку зрения;
поднимать самооценку учащихся, формировать у них чувство собственного достоинства, понимание ценности своей и чужой личности;
формирование готовности и способности вести диалог с другими людьми и достигать в нем взаимопонимания (идентификация себя как полноправного субъекта общения).
метапредметные:
умение ориентироваться в своей системе знаний и понимать, что нужны дополнительные знания для решения задач;
умение выделять свойства в изучаемых объектах и дифференцировать их;
умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач;
овладение приемами контроля и самоконтроля усвоения изученного;
работа по алгоритму, с памятками, правилами – ориентирами по формированию общих приемов учебной деятельности по усвоению математических понятий;
умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в группе;
умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;
предметные:
усвоить основные приемы решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами;
проводить полное обоснование при решении и исследовании задач с параметрами;
применять приобретенных знаний и умений для решения задач.
Требования к уровню подготовки учащихся:
В результате изучения курса учащиеся должны:
усвоить основные приемы и методы решений уравнений и неравенств с параметрами;
применять аналитический метод и графический метод при решении уравнений и неравенств, содержащих параметр;
проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
анализировать правдоподобность полученных результатов.
Содержание курса.
1. Решение линейных уравнений и неравенств с параметром. (3 часа)
Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащих параметр. Решение простейших уравнений и неравенств с параметром. Геометрическая интерпретация. Исследование полученного ответа.
Цель: Дать первоначальное представление о параметре, о контрольных значениях параметра. Помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений и неравенств, в частности линейных уравнений и неравенств.
2. Уравнения с параметрами, требующие дополнительной проверки. (3 часа)
Уравнения с параметрами, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением их области определения.
Цель: Научиться решать уравнения с ограниченной областью определения и исследовать количество корней в зависимости от параметра, используя графическую иллюстрацию.
3. Квадратные уравнения с параметром. (5 часов)
Аналитический и графический способы решений квадратных уравнений с параметром. Исследование количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета при определении знака корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m, и расположение корней квадратного трехчлена относительно отрезка.
Цель: Формирование навыков решения и исследования квадратных уравнений с параметром и уравнений к ним сводящимся.
4. Квадратные неравенства с параметрами. (3 часа)
Аналитический способ решения квадратного неравенства, используя график квадратного трехчлена, анализируя знаки старшего коэффициента и дискриминанта. Неравенства с ограниченными условиями: найти параметр, при котором, если переменная х принадлежит некоторому промежутку, то выполняется неравенство, или задачи, в которых все решения неравенства принадлежат данному промежутку.
Цель: Формирование навыков решения и исследования квадратных неравенств с параметром.
5. Решение рациональных неравенств. (2 часа)
Применение метода интервалов при решении неравенств
Цель: выработать навыки решения неравенств методом интервалов.
6. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля при наличии параметра. (3часа)
Определение модуля и его график. Раскрытие модуля с использованием определения модуля, метода интервалов и построения графика.
Цель: Научиться решить задания с параметрами, содержащие модуль.
7. Графический метод решения заданий с параметрами. (3 часа)
Графический подход к решению заданий с параметрами во многих случаях является рациональным решением, иногда основанном на неожиданной идее. Показать возможность использования не только плоскости «переменная-значение», но и плоскости «переменная-параметр».
Цель: Научится использовать графики и свойства функций при решении заданий с параметрами.
8. Итоговая работа по курсу. (2 часа)
Цель: Определение уровня подготовленности учащихся по данной теме и дальнейшей возможности обучения их в профильном классе
Тематическое планирование.
№ урока Тема занятия Виды учебной деятельности Виды контроля
1 Общие сведения об уравнении и неравенстве с параметрами Слушают объяснение учителя Самоконтроль
2 Решение линейных уравнений с параметрами Индивидуальная работа с самопроверкой Самоконтроль
3 Решение линейных неравенств с параметрами. Поиск, обнаружение и исправление ошибок логического характера Самостоятельная работа №1
4 Решение уравнений с ограничениями их области определения. Выполняют несложные преобразования дробно-линейных выражений Самоконтроль
5 Исследование уравнений, требующих дополнительной проверки Пошаговый контроль правильности выполнения алгоритма решения уравнений Самоконтроль
6 Практическая работа Индивидуальная работа с самооценкой Практическая работа №1
7 Решение квадратных уравнений Решают квадратные уравнения и изображают множество решений на числовой прямой Самоконтроль
8 Исследование квадратных уравнений с использованием теоремы Виета. Используют графическое представление для выполнения задания Самоконтроль
9 Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки Используют графическое представление для выполнения задания Самоконтроль
10 Расположение корней квадратного трехчлена относительно отрезка Решают уравнения с комментированием Самоконтроль
11 Решение и исследование квадратных уравнений Индивидуальная работа с самопроверкой Самостоятельная работа №2
12 Квадратные неравенства Решают неравенства с комментариями Самоконтроль
13 Исследование квадратных неравенств с начальными условиями Пошаговый контроль правильности выполнения алгоритма решения неравенств Самоконтроль
14 Исследование квадратных неравенств с начальными условиями Индивидуальная работа с самопроверкой Самостоятельная работа №3
15 Использование метода интервалов при решении рациональных неравенств Сравнение разных приемов решения Самоконтроль
16 Использование метода интервалов при решении рациональных неравенств Индивидуальная работа с самопроверкой Самостоятельная работа №4
17 Решение уравнений, содержащих знак модуля Пошаговый контроль правильности выполнения алгоритма решения уравнений Самоконтроль
18 Решение неравенств с параметрами, содержащих модули, методом интервалов Сравнение разных приемов решения Самоконтроль
19 Графический метод решения уравнений и неравенств с модулем. Индивидуальная работа с самопроверкой Самостоятельная работа №5
20 Графический метод решения задач с параметрами Сравнение разных приемов решения Самоконтроль
21 Графический метод решения задач с параметрами Систематизация учебного материалаСамоконтроль
22 Графический метод решения задач с параметрами Систематизация учебного материала Самоконтроль
23-24 Итоговая контрольная работа Индивидуальная работа Контрольная работа
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Самостоятельная работа №1.
№1. Решите уравнения:
1). (а – 1) х = а2 – 1 2). 6(ах – 1) –а = 2(а + х) – 7
№2. Решите неравенство: а·(3х – 5) ˂ 6 + ах
Практическая работа №1.
№1. Решите уравнения:
1). 4-а22х-5 = 2 2). 2ах+2а + 1х-2а =8а2+6а-1х2-4а2№2. Исследовать уравнение, выяснить при каком значении параметра m существует единственное положительное решение.
35+m-3x=23-x+mхСамостоятельная работа №2.
№1. Решите уравнение и исследуйте знаки корней в зависимости от параметра а:
(а -1) х2 + 2 · (2а + 1) х + 4а +3 =0
№2. При каких значениях параметра а один корень уравнения
х2 – (3а + 2)х + 2а -1 =0 больше 1, а другой меньше 1?
Самостоятельная работа №3.
№1. Решить неравенство: (а – 3) х2 – 2ах + 3а – 6 ≥ 0
№2. При каких а, если выполняется неравенство х2 – а(1 +а2)х + а4 ˂ 0, то выполняется неравенство х2 + 4х +3 ˂ 0?
Самостоятельная работа №4.
№1. При каких значениях параметра а неравенство (х3 – 8) · (а – х) ≥ 0 имеет единственное решение?
№2. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства
(1 – х) · (х – а) ≥ 0 содержится пять целых чисел?
№3. При каких значениях параметра а решением неравенства
(х – а)2(х – 3)(х + 1) ≤ 0 служит сплошной промежуток?
Самостоятельная работа №5.
№1. При каких значениях параметра а уравнение
ǀx + 2ǀ –ǀx – 2ǀ = 12x + a имеет единственное решение.
а) решите аналитически
б) решите графически
№2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
ǀх +1ǀ +2ǀх + аǀ ˃ 3 – 2х выполняется для любого значения х.
Итоговая контрольная работа.
№1. Решите уравнение: 2х-1х-а + 2ха = ах-2а(а-х)№2. При каких значениях а существует единственный корень уравнения
х2 – ах + 2 = 0, удовлетворяющий условию 1 ˂ х ˂ 3?
№3. При каких значениях параметра а решением неравенства
(х – а)2(х + 4) ≥ 0 является луч?
№4. Решить уравнение: ǀǀх + 1ǀ - 2ǀ = а
№5*. Для каждого значения параметра а определите число решений системы уравнений: ǀхǀ + ǀyǀ = а
х2 + y2 = 1