Статья на тему Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения

Алгебраический метод решения текстовых задач для нахождения арифметического способа их решения
Решение текстовых задач младшими школьниками можно рассматривать как средство и как метод обучения, в ходе использования которых происходит усвоение содержания начального курса математики: математических понятий, смысла арифметических действий и их свойств, формирование вычислительных навыков и практических умений.
Учитель, руководящий процессом решения задач школьниками, должен прежде всего сам иметь решать задачи, а также владеть необходимыми знаниями и умениями учить этому других.
Умение решать задачи - основа математической подготовки учителя к обучению младших школьников решению текстовых задач.
Среди распространенных методов решения текстовых задач (алгебраический, арифметический и геометрический) наибольшее применение в начальных классах для большинства задач находит арифметический метод, включающий в себя различные способы их решения. Однако для учителя во многих случаях данный метод решения задач является более сложным, чем алгебраический. Связано это, в первую очередь, с тем, что из курса математики средней школы
практически исключен курс арифметики, который предусматривал формирование у школьников умения решать задачи арифметическим методом. Во-вторых, в вузовском курсе математики ему так же не уделяется должного внимания.
Вместе с тем необходимость в решении задач арифметическим методом диктуется запасом математических знаний младшего школьника, который не позволяет им решать большинство задач, применяя элементы алгебры.
Учитель способен, как правило, любую задачу решить алгебраически, однако далеко не каждый может решить любую задачу арифметически.
Вместе с тем указанные методы взаимосвязаны, и эту взаимосвязь учитель не только должен подмечать, но и использовать в своей работе. В данной статье на примере решения некоторых задач мы попытаемся показать связь алгебраического и арифметического методов решения задач, чтобы помочь учителю найти арифметический способ решения задачи, решив ее алгебраически.
Предварительно сделаем несколько замечаний:
1. Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметическим. Следует помнить, что решить задачу, применяя арифметический метод, можно в том случае, когда ее алгебраическая модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнении.
2. Вид линейного уравнения не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. Решение системы линейных уравнений, на наш взгляд, практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим способом.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Задача сводится к уравнению
вида ах + b = с.
Задача. В 8 часов утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 часов из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км?
Алгебраический метод приводит к уравнению: (60 + 70) х + 60 • 3 = 440 или 130х+18= 440, где х часов - время движения второго поезда до встречи. Тогда: 130 х = 440- 180= 130
х= 260, х=2 (ч).
Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130 (км/ч), время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11-8=3 (ч), расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа (60 • 3 = 180 (км), расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 - 180 = = 260 (км), время движения второго поезда до встречи (260 : 130 -2 (ч)).
В дальнейшем этапы решения каждой задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом будем параллельно записывать в таблице, которая позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в «ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, открывают арифметический способ решения. Так, в данном случае будем иметь следующую таблицу (см. таблицу 1).
Таблица 1
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х часов - время движения второго поезда до встречи. По условию задачи получаем уравнение:
(60+70)-х+60*3=440 или 130х+180=440
Преобразуем уравнение:
130х=440-180130х=260.
Найдем известное;
Х=260:130; х=2 Найдем сумму скоростей поездов: 60+70=130(км/ч).
Найдем время движения первого поезда до начала движения второго поезда: 11-8=3(ч). Найдем расстояние, пройденное первым поездом за 3 часа: 60*3=180(км)
Найдем расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи: 440-180=260(км).
Найдем время движения второго поезда: 260:130=2(ч).
Используя данные таблицы 1, получаем арифметическое решение.
= 3 (ч)- был в пути первый поезд до начала движения второго;
3 = 180 (км) - прошел первый поезд за 3 часа;
3) 440 - 180 = 260 (км) - расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;
70 = 130 (км/ч) - скорость сближения поездов;
130 = 2 (ч) - время движения второго поезда;
6)11 + 2 = 13 (ч) - в такое время поезда встретятся.
Ответ: в 13 часов.
Пример 2. Задача сводится к уравнению вида: а1х +в1 =а х+вЗадача. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 рублей. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 рублей. Сколько стоит одна книга?
Алгебраический метод приводит к уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х - стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7 х - 4 х =40-16 —> Зх=24 —> х= 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше книг купили: 7-4=3 (кн.); на сколько меньше денег останется, т.е. на сколько больше денег израсходовали: 40 - 16 = 24 (р); сколько стоит одна книга: 24 : 3 = 8 (р). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 2.
Этапы решения задачи
алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х - стоимость одной книги. По условию задачи
получаем уравнение: 4х+40=7х+16.
Преобразуем уравнение:
7х-4х=40-16 (7-4)х=24 3х=24

Найдем известное:
Х=24:3; х=8 Стоимость четырех книг и еще 40р. равна стоимости 7 книг и еще 70р.
Найдем, на сколько больше книг купили бы: 7-4=3(кн). Найдем, на сколько больше заплатили бы денег: 40-16=24(р.).
Найдем стоимость одной книги: 24:3=8(р.).
Таблица 2
Используя данные таблицы 2, получаем арифметическое решение:
1) 7-4=3(кн.) - на столько книг купили бы больше;
- 16 = 24 (р.) - на столько рублей заплатили бы больше;
3)24 : 3 = 8 (р.) - стоит одна книга.
Ответ: 8 рублей.
Пример 3. Задача сводится к уравнению вида: ах + bx + сх =d
Задача. Турист проехал 2 200 км, причем на теплоходе проехал вдвое больше, чем на автомобиле, а на поезде в 4 раза больше, чем на теплоходе. Сколько километров проехал турист отдельно на теплоходе, автомобиле и на поезде?
Используя данные таблицы 3, получаем арифметическое решение.
Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле, за одну часть:
1 • 2 = 2 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;
2) 2 • 4 = 8 (ч.) – приходится на расстояние, которое преодолел турист на поезде;
3) 1+2+8=11(ч) - приходится на весь путь
Таблица 3
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х километров –расстояние, которое турист проехал на теплоходе.
По условию задачи получаем уравнение: х+2х+2*4х=2200.
Преобразуем уравнение:
(1+2+8)х=2200 11х=2200.
Найдем известное:
Х=2200:11; х=200 Примем расстояние, которое турист проехал на автомобиле (самое меньшее), за 1 часть. Тогда расстояние, которое он проехал на теплоходе, будет соответствовать двум частям, а на поезде – 2 – 4 частям. Значит, весь путь туриста (2200 км) соответствует 1+2+8=11 (ч.).
Найдем, сколько частей составляет весь путь туриста: 1+2+8=11 (ч.).
Найдем, сколько километров приходится на одну часть: 2200:11=200 (км).
200: 11= 200 (км) - расстояние, которое преодолел турист на автомобиле;
2 = 400 (км) - расстояние, которое преодолел турист на теплоходе;
6)200 -8=1 600 (км) - расстояние, которое преодолел турист на поезде.
Ответ: 200 км, 400 км, 1 600 км.
Пример 4. Задача сводится к уравнению вида (х + а) в = сх + d.
Задача. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?
Таблица 4
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть в каждом трамвае было х мест. Тогда по условию задачи имеем уравнение: (х+5)*18=х*(18+3)-6.
Преобразуем уравнение: 21х – 18х = 90+6 или 3х = 96.
Найдем неизвестное:
Х= 96 : 3; х = 32. В каждый вагон входило на 5 человек больше, чем было в нем мест. В 18 вагонах – на 5 * 18 = 90 человек больше. В 3 дополнительных вагона вошло 90 человек и осталось еще 6 свободных мест. Следовательно, в трех вагонах 90 + 6 = 96 мест.
Найдем количество мест в одном вагоне:
96 : 3 = 32(м.)
Используя данные таблицы 4, получаем арифметическое решение:
1)5•18= 90 (чел.) - на столько человек больше, чем мест было в 18 вагонах;
90 + 6 = 96 (м.) - в трех вагонах;
96 : 3 = 32 (м.) - в одном вагоне;
32 + 5 = 37 (чел.) - было в каждом из 18 вагонов;
37 • 18 = 666 (чел.) - уехало на трамваях;
666 + 174 = 840 (чел.) - было в театре.
Ответ: 840 зрителей.
Пример 5. Задача сводится к системе уравнений вида: х+ у = а, х –у = b.
Задача. Пояс с пряжкой стоит 12 рублей, причем пояс дороже пряжки на 6 рублей.
Сколько стоит пояс, сколько стоит пряжка?
Алгебраический метод приводит к системе уравнений:
х+у=12,
х-у=6 где х: рублей - цена пояса, у рублей - цена пряжки.
Данную систему можно решить методом подстановки: выразив одно неизвестное через другое. Из первого уравнения, подставив его значение во второе уравнение, решить полученное уравнение с одним неизвестным, найти второе неизвестное. Однако в этом случае мы не сможем «нащупать» арифметический путь решения задачи.
Сложив уравнения системы, мы сразу будем иметь уравнение 2х = 18.Откуда находим стоимость пояса х = 9 (р.). Этот способ решения системы позволяет получить следующий арифметический ход рассуждений. Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс. Тогда пряжка с поясом (или 2 пояса) будут стоить 12+6= 18 (р.) (так как на самом деле пряжка на 6 рублей стоит дешевле). Следовательно, один пояс стоит 18:2=9 (р.).
Если мы вычтем почленно из первого уравнения второе, то получим уравнение 2 у =6, откуда у = 3 (р.). В этом случае, решая задачу арифметическим методом, рассуждать следует так. Предположим, что пояс стоит столько же, сколько и пряжка. Тогда пряжка и пояс (или две пряжки) будут стоить 12-6=6 (р.) (так как на самом деле пояс на 6 рублей стоит дороже).Следовательно, одна пряжка стоит 6:2=3 (р.)
Таблица 5
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х рублей – цена пояса, у рублей – цена пряжки. По условию задачи получаем систему уравнений:
Х + у = 12,
Х – у = 6.
Почленно сложив уравнения системы, получим: 2х = 12 + 6 2х = 18.
Найдем неизвестно:
х = 18 : 2; х = 9 Пояс с пряжкой стоят 12р. И пояс дороже пряжки на 6р.
Уравняем неизвестное:
Предположим, что пряжка стоит столько же, сколько и пояс, тогда два пояса стоят 12 + 6 = 18 (р.).
Найдем цену пояса:
18 : 2 = 9 (р.).

Используя данные таблицы 5, получаем арифметическое решение:
12+6= 18 (р.) - стоили бы два пояса, если бы пряжка стоила столько же, сколько и пояс;
2) 18:2=9 (р.) - стоит один пояс;
3) 12-9=3 (р.) - стоит одна пряжка.
О т в е т: 9 рублей, 3 рубля.
Пример 6. Задача сводится к системе уравнений вида:
ах + Ьу = с 1 х+у=с2
Задача. Для похода 46 школьников приготовили четырех- и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось?
Таблица 6
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х – количество четырехместных лодок, у – количество шестиместных лодок. По условию задачи имеем систему уравнений:
х + у = 10,
4х + 6у = 46.
Умножаем обе части первого уравнения на 4.
Имеем:
4х + 4у = 40.
Вычитаем ( почленно ) полученное уравнение из второго. Имеем:
(6 – 4) у = 46 – 40 или 2у = 6.
Найдем неизвестное:
У = 6 : 2; у = 3.
Всех лодок 10 и в них разместилось 46 школьников.

Уравняем неизвестные.
Предположим, что все лодки были четырехместными. Тогда м них разместилось бы 40 человек.
Найдем, на сколько больше человек вмещает шестиместная лодка, чем четырехместная: 6 – 4 = 2 (чел.). Найдем, скольким школьникам не хватит мест, если все лодки будут четырехместные: 46 – 40 = 6 (чел.).
Найдем количество шестиместных лодок: 6 : 2 = 3 (шт.).
Используя данные таблицы 6, получаем арифметическое решение:
1)4- 10 = 40 (чел.) - разместилось бы, если бы все лодки были четырехместными;
2) 6 - 4 = 2 (чел.) - на столько человек шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;
3)46 - 40 — 6 (чел.) - стольким школьникам не хватит места, если
все лодки четырехместные;
4) 6 : 2 = 3 (шт.) - было шестиместных лодок;
5) 10 - 3 = 7 (шт.) - было четырехместных лодок.
Ответ: 3 шестиместные лодки, 7 четырехместных лодок.
Пример 7. Задача сводится к системе уравнений вида: а х+Ь у=с1; а х +Ь у=с2
Задача. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей, а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44рубля. Сколько стоит блокнот?
Таблица 7
Этапы решения задачи алгебраическим методом Этапы решения задачи арифметическим методом
Пусть х рублей – цена ручки, у рублей – цена блокнота. По условию задачи получаем систему уравнений:
3 х + 4 у = 26,
7 х + 6 у = 44.
Умножим обе части первого уравнения на 7. Получим:
21 х + 28 у = 182,
21 х + 18 у = 132.
Вычтем (почленно) из первого уравнения второе.
Имеем:
(28 – 18) у = 182 – 132 или 10 у = 50.
Найдем неизвестное:
У = 50 : 10, у = 5.
3 ручки и 4 блокнота стоят 26 рублей. 7 ручек и 6 блокнотов стоят 44 рубля.
Уравняем количество ручек в двух покупках. Для этого найдем наименьшее кратное чисел 3 и 7 (21). Тогда в результате первой покупки были куплены 21 ручка и 28 блокнотов, а второй – 21 ручка и 18 блокнотов. Найдем стоимость каждой покупки в этом случае:
26 * 7 = 182 (р.), 44 * 3 = 132 (р.).
Найдем, на сколько больше блокнотов было куплено в первый раз:
28 – 18 = 10 (шт.).
Найдем, на сколько больше заплатили бы при первой покупке:
182 – 132 = 50 (р.).
Найдем, сколько стоит Блокнот:
50 : 10 = 5 (р.).
Используя данные таблицы 7, получаем арифметическое решение:
1) 26 • 7 = 182 (р.) - стоят 21ручка и 28 блокнотов;
2) 44 • 3 = 132 (р.) - стоят 21ручка и 18 блокнотов;
3) 28 - 18 = 10 (шт.) - на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;
4) 182 - 132 = 50 (р.) - стоят 10 блокнотов;
5) 50 : 10=5 (р.) - стоит блокнот.
Ответ: 5 рублей.
Мы рассмотрели некоторые виды текстовых задач, встречающиеся в различных учебниках математики для начальных классов. Несмотря на кажущуюся простоту установления связи между алгебраическим и арифметическим методами, этот прием все же требует тщательной отработки со студентами на практических занятиях и кропотливой работы учителя в ходе самоподготовки к уроку.