Методы решения задач с параметрами
МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»
_________________________________________________________________________________________________________________________________
Выступление на заседании МО
Методы решения задач
с параметрами
Прокушева Наталья Геннадьевна
г. Лодейное Поле
2013-2014
Задачи с параметрами
Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.
Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.
Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.
Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x, y, z, , а параметры – первыми: a, b, c,
Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.
При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.
Основные типы задач с параметрами
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.
Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).
Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).
Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.
Наиболее массовый класс задач с параметром задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.
Основные методы решения задач с параметром
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.
Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.
1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами
Линейная функция: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – уравнение прямой с угловым коэффициентом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Линейные уравнения с параметрами вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], уравнение имеет единственное решение.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то уравнение не имеет решений, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и уравнение имеет бесконечно много решений, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 1. Решить уравнение |x| = a.
Решение:
a > 0, => x1,2 = ±a
a = 0, => x = 0
a < 0, => решений нет.
Ответ: x1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение |3 – x| = a.
Решение:
a > 0, => 3 – x = ±a, => x = 3 ± a
a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3
a < 0, => решений нет.
Ответ: x1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.
Пример 3. Решить уравнение mІx – m = x + 1.
Решение:
mІx – m = x + 1
mІx – x = m + 1
(mІ – 1)x = m + 1
mІ – 1
· 0, т.е. m
· ± 1, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
m = – 1, 0 · x = 0, x Є R
m = 1, 0 · x = 2, решений нет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 при m
· ± 1; x Є R при m = –1; решений нет при m = 1.
Пример 4. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2.
Решение: Разложим коэффициент при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на множители. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], уравнение имеет единственное решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], уравнение не имеет решений.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то уравнение имеет бесконечно много решений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: ОДЗ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При этом условии уравнение равносильно следующему: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Проверим принадлежность к ОДЗ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если же [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то уравнение не имеет решений.
Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a| x – 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найденный [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]будет решением, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найденный [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если же [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то решением является любой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
3) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найденный [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если же [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то решением является любой x > 1.
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является также решением при всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 8. Найти все а, при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .
Решение: Найдем решения уравнения при каждом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Решим неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
При [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] уравнение не имеет решений.
Ответ: а ( (–5 , 4) .
Линейные неравенства с параметрами
Например: Решить неравенство: kx < b.
Если k > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415. Если k < 0, то 13 EMBED Equation.3 1415. Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R, а при 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет.
Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.
Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Если скобка перед x положительна, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Если скобка перед x отрицательна, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Если же a = 0 или a = 13 EMBED Equation.3 1415, то решений нет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
решений нет при a = 0 или a = 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a| < 2a .
Решение:
При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a, т.е. решений нет. Если x Є [–a; a] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a, т.е. x > –a, т.е., решением является любой x Є (–a; a]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a, т.е. , решением является любой x Є (a; +
·). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a; +
·).
Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Т.о., при a < 0 решений нет.
Ответ: x Є (–a; +
·) при a > 0, решений нет при 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .
Пример 3. Найти все а, при каждом из которых все решения неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют неравенству 2x – aІ + 5 < 0.
Решение:
Решением неравенства |x|
· 2 является множество A =[–2; 2], а решением неравенства 2x – aІ + 5 < 0 является множество B = (–
·; 13 EMBED Equation.3 1415) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: a Є (–
·; –3)U(3; +
·).
Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .
Решение:
Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.
–3a + 2 < 2a + 4 13 EMBED Equation.3 1415 и –3a + 2 > 2a + 4 13 EMBED Equation.3 1415. Т.о., при 13 EMBED Equation.3 1415 x Є (–3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
При 13 EMBED Equation.3 1415 x Є (2a + 4; –3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
При a = –13 EMBED Equation.3 1415 (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо при всех отрицательных значениях х?
Решение:
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.
Выясним знак коэффициента при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
a
· –3,
a
· 1; (aІ + 2a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.
a
· –3,
Пусть a
· 1. Тогда функция f(x) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f(x)
· 0 <=> 3aІ – a – 14
· 0 <=> 13 EMBED Equation.3 1415.
a
· –3,
Вместе с условиями a
· 1; получим: 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f(x) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
Квадратичная функция: 13 EMBED Equation.3 1415.
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.
Если a = 0, то имеем линейное уравнение bх + c=0.
Если a
· 0 и дискриминант уравнения D = bІ – 4ac < 0, то уравнение не имеет действительных решений.
Если, a
· 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х =13 EMBED Equation.3 1415 или, как ещё говорят, совпадающие корни х 1 = х2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Если a
· 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. При каких значениях a уравнение xІ – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
xІ – ax + 1 = 0
D = aІ – 4 · 1 = aІ – 4
13 EMBED Equation.3 1415
aІ – 4 < 0 + – +
(a – 2)(a + 2) < 0 –2 2
Ответ: при a Є (–2; 2)
Пример 2. При каких значениях а уравнение а(хІ – х + 1) = 3х + 5 имеет два различных действительных корня?
Решение:
а(хІ – х + 1) = 3х + 5, а
· 0
ахІ – ах+ а – 3х – 5 = 0
ахІ – (а + 3)х + а – 5 = 0
D = (a +3)І – 4a(a – 5) = aІ +6a + 9 – 4aІ + 20a = –3aІ + 26a + 9
–3aІ + 26
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)
Пример 3. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: x
·1, x
· a
x – 1 + x – a = 2, 2x = 3 + a, 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 3 + a
· 2; a
· –1
2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3 + a
· 2a; a
· 3
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 при a Є (–
·; –1) U (–1; 3) U (3; +
·);
решений нет при a = –1; 3.
Пример 4. Решить уравнение |xІ–2x–3| = a.
Решение:
Рассмотрим функции y = |xІ–2x–3| и y = a.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При a < 0 нет решений; при a = 0 и a > 4 два решения; при 0 < a < 4 – четыре решения; при a = 4 – три решения.
Ответ:
при a < 0 нет решений; при a = 0 и a > 4 два решения; при 0 < a < 4 – четыре решения; при a = 4 – три решения.
Пример 5. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение |xІ–(a+2)x+2a| = |3x–6| имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение:
Разложим квадратный трехчлен xІ–(a+2)x+2a на множители. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Получим |(x–2)(x–a)| = 3|x–2|. Это уравнение равносильно совокупности [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
a
· 0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ответ: a Є [0; 1] U [2; 5].
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение |xІ – 4x + 3| = ax имеет 3 корня.
Решение:
Построим графики функций y = |xІ – 4x + 3| и y = ax.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
На отрезке [1; 3] построен график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax будет являться касательной к графику y = x І+ 4x – 3 на отрезке [1; 2].
Уравнение касательной имеет вид y = f(x0) + f ’(x0)(x – x0), [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.к. x0 Є [1; 2], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: при a = 4 – 213 EMBED Equation.3 1415.
Квадратные неравенства с параметрами
Пример. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых среди решений неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 нет ни одной точки отрезка [7; 96].
Решение:
Сначала решим неравенс
·тво при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка [7; 96]. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, ax = tІ
t
· 0
При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t, если a
· 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно. 1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением. 2.Пусть a
· 0, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 примет вид 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение неравенства зависит от значений a, поэтому придется рассмотреть два случая. 1) Если a > 0, то 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, или в старых переменных,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка [7; 96], тогда и только тогда, когда выполнены условия a
· 7,
16a
· 96. Отсюда, a Є [6; 7]. 2). Если а < 0, то 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; t Є (4a; a). Так как t
· 0, то решений нет.
Ответ: [6; 7].
Иррациональные уравнения с параметрами
При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства. Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.
Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
ОДЗ: x + 1
· 0, x
· –1, a
· 0.
x + 1 = aІ.
Если x = aІ – 1, то условие выполняется.
Ответ: x = aІ – 1 при а
· 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
ОДЗ: x + 3
· 0, x
· –3,
a – x
· 0; x
· a;
x + 3 = a – x,
2x = a – 3,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 <=> 13 EMBED Equation.3 1415 <=> 13 EMBED Equation.3 1415 <=> a
· –3.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 при a
· –3; решений нет при a < –3.
Пример 3. Сколько корней имеет уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 в зависимости от значений параметра а?
Решение:
Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности xІ + yІ = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции 13 EMBED Equation.3 1415. Если заменить у на а, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
По графику видим ответ.
Ответ: при а Є (–
·; –2) U (1; +
·), корней нет;
при а Є [–2; 2), два корня;
при а = 1, один корень.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение?
Решение:
1 способ (аналитический):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: при а
· –2 уравнение имеет единственное решение
2 способ (графический):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: при а
· –2 уравнение имеет единственное решение
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 2 + х имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции: у1 = 2 + х и у2 = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0). График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
Ответ: при a
· –2 уравнение имеет единственное решение.
Тригонометрические уравнения с параметрами.
Пример 1. Решите уравнение sin(–x + 2x – 1) = b + 1.
Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Учитывая нечетность функции 13 EMBED Equation.3 1415, данное уравнение сведем к равносильному 13 EMBED Equation.3 1415.
1. b = –1
13 EMBED Equation.3 1415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(*)
2. b = 0
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(**)
3. b = –2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(***)
4. |b + 1| > 1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Решений нет.
5. bЄ(–1; 0)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(
·)
6. bЄ(–2; –1)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(
·
·)
Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.
Решение:
Выразим cos 2x через sinx. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Пусть 13 EMBED Equation.3 1415тогда задача свелась к нахождению всех значений p, при которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415, и теперь эскиз графика левой части 13 EMBED Equation.3 1415 строится несложно. Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: p Є (–
·; –9) U (17; +
·).
Системы уравнений с параметрами
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В этом случае система имеет единственное решение.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.
Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Решение. Выразим из первого уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и подставим во второе уравнение. Получим: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - единственное решение. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решений бесконечно много: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Если
же[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решений нет.
Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений
2(a + 1)x + 2y = 21
5(a - 3)x + y = 13 не имеет решений?
Решение. Система не имеет решений, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Система равносильна совокупности двух систем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Прямые параллельны , если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. При этом прямые не совпадают, поэтому при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решений нет.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то выражая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] из второго уравнения и подставляя в первое, получим: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет хотя бы одно решение.
Решение. Прямые не параллельны, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В этом случае система имеет единственное решение при любом c.
По условию задачи система должна иметь решение при всех b.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] то система принимает вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Чтобы при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] система также имела решения, нужно, чтобы уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Аналогично, если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] то система принимает вид: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Чтобы при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] система также имела решения, нужно, чтобы уравнение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Системы двух линейных неравенств с параметрами
Пример 1. При каких значениях а система неравенств
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не имеет решений?
Решение. Система имеет решения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] только если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Ответ: при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решением будет любой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решений нет.
Пример 2. При каких значениях а система неравенств
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет хотя бы одно решение?
Решение. При [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и эта система не имеет решений, так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] т.е.
решения есть при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и , так как при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] выполнено неравенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , то решение запишется в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Ответ: при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решением будет любой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решений нет.
Пример 3. При всех значениях а решить систему
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. Перепишем систему неравенств в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Рассмотрим все возможные случаи.
1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Тогда система неравенств принимает вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при
всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Поэтому x > (4a+1)/(a+4) .
2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
3) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Тогда система неравенств принимает вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
при всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Поэтому (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) .
4) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .
5) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Тогда система неравенств принимает вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при всех [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Поэтому x < (2a-3)/(a-1) .
Ответ: x < (2a-3)/(a-1) при a < -4;
(4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) при -4 < a < 1;
при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] решений нет.
Пример 4. При всех значениях а решить систему
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] система не имеет решений.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и эта система не имеет решений.
Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Ответ. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Система квадратных уравнений
Пример. Указать при каких значениях параметра a система уравнений имеет два решения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение:
Если x < 0, y = 13 EMBED Equation.3 1415– не имеет смысла. Поэтому, ОДЗ x
· 0. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. x
· 0, то корни могут оба положительные или один положительный, а другой равен 0.
1. Если корни положительные, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Если x1 > 0; x2 = 0, то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Объединяя решения п.1 и п.2, получим a Є [1; 2].
Ответ: a Є [1; 2].
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native