Нестандартные приемы и методы решения неравенств

Нестандартные приемы и методы решения неравенств.
Знание математики на хорошем уровне обуславливает умение решать задачи повышенной сложности. К ним, в частности, относятся задачи на решение или доказательство неравенств из таких разделов математики, как алгебра, тригонометрия, геометрия.
Приведенные в примерах решения и доказательства неравенств основаны на несколько необычных рассуждениях.
Пример 1. 
Пусть х13 + х23 + … + хn3 = 0,
где -1 ≤ х1 ≤ 1, -1 ≤ х2 ≤ 1, … , -1 ≤ хn ≤ 1.
Доказать, что -n/3 ≤ х1 + х2 + … + хn ≤ n/3.
Доказательство.
Так как -1 ≤ х1 ≤ 1, -1 ≤ х2 ≤ 1, …, -1 ≤ хn ≤ 1, то обозначим
х1 = cos a1, х2 = cos a2, … , хn = cos an.
Используя известное равенство cos 3a = 4cos3 a – 3cos a, можно записать
cos a = (4cos3 a – cos 3a)/3. В таком случае имеем
х1 + х2 + … + хn = cos a1 + cos a2 + … + cos an =
= 4/3(cos3 a1 + cos3 a2 + …  + cos3 an) – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + … + 3cos an).
По условию х13 + х23 + … + хn3 =0, поэтому
cos3 a1 + cos3 a2 + …  + cos3 an = 0.В этой связи получаем равенство
х1 + х2 + … + хn = – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + …  + cos 3an).
Однако, -1 ≤ cos 3a1 ≤ 1, -1 ≤ cos 3a2 ≤ 1, … , -1 ≤ cos 3an ≤ 1,
поэтому -n/3 ≤ – 1/3(cos 3a1 + cos 3a2 + …  + cos 3an) ≤ n/3,
а значит и -n/3 ≤ х1 + х2 + … + хn ≤ n/3.
Ответ: Получили требуемое утверждение.
Пример 2.
Доказать, что cos 43° < tg 43°.
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательное неравенство
cos х < tg x, где 0° < х < 90°. Решая неравенство  cos х < tg x, получаем
cos2 х < sin x, sin2 x + sin x – 1 > 0 и sin x > (√5 – 1)/2.
Следовательно, доказательство исходного неравенства сводится к доказательству неравенства
sin 43° > (√5 – 1)/2.
Преобразуем полученное неравенство:
sin (45° – 2°) > (√5 – 1)/2;
√2/2 · (cos 2° – sin 2°) > (√5 – 1)/2;
√2 · (cos 2° – sin 2°) > √5 – 1;
2 · (cos 2° - sin 2°) > 6 – 2√5;
1 – 4sin 4° > 3 – √5 или sin 4° < √5 – 2.
Очевидно, что если доказать последнее неравенство, то тем самым будет доказано и исходное неравенство.
Далее воспользуемся известным неравенством sin х < х, где 0° < х < 90°.
Следовательно имеет место sin 4° < (2п/360) · 4 = п/45.
Отсюда следует, что для доказательства неравенства sin 4° < √5 – 2 достаточно показать, что п/45 < √5 – 2 или п + 90 < 45√5.
Поскольку п < 4 и √5 > 2,2, то неравенство п + 90 < 45√5 справедливо.
Отсюда следует и справедливость приведенных выше неравенств, в том числе и cos 43° < tg 43°.
Пример 3.
Доказать, что cos 2° > 44/45.
Доказательство.
Преобразуем требуемое неравенство как
cos (2°)2 > (44/45)2;
1 – cos (2°)2 < 1 – (44/45)2;
sin (2°)2 < (1 – 44/45) · (1 + 44/45) = 89/452.
Отсюда получаем неравенство sin 2° < √89/45.
Здесь воспользуемся известным неравенством 
sin х < х, где 0° < х < 90°.
Имеет место sin 2° < (2п/360) · 2 = п/90.
Значит,  для доказательства неравенства sin 2° < √89/45 достаточно показать, что п/90 < √89/45, то есть п < 2√89.
Поскольку п < 4, то неравенство п < 2√89 очевидно.
Отсюда следует и справедливость неравенства cos 2° > 44/45.
Пример 4.
Доказать неравенство а3 + b3 + 3abc > c3, где a, b и c – стороны треугольника.
Доказательство.
Поскольку a, b и c – стороны треугольника, то a + b > c.
Кроме того, для любых a и b справедливо неравенство а2 – ab + b2 > 0.
Используя приведенные выше неравенства, получаем
а3 + b3 + 3abc = (a + b)(а2 – ab + b2) + 3abc > с(а2 – ab + b2) + 3abc =
= с(а2 – ab + b2 + 3ab) = c(a + b)2 > c3.
Следовательно, неравенство а3 + b3 + 3abc > c3 доказано.
Пример 5.
Доказать, что для выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c, d имеет место неравенство S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2, где S – площадь четырехугольника.
Доказательство.
Пусть ABCD – искомый выпуклый четырехугольник со сторонами AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.
Нетрудно видеть, что площадь S четырехугольника ABCD можно оценить сверху следующими двумя способами:
S = SABC + SACD = (a · b · sin B)/2 + (c · d · sin D)/2 ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 и
S = SABD + SBCD = (a · d · sin A)/2 + (b · c · sin C)/2 ≤ (a · d)/2 + (b · c)/2.
Отсюда получаем
2 · S ≤ (a · b)/2 + (c · d)/2 + (a · d)/2 + (b · c)/2 = (a + с)(b + d)/2.
Следовательно, неравенство  S ≤ (a + c)/2 · (b + d)/2 доказано.
 Если четырехугольник ABCD не является выпуклым, то, отражая стороны c и d относительно внешней диагонали, получим выпуклый четырехугольник площади S*, где S* > S. В этой связи можно рассматривать только выпуклые четырехугольники.
Владение нестандартными приемами решения и доказательства неравенств является одним из критериев выявления уровня знаний основных разделов школьной математики, а так же уровня развития  математического и логического мышления.
Умение решать задачи, особенно с использованием нестандартных методов, открывает так же большое число различных эвристических приемов общего характера, которые ценны для математического развития личности. Такие приемы могут быть применены в исследованиях и на любом другом математическом материале. Регулярная практика в решении задач играет большую роль в формировании логического мышления и математической культуры.