Программа элективных курсов по математике Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств

Программа элективных курсов

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств















«Нестандартные методы решения нестандартных уравнений и неравенств»
(Программа и дидактические материалы элективного курса для профильной подготовки учащихся 10-11 классах по математике)
Профиль: социально-экономический;
профилирующий предмет: история и обществознание
Количество часов математики:
алгебра 3 часа;
геометрия 2 часа;
элективный курс 1 час

Пояснительная записка
Профильное обучение займёт достойное место в общеобразовательной сфере и, как «средство дифференциации и индивидуализации обучения», позволит «более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, представит условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования» (из приказа Министерства образования России от 18.07.2002, №2783). Серьёзнейшим механизмом «Профильного образования»- являются элективные курсы, так называемые курсы по выбору, назначение которых – выявить средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов, а также углубить отдельные темы базовых общеобразовательных программ по математике.
Программа разработана она на основе государственной программы по математике для 5 – 11 классов курса и предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10 - 11 классов к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию. Наибольшие затруднения у учащихся вызывают решения так называемых нестандартных задач, которые занимают значительное место среди задач повышенной сложности в заданиях ЕГЭ и олимпиадах по математике.
К нестандартным обычно относят такие уравнения и неравенства, где традиционные алгоритмы не подходят. Во многих случаях решение таких уравнений и неравенств осуществляется на «функциональном уровне», т. е. с помощью графиков или за счет сопоставления некоторых свойств функций, содержащихся в левой и правой частях уравнения. Настоящий элективный курс призван помочь учащимся восполнить пробелы и поднять на более высокий уровень свою математическую подготовку по этой теме. Представленные методы и приемы решения нестандартных задач в этом курсе позволяет преодолеть инерцию мышления учащегося, развивает творческие способности, логическое мышление и исследовательские навыки; формирует умения использовать приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.
Материал элективного курса рассматривается параллельно с изучением соответствующих вопросов на уроках, на занятиях происходит систематизация знаний и углубление, как по содержанию, так и по практическому применению и методам обоснований, реализуются межпредметные связи. Таким образом, данный курс способствует лучшему усвоению базового и профильного курса математики, а также служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории. Курс ориентирован не только на учащихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к предмету и желающих углубить свои знания, умения и навыки, но и на тех учащихся, которые желают овладеть дополнительными знаниями по данной теме, хотя бы для успешной сдачи экзаменов.
Цели курса:
Вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность, способствующую развитию логического мышления, интеллектуальных и коммуникативных качеств, необходимых для продолжения образования и для адекватной социальной адаптации учащихся в современном мире.

Задачи курса:
Научить анализировать конкретные ситуации, замечать существенное, выявлять общее и делать выводы, переносить известные приемы в нестандартные ситуации, находить пути их решения;
Развивать логическое и математическое мышление, алгоритмическую и вычислительную культуру учащихся;
Развивать исследовательские навыки деятельности учащихся: составлять проекты, проводить эксперимент, работать с литературой, активно использовать Интернет, развивать письменную и речевую математическую культуру учащихся.

Требования к уровню подготовки учащихся:
должны иметь элементарные умения и навыки решения задач обязательного и повышенного уровня сложности;
точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач
воспроизводить изученные понятия, алгоритмы решения задач с помощью нестандартных методов;
анализировать и выбирать оптимальные способы решения нестандартных уравнений и неравенств;
самостоятельно конструировать свои знания;
самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.

Формы организации учебных занятий.
Занятия организуются в форме уроков. Уроки проводятся в форме лекций, семинаров, конференций, практических работ. В течение всего курса проходит тренинг. В ходе изучения проводятся краткие теоретические опросы по знанию формул и основных понятий. Наряду с тренингом используется принцип беспрерывного повторения, что улучшает процесс запоминания и развивает потребность в творчестве. В ходе курса учащимся предлагаются различного типа сложности задачи. Для презентации своих творческих работ обучающиеся могут использовать домашние компьютеры или компьютер кабинета математики.
Типы учебных занятий:
изучение и первичное закрепление новых знаний и способов решения уравнений и неравенств,
закрепление знаний и умений и навыков;
комплексное применение знаний и умений и навыков при решении уравнений и неравенств,
обобщение и систематизация знаний,
проверка и оценка знаний, умений и навыков решения нестандартных уравнений и неравенств.

Контроль знаний и умений.
Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется в результате выполнения обучающимися самостоятельных и практических работ, а также, творческих проектов в виде презентаций. Две контрольные работы в форме решения заданий с развёрнутым ответом в конце каждого полугодия.

Место курса в системе профильной подготовки учащихся.
Курс ориентирован на профильную подготовку учащихся по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по математике, даёт учащимся возможность познакомиться и приобрести навыки применения нестандартных методов решения нестандартных задач. Вопросы, которые рассматриваются в данном элективном курсе, выходят за рамки обязательного изучения, но вместе с тем они тесно примыкают к основному курсу т.к. достаточно пронаблюдать уровень и содержания соответствующих ЕГЭ, для решения которых необходимы методы, рассматриваемые в данном элективном курсе. Поэтому курс будет не только способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, но и поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

Содержание курса


Тема 1. Введение в курс (2часа).
Понятие нестандартных задач и нестандартных методов решения. Классификация нестандартных методов решения: метод мажорант, метод монотонности, метод неотрицательности, применение производной, применение свойств синуса и косинуса, геометрический подход, применение области определения функций. Функция. Основные свойства функций Актуализация знаний по основным свойствам функций школьного курса: область существования функции, ограниченность функций, монотонность, знакопостоянство.
Привести пример из заданий ЕГЭ по математике:

В8.Найдите все значения 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых выполняется соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415. Если таких13 EMBED Equation.3 1415больше одного, в ответе запишите максимальное из них.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415. Замечаем, что в степени левой части неравенства и правой части встречается одинаковое выражение 13 EMBED Equation.3 1415. Дальше, видно, что неравенство стандартными методами не решается, следовательно, надо смотреть на поведение функций слева и справа. Для этого в обеих частях попробовать выделить 13 EMBED Equation.3 1415, что есть точный квадрат (всегда неотрицательный!).
Преобразуем неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Теперь все становится очевидным, поскольку убывающая функция 13 EMBED Equation.3 1415достигает своего максимума при минимальной степени т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415=-2 (13 EMBED Equation.3 1415)
А функция 13 EMBED Equation.3 1415 не может быть меньше 9 и равно 9 только при 13 EMBED Equation.3 1415=-2
13 EMBED Equation.3 1415при любых 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415- убывающая, тогда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=9, (2)
а функция 13 EMBED Equation.3 1415
·9 при любых 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Из равенств (1),(2) и (3) следует, что
9
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·9 при любых13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415=-2

Для самостоятельной работы:
Решите уравнение:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 QUOTE 1415
3. (13 EMBED Equation.3 1415

Тема 2. Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций (5часов).
Понятие метода мажорант и основной идеи этого метода. Рассматривается метод, когда на общей части областей существования функций, находящихся в левой и правой части, каждая из них ограничена слева или справа одним и тем же числом.
Наиболее результативным данный метод является при решении уравнений, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены:
y = sin x; y = cos x; y = arccos x; y = arcsin x; y = | x |; y =13 EMBED Equation.3 1415; y = 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть мы имеем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415и существует число М, такое, что для любого x из области определения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 Число M называется мажорантой.


Пример 1. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Оценим левую часть уравнения:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Оценим правую часть уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решая второй уравнение, получаем х=0.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. Решите уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Равенство достигается, если 13 EMBED Equation.3 1415
(1): 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив найденные значения x в уравнение (2), получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415-решение системы.
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415

Пример3. Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Оценим: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Правая часть: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(1): 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415- решение системы, а значит, исходного уравнения.

Пример 4. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Запишем ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Можно утверждать, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем уравнение в таком виде:
13 EMBED Equation.3 1415.
Оценим левую и правую части уравнения (*):
13 EMBED Equation.3 1415
Т. о., исходное уравнение равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (0;1).

Пример 5. Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение13 EMBED Equation.3 1415. Оценим снизу левую часть неравенства. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Правую часть сверху: 13 EMBED Equation.3 1415. Из этих двух последних неравенств, следует, что данное неравенство может иметь место только в случае , когда одновременно выполняются условия 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Общие корни этих уравнений можно найти, составив и решив уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 в целых числах. Это уравнение перепишем в виде 1+4n=5k, или
k-1=4(n-k). Отсюда следует, что л-1 должно быть кратным 4, т.е. k-1=4m,где m13 EMBED Equation.3 1415Z. Итак, имеем:k=4m+1, где m13 EMBED Equation.3 1415Z, откуда x=13 EMBED Equation.3 1415, где m13 EMBED Equation.3 1415Z.
Ответ. x=13 EMBED Equation.3 1415 , где m13 EMBED Equation.3 1415Z.


Пример 6. Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функции: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
E(f) = [–1; 1]
E(g) = [1; +
·]E(f)13 EMBED Equation.3 1415 = { 1 }Отсюда: данное уравнение равносильно системе: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решим I уравнение системы: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 n13 EMBED Equation.3 1415Z
13 EMBED Equation.3 1415, n13 EMBED Equation.3 1415Z
13 EMBED Equation.3 1415, n13 EMBED Equation.3 1415 Z
Решим II уравнение системы: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда: решением системы, а значит и данного уравнения является x = 2
Ответ: 2.
Задания для самостоятельной работы:
Решите уравнения и неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Тема 3. Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств (5часов).
Повторение промежутков монотонности показательных, логарифмических, тригонометрических, Рассматривается метод, когда в левой и правой части уравнения находятся разные по монотонности функции.
Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности.
Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня
Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.
Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415
При решении уравнений вида 13 EMBED Equation.3 1415полезна следующая теорема: Если 13 EMBED Equation.3 1415
Монотонно возрастающая (убывающая) функция, уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 эквивалентны.
Пример 1. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение.13 EMBED Equation.3 1415- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).
В правой части уравнения - постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что13 EMBED Equation.3 1415 =2 – корень.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 =2.

Пример 2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415и заданное уравнение можно переписать в виде 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415это уравнение имеет очевидный корень t=2, но утверждать, что это единственный корень нельзя. Разделим обе части последнего уравнения на выражение 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415, где левая часть уравнения убывает, а правая часть – возрастает. Значит, t=2- единственный корень уравнения.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то находим 13 EMBED Equation.3 1415=9 – единственный корень исходного уравнения.
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415=9
Пример 3. Решите уравнение13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415-1
Функция y=13 EMBED Equation.3 1415 убывает на всей области определения (13 EMBED Equation.3 1415
·7), а функция y=13 EMBED Equation.3 1415-1-возрастает при любых 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда данное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415-1 имеет единственное решение, методом подбора находим 13 EMBED Equation.3 1415 =3
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415=3
Пример 4. Решите неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415<7.
Функция 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 возрастает на R как сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что 13 EMBED Equation.3 1415=0 – единственный корень уравнения 13 EMBED Equation.3 14157. Следовательно, неравенство 13 EMBED Equation.3 1415<7 удовлетворяется при 13 EMBED Equation.3 1415<013 EMBED Equation.3 1415
Пример5. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
ОДЗ:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- возрастающая функция (как сумма возрастающих функций).
Найдем подбором корень, 13 EMBED Equation.3 1415 =1. В силу теоремы о корне, имеем, что он единственный.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=1.


Задания для самостоятельного решения
Решите уравнения:
13 EMBED Equation
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Найти наименьшее значение функции y=13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Найти наибольшее значение функции y=13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Найти наибольшее значение функции y=13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство log0,513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415sin(-13 EMBED Equation.3 14151)

Решите неравенство log5(13 EMBED Equation.3 14152+1)13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415+1)13 EMBED Equation.3 14151
Решите неравенство13 EMBED Equation.3 1415



Тема 4. Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств(4 часа)
Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.
Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции y =13 EMBED Equation.3 1415; y =13 EMBED Equation.3 1415; y=13 EMBED Equation.3 1415; y = 13 EMBED Equation.3 1415.
При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом:
1). Если Д (f) = 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение или неравенство решений не имеют.
2). Если Д (f) = {а1; а2; а3..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а1; а2; а3..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.
3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).
Пример 1. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:
13 EMBED Equation.3 1415
Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

Пример2. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Найдем область определения уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив эти значения в уравнение, убеждаемся, что они его удовлетворяют.
Ответ: -9, 9.


Пример3. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415 Найдем ее область определения:
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, левая часть уравнения имеет смысл только при х=1. Но при х=1 13 EMBED Equation.3 1415, значит, данное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.

Пример 4. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=0
Решение. Рассмотрим функцию: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
Д (f): 13 EMBED Equation.3 1415– 3
· 0
6 – 2х
· 0

13 EMBED Equation.3 1415
· 3
–2х
· –6

13 EMBED Equation.3 1415
· 3
13 EMBED Equation.3 1415
· 3

13 EMBED Equation.3 1415 = 3
Отсюда: 13 EMBED Equation.3 1415 = 3 может являться корнем данного уравнения.
Проверим это:
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 3, то 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415= 0 – верно
Значит: уравнение имеет один корень 13 EMBED Equation.3 1415 = 3
Ответ: 3.

Пример 5. Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
Решение 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функцию: у = 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
Д (у): 13 EMBED Equation.3 1415 – 1
· 0
13 EMBED Equation.3 1415
· 0

13 EMBED Equation.3 1415
· 1
Проверим, является ли данное множество решением неравенства.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 1, то неравенство 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415>1 – верно.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 > 1, то 13 EMBED Equation.3 1415>0; 13 EMBED Equation.3 1415>0; 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415 – верно при х > 1
Отсюда, решением данного неравенства является множество х13 EMBED Equation.3 1415 [1; +13 EMBED Equation.3 1415).
Ответ: [1; +13 EMBED Equation.3 1415).
Пример 6. Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функцию: у =13 EMBED Equation.3 1415
Д (у): sin (х – 1)
· 0
5х – х2 – 4
· 0

Решим второе неравенство системы:
5х – х2 – 4
· 0
х2 –5х + 4
· 0
х1 = 4 х2 = 1
1
· 13 EMBED Equation.3 1415
· 4
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 1, то sin (13 EMBED Equation.3 1415 – 1)
· 0 – неверно.
Значит, функция у определена при всех х, принадлежащих промежутку (1; 4].
Проверим, является ли данное множество решением неравенства.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 4, то данное неравенство верно.
Если 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (1; 4), то 13 EMBED Equation.3 1415, так как сумма двух обратных чисел больше или равна 2 и 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда: данное неравенство при х 13 EMBED Equation.3 1415 (1; 4) тоже верно.
Значит, решением данного неравенства является множество (1; 4].
Ответ: (1; 4].

Пример 7. Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим функцию: 13 EMBED Equation.3 1415
Д (у): 13 EMBED Equation.3 1415
· 0
13 EMBED Equation.3 1415 + 2 > 0
1 – x
· 0

x
· 0
x > – 2
13 EMBED Equation.3 1415
· 1

0
· 13 EMBED Equation.3 1415
· 1
Решением данного неравенства может быть множество [0;1].
Проверим это.
Если13 EMBED Equation.3 1415 = 1, то 13 EMBED Equation.3 1415 – неверно.
13 EMBED Equation.3 1415 = 1 не является решением неравенства.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, то 13 EMBED Equation.3 1415 – верно.
13 EMBED Equation.3 1415 = 0 является решением неравенства.
Если 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (0;1), то данное неравенство верно.
Отсюда, решением данного неравенства является множество [0; 1).
Ответ: [0; 1).

Задания для самостоятельной работы:
Решите уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
313 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Решите неравенства:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415

3. 13 EMBED Equation.3 1415

4. 13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Тема 5. Использование свойств числовых неравенств (4 часа)

Формулировка и аналитическая запись основных теорем числовых неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Применение этих свойств при решении уравнений и неравенств.
Неравенство Коши. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда имеет место
13 EMBED Equation.3 1415 Причем равенство в неравенстве Коши достигается лишь в том случае, когда 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 1. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Сделаем несколько оценок с помощью неравенства Коши.
13 EMBED Equation.3 1415
Так как равенство имеет место при 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 =0.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415 (оценка частей неравенства):
ОДЗ:
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. неравенство выполняется при любых значениях13 EMBED Equation.3 1415, => ОДЗ: – 13 EMBED Equation.3 1415любое число
13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. основание логарифма больше 1, неравенство равносильно неравенству:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (-3; -1).

Пример3. Докажите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство:
Известно, что
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
прологарифмируем обе части неравенства (1) по основанию а. Т.к. а>1, то знак неравенства сохраняется, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4. Докажите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство:
1. при n=3 неравенство очевидно (8>7)
2. предположим, что при n=k оно имеет место, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415
Действительно, учитывая, что при n=k+1 исходное неравенство имеет место, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415>13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415>4k+2>2k+3
Откуда k>1/2, таким образом, исходное неравенство справедливо для всех натуральных 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 5. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение. Рассмотрим функции: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
1) g(x)= 13 EMBED Equation.3 1415 =( x +3)2+213 EMBED Equation.3 14152
2) Пусть a=13 EMBED Equation.3 1415тогда13 EMBED Equation.3 1415
По свойству: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Из второго уравнения (x +3)2=0 следует, что x = -3 . А это число удовлетворяет первому уравнению и ОДЗ.
Ответ: -3.
Пример 6. Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к левой части неравенства, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 получим:
13 EMBED Equation.3 1415
С учетом полученных результатов исходное уравнение равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415
Из второго уравнения следует, что:13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя полученные значения в первое уравнение, получаем верные равенства. Отсюда следует13 EMBED Equation.3 1415решения исходного уравнения.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Задания для самостоятельной работы
Решите уравнения и неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
log2(1+ x 2)-2log4 x +13 EMBED Equation.3 1415 =0
(log23)13 EMBED Equation.3 1415 + (log32) 13 EMBED Equation.3 1415= 2-cos213 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 213 EMBED Equation.3 14152 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

313 EMBED Equation.3 1415 + 32-13 EMBED Equation.3 1415 = 3(1+cos213 EMBED Equation.3 1415

(log23) 13 EMBED Equation.3 1415 + (log32) = 213 EMBED Equation.3 1415-cos213 EMBED Equation.3 1415
log2(3+213 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 14152)= tg213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Тема 6. Геометрическое решение алгебраических задач.(4 часа)

Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.
Пример 1. Решите систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Нетрудно убедиться, что 13 EMBED Equation.3 1415 и у – положительны.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415- являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС прямым углом АСВ.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ (10;6) (10;8)

Пример 2. Решите систему уравнений
13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Рассмотрим слагаемые (2) уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть это расстояние между точками М(х;у) и А(2;-1).
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть это расстояние между точками М(13 EMBED Equation.3 1415;у) и В(10;5).
Найдем расстояние между точками А и В.
13 EMBED Equation.3 1415
Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2;-1) и В(10;5).
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем новую систему:13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: (6; 2).
Задания для самостоятельного решения
1. Решите систему неравенств 13 EMBED Equation.3 1415
В ответе укажите всевозможные пары целочисленных значений.
2.При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415уравнение 13 EMBED Equation.3 1415имеет ровно 3 корня.
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
множество решений неравенства
является отрезком длины меньше 1.

4. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение
имеет три решения.
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
общие решения неравенств и содержат только
одно целое число.
6.Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции содержит ровно два целых числа, если


7.Найдите все значения переменной 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых неравенство
верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка
[3; 6].
8. Найти все значения параметра а, при которых выражение
больше выражения при любом значении х, принадлежащем промежутку
(2, 5)
9. Найдите все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых график функции 13 EMBED Equation.3 1415пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.
10. Найдите все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых уравнение13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение.
11. Найдите все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415имеет ровно 3 различных корня.
12.Найдите все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых уравнение13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение.
13.Найдите все значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415, при каждом из которых уравнение13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение.
14. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.

Тема 7. Применение производной при решении уравнений и неравенств (4 часа)

При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной.
Пример 1. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
ОДЗ:
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию у =13 EMBED Equation.3 1415. График функции 13 EMBED Equation.3 1415парабола с вершиной А (3;2) и ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции у(3)=2,
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
·2.
Введем функцию 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
С помощью производной найдем максимум функции, которая дифференцируема на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решив первое уравнение системы, имеем 13 EMBED Equation.3 1415=3.
Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415=3-решение системы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 =3.
Пример 2. Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415


Решение. О.Д.З. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415=0.
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Возьмем от нее производную:
13 EMBED Equation.3 1415.
Все слагаемые в правой части производной положительны при всех допустимых значениях х. Значит, при любых допустимых значениях 13 EMBED Equation.3 1415>0, т. е. f(x)- возрастающая функция.
По теореме о корне, уравнение имеет не более одного решения. Корень 13 EMBED Equation.3 1415=0 - единственный.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=0.
Пример 3. Решите неравенство 2013 EMBED Equation.3 14157 + 2813 EMBED Equation.3 14155 + 21013 EMBED Equation.3 1415 – 35sin213 EMBED Equation.3 1415 >0

Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 14152013 EMBED Equation.3 14157 + 2813 EMBED Equation.3 14155 + 21013 EMBED Equation.3 1415 – 35sin213 EMBED Equation.3 1415.Она определена на всей числовой прямой имеет производную: 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415>0 , следовательно, возрастает на всей области определения. Тогда уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет не более одного корня. Легко заметить, что таким корнем является число 13 EMBED Equation.3 1415=0. Т.к. функция 13 EMBED Equation.3 1415непрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Пример 4. Найти количество решений уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415 3 - 13 EMBED Equation.3 14152 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 0,1 = 0

Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14153 - 13 EMBED Equation.3 14152 - 13 EMBED Equation.3 1415 + 0,1;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415>0 на 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, функция возрастает на этих промежутках.
13 EMBED Equation.3 1415<0 на 13 EMBED Equation.3 1415 тогда функция убывает на этом промежутке.
lim13 EMBED Equation.3 1415lim13 EMBED Equation.3 1415 3(1-13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

lim 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 >0, 13 EMBED Equation.3 1415<013 EMBED Equation.3 1415 на каждом из интервалов 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

есть единственная точка, в которой 13 EMBED Equation.3 1415(в силу непрерывности функции 13 EMBED Equation.3 1415
уравнение имеет 3 корня.
Ответ: 3 корня.

Задания для самостоятельного решения

1.13 INCLUDETEXT F:\Ege\Baza\Matemati\MATEMATI\11_02\030578.doc \* MERGEFORMAT 14Найдите все значения 13 EMBED Equation.3 1415, при которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
не имеет корней.15
2.Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решите уравнение 13EMBED Equation.31415
4. Решить систему уравнений 13EMBED Equation.31415
5. Доказать, что уравнение 13EMBED Equation.31415 имеет единственный корень, лежащий в интервале 13EMBED Equation.31415.
6. Доказать, что уравнение 13EMBED Equation.31415 при 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 имеет не более одного действительного корня.
7. Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
8.Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415
9. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415
10.Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415
11. Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415
12.Докажите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415
13.Докажите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
14.Решите уравнение13 EMBED Equation.3 1415
15. Решите уравнение13 EMBED Equation.3 1415
Тема 8. Тригонометрическая подстановка при решении уравнений и неравенств. (4 часа)

Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области. Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной 13EMBED Equation.31415 определяются неравенством 13EMBED Equation.31415, то удобны замены 13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415.
Пример 1. Решите уравнение
13EMBED Equation.31415
Решение. Так как 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415. Поэтому можно положить 13EMBED Equation.31415. Уравнение примет вид
13EMBED Equation.31415.
Положим 13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415, тогда
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415.
Алгебраическое решение
13EMBED Equation.31415.
Так как 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415. Значит, 13EMBED Equation.31415, поэтому можно раскрыть модуль
13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415.
Пример 2. Решите уравнение
13EMBED Equation.31415 [14].
Область определения уравнения задается неравенством 13EMBED Equation.31415, что равносильно условию 13EMBED Equation.31415, тогда 13EMBED Equation.31415. Поэтому можно положить 13EMBED Equation.31415. Уравнение примет вид
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Так как 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415. Раскроем внутренний модуль
13EMBED Equation.31415.
Положим 13EMBED Equation.31415, тогда
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Условию 13EMBED Equation.31415 удовлетворяют два значения 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415.
Пример 5. Решить уравнение
13EMBED Equation.31415
Так как переменная 13EMBED Equation.31415 может принимать любые действительные значения, можно положить 13EMBED Equation.31415. Уравнение примет вид
13EMBED Equation.31415.
В силу того, что 13EMBED Equation.31415, можно раскрыть модуль
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Так как 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415.
Пример 3. Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Пусть 13EMBED Equation.31415, тогда уравнение перепишется в виде
13EMBED Equation.31415.
Введем замену 13EMBED Equation.31415, получим
13EMBED Equation.31415.
Корни этого уравнения:
13EMBED Equation.31415.
Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только 13EMBED Equation.31415. Перейдем к переменной 13EMBED Equation.31415, а затем к переменной 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Ответ: 13EMBED Equation.31415.
Пример 4. Доказать, что 13EMBED Equation.31415
При 13EMBED Equation.31415 неравенство верное.
Решение. Для любых 13EMBED Equation.31415 найдется угол 13EMBED Equation.31415, что 13EMBED Equation.31415. Исходное неравенство примет вид
13EMBED Equation.31415.
Так как 13EMBED Equation.31415, то 13EMBED Equation.31415. Умножим обе части неравенства на 13EMBED Equation.31415, получим

13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.
Пример 5. При каких значениях а неравенство 13EMBED Equation.31415имеет решение.
Решение. Неравенство 13EMBED Equation.31415 имеет решение при а большем наименьшего значения выражения 13EMBED Equation.31415.
Положим 13EMBED Equation.31415, тогда
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415, где 13EMBED Equation.31415.
Оценим выражение 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Наименьшее значение выражения13EMBED Equation.31415 равно 13EMBED Equation.31415. Значит, при 13EMBED Equation.31415 неравенство имеет решение.
Ответ: при 13EMBED Equation.31415 неравенство имеет решение.
Задания для самостоятельной работы
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Выяснить, сколько корней имеет уравнение 13EMBED Equation.31415.
3. Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 13EMBED Equation.31415 в области 13EMBED Equation.31415.
Сколько корней имеет уравнение 13EMBED Equation.31415
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решите уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415.
Тема 11. Обобщающее повторение курса.(2 часа)
Повторение изученных нестандартных методов, алгоритмов решения задач с помощью этих методов. Решение задач с применением всех методов в комплексе.

Учебно-тематический план

№
Наименование тем курса
Всего часов
В том числе
Форма контроля




Лекц.
Практ.
Семин


1
Введение в курс
2
1
1

Тест

2
Метод мажорант
5
2
2
1
Самостоятель.
работа

3
Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств
5
2
3

Практикум

4.
Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств
4
1
2
1
Контрольная работа

5.
Использование свойств числовых неравенств
4
1
2
1



6.
Геометрическое решение алгебраических задач.
4
1
3

Самостоятель.
работа

7.

Применение производной при решении уравнений и неравенств
4
1
2
1


8.
Тригонометрическая подстановка
4
1
2
1
Самостоятельная работа

9.
Обобщающее повторение
2

2

Контрольная работа


13 EMBED Equation.3 1415
Контрольная работа№1 за 1 полугодие

Решить уравнение:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4.13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415

Ответы 1. 0,25 2. 2 3. 4 4. -2; -1,5; -0,5 ; 0,5 ;1,5; 2 5. 0

Самостоятельная работа
I Вариант
Решить уравнение 13EMBED Equation.31415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: 1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 0 3. 2 4.(1;+13 EMBED Equation.3 1415 5. (0;2)

II Вариант
Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 .
Решите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство е13 EMBED Equation.3 1415
Ответы: 1. 0,5 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 2 4.(1;+13 EMBED Equation.3 1415 5. .(0;+13 EMBED Equation.3 1415


Итоговая контрольная работа

Вариант 1
1.Решите уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
4.Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 1415при любом 13 EMBED Equation.3 1415
5.Найти все значения параметра ,для которых неравенство 13 EMBED Equation.3 1415имеет хотя бы одно решение.

Вариант 2
1.Решите уравнение:13 EMBED Equation.3 1415
2. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
4.Решите неравенство:13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 при любом 13 EMBED Equation.3 1415
5.Найти все значения параметра, для которых уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение.


Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».

Вариант 1.
Решить уравнения:
2x + 2-x = 2cos2 13 EMBED Equation.3 1415
a) -2 б) 1 в) 3 г) 0

log2(3+2x-x2)=tg213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
a) 0 б) 1 в) -1 г)2

2sin(x+13 EMBED Equation.3 1415
a) 13 EMBED Equation.3 1415 б) - 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) -13 EMBED Equation.3 1415

(log23)x + (log32)x = 2-cos213 EMBED Equation.3 1415
a) 1 б) 0 в) 3 г)-1

5) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) решений нет г) 13 EMBED Equation.3 1415


Решить неравенства:

6) 13 EMBED Equation.3 1415
а) нет решений б) -1 в) 0 г) 1

7) 13 EMBED Equation.3 1415
а) -13 EMBED Equation.3 1415 б) решений нет в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415

8) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) решений нет


Тест по теме «Применение свойств числовых неравенств».

Вариант 2.
Решить уравнения:

3x + 32-x = 3(1+cos213 EMBED Equation.3 1415

a) -1 б) 1 в) 2 г) решений нет

2) log3 (8+2x-x2) = 2x-1 + 21-x

a) 0 б) -1 в) 2 г) 1

3) 2-cosx = 13 EMBED Equation.3 1415

а) - 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 1 г)2

4) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 0 б) решений нет в) 1 г)-1

tg2x + ctg2x = 2sin213 EMBED Equation.3 1415
a) решений нет б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415

Решить неравенства:

6)13 EMBED Equation.3 1415
а) -1 б) -1;0 в) решений нет г) 0

7) 13 EMBED Equation.3 1415
а) решений нет б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415

8) 13 EMBED Equation.3 1415
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) решений нет
Ответы
1вариант
1
2
3
4
5
6
7
8

г
б
а
б
в
г
в
а

2 вариант
1
2
3
4
5
6
7
8

б
г
б
а
г
б
в
а


Использованная литература

Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – С. 143
Бродский Я.С., Слипенко А.К. Производная и интеграл в неравенствах, уравнениях, тождествах. – К., Выща школа, 1988. – 120с.
Дорофеев Г.М. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – №5 – с. 12-21, №6 – с. 24-30.
Петров В. В. Нестандартные задачи / В. В. Петров, Е. В. Елисеева // Математика в школе. – №8. – 2001. – С. 56-59.
Морозова Е. А. Международные математические олимпиады. Задачи, итоги, решения. Пособие для учащихся / Е. А. Морозова. – М.: Просвещение, 1976. – С. 288.
Мерзляк А. Г. Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – Киев: Агрофирма Александрия, 1993. – С. 59.
Дорофеев Г. В. Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики / Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. – М.: Просвещение, 1976. – С. 640.
Горнштейн П. И. Тригонометрия помогает алгебре / П. И. Горнштейн. – М.: Бюро Квантум, 1995. – С. 100-103. – Приложение к ж. «Квант», №3/95.
Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства / А. Н. Вороной // Математика в школе. – №4. – 2000. – С. 12.
Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2001. – С. 288.
Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин, С.И. Шварцбурд Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для учащихся 10-11 классов средней школы М.: Просвещение, 1976. – С. 47.
Денищева Л. О., Карюхина Н. В., Михеева Т. Ф. ’Учимся решать ур-я и нер-ва’’, 10-11 кл.; Интеллект-центр, М., 2002
В. В. Ткачук ’Математика абитуриенту’’, М., Изд-во МЦНМО, 2006г.
П. И. Самсонов ’Четыре месяца до выпускного экзамена’’, М., ’’Школьная пресса’’, 2003г.
С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. ’Алгебра и начала анализа’’, учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений, М., ’Просвещение’’, 2006г.
Е. В. Галкин “Нестандартные задачи по математике”, учебное пособие для учащихся 7-11 кл. Алгебра, Челябинск, “Взгляд”, 2004г.
А. А. Максютин “Математика-10”, Самара, 2002
C. Г. Молчанов, Р. Я. Симонян “Предпрофильное и профильное образование”, Изд. Дом “Фёдоров”, Изд-во “Учебная лит-ра”, 2006г.
Г. И. Ковалёва, Т. И. Бузумная и др., Математика, тренировочные тематические задания повышенной сложности, Волгоград, Изд-во “Учитель”, 2007г.
Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы, алгебра. Под редакцией М. И. Сканави, М., ОНИКС, 21 век, 2002г.
Мат-ка ЕГЭ-2007, вступит. Экзамены, изд-во “Экзамен”, М., 2005, 2007 г. г.
Т. А. Корешкова, Ю. А. Гладков и др., Математика ЕГЭ, Изд-во “Экзамен”, М., 2005, 2007 г.
С. Н. Богданов, Е. А. Богданова, Г. А. Клековкин, Ю. Н. Неценко, Т. П. Шаповалова “Тренировочные материалы для подготовки К ЕГЭ по мат-ке 2004, Самара, 2004г., 2005г.”
Федеральный центр тестирования, ЕГЭ-2006г., М., ФГУ, 2006г.
Л. О. Денищева, Глазков Ю. А. и др. “ЕГЭ-2007”, Математика, М., изд-во Интеллект-центр, 2007





























13 EMBED Equation.3 1415

С

В

х

у

О

А

r

max

2

3

4

+

-

g’(x)

g(x)

x



 "DFfhjlnrtЄ¬МОРТШЪ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·°
·
·d
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ы
·
·S
·
·
·
·
·a
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ы
·
·S
·
·
·
·
·_
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ы
·
·S
·
·
·
·jRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeуEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeіEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native8Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native+Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native