Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами

Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами
При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод. Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть методику решения задач с параметрами графическими методами: методом сечений и координатно-параметрическим методами с использованием геометрической среды GeoGebra.
Задача 1. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?
Прежде, чем приступать к решению данной задачи графическим методом, необходимо предложить школьникам самостоятельно решить её известным им аналитическим методом.
1 этап. Аналитический метод. Поскольку данное уравнение квадратное, то количество его решений будет зависеть от значения его дискриминанта . Рассмотрим все возможные случаи:
1. Если , т.е. , то уравнение имеет два решения: ;
2. Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение: .
3. Если , т.е. , то уравнение решений не имеет.
Далее, не забываем акцентировать внимание учеников на правильную запись ответа.
Ответ: при уравнение имеет два решения;
при уравнение имеет одно решение;
при решений нет.
2 этап. Решим эту же задачу графическим методом в геометрической среде программы GeoGebra.
Прежде, необходимо школьникам напомнить суть графических методов решения задач с параметрами: метода сечений и координатно-параметрического метода. После приступаем к решению этой задачи несколькими способами.
1 способ. Сначала попробуем решить данную задачу методом сечений. Для этого перепишем уравнение в виде . Далее строим графики функций и в системе координат хОу. График функции представляет собой семейство прямых, параллельных оси Ох.
Произведём это построение в графической среде программы GeoGebra следующим образом:
1. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции и . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов (рис.7).
2. Изменяя значения параметра а, будем получать различное количество решений исходного уравнения:
а) при прямая будет всегда иметь с графиком функции две точки пересечения, следовательно, уравнение имеет два решения;
б) при прямая имеет с графиком функции только одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение;
в) при прямая не имеет с графиком функции точек пересечения, а следовательно, уравнение решений не имеет.

рис. 7
Ответпри уравнение имеет два решения;
при уравнение имеет одно решение;
при решений нет.
2 способ. Решим исходное уравнение координатно-параметрическим методом. Для этого выразим параметр а через переменную х: .
1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.
2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим функцию. После нажатия на клавишу Enter график сразу появится в области графического представления и панели объектов (рис.8).

рис. 8
Записывая ответ, поставим в соответствие каждому фиксированному значению параметра а значение искомой величины х. Для этого график функции «рассекается» горизонтальными прямыми.
Ответ: при уравнение имеет два решения;
при уравнение имеет одно решение;
при решений нет.
Далее, рассмотрим решение ещё одной задачи графическим методом с использованием программы GeoGebra.
Задача 2. Исследовать число решений уравнения в зависимости от величины действительного параметра а.
Решение. Данную задачу будем решать координатно-параметрическим методом.
Воспользовавшись определением абсолютной величины, преобразуем исходное уравнение в каждой из получившихся «частичных» областей. Они получаются делением координатно-параметрической плоскости прямыми .
Произведём это деление в графической среде программы GeoGebra следующим образом:
1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.
2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов. Тем самым разделили координатно-параметрическую плоскость на четыре «частичные» области (рис.9).

рис.9
Далее, преобразуем исходное уравнение для каждой из полученных частичных областей:
1. при исходное уравнение примет вид: ;
2. при исходное уравнение примет вид: ;
3. при исходное уравнение примет вид: ;
4. при исходное уравнение примет вид: ;
Таким образом, исходное уравнение можно заменить равносильной совокупностью смешанных систем:

Теперь строим графики каждой из полученных функций. Для этого:
1. Набираем в строке ввода функцию .
2. Нажимаем Enter. График этой функции (пунктирная прямая линия) появится в области графического представления. Далее необходимо выбрать ту её часть, которая находится в рассматриваемой области (луч АВ), т.е. при . Получим (рис. 10):

рис. 10
3. Аналогично строим графики функций , , и выделяем соответствующие рассматриваемым областям их части. В результате получим следующий график (рис. 11):

рис. 11
4. Далее, при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок, обозначенный l, который будет определять значение изменяемого параметра a.
5. Набираем в строке ввода функцию ;
6. В зависимости от принимаемых параметром а значений, будем получать различное количество решений уравнения .
Так, при прямая l не имеет общих точек пересечения с графиком функции следовательно, решений нет (рис. 12);

рис. 12
При прямая l и график функции имеют одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение (рис. 13);

рис.13
При прямая l пересекается с графиком функции в двух точках. Следовательно при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет ровно два решения (рис. 14);

рис. 14
При прямая l пересекается с графиком функции в трёх точках следовательно, уравнение имеет три решения (рис. 15);
рис. 15
При прямая l имеет с графиком функции четыре общие точки. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет четыре решения (рис.16);

рис. 16
При прямая l имеет с графиком функции три точки пересечения, а следовательно три решения (рис. 17);

рис.17
И, наконец, при прямая l имеет с графиком функции две точки пересечения. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет два решения (рис.18).

рис. 18
Ответ: при – решений нет;
при – три решения;
при – четыре решения;
при – три решения;
при – два решения.
Таким образом, на первых занятиях решения задач с параметрами графическими методами, не нужно принуждать школьников решать задачи графическими методами. Необходимо дать им возможность самостоятельного выбора метода решения той или иной задачи (функционального или аналитического). И только после этого, на примерах в сравнении с аналитическим или функциональным методами показать школьникам преимущества графического метода, того что использование этого метода в совокупности зачастую упрощает и сокращает время решения той или иной задачи с параметром.