Образовательный материал

Управление образования и молодежной политики
администрации Городецкого района

Методическая разработка раздела
учебной программы.
Тема: «Прогрессии».

ВЫПОЛНИЛ:
Должность учитель
ФИО Панкова Светлана Владимировна
Образование высшее
Стаж работы в данной должности 8 лет
Консультант Серова Г. Л.
2010 год
Содержание работы
1.Пояснительная записка…………………………………………………………………..…3
2.Цели и задачи раздела……………………………………………………………………....4
3.Ожидаемые результаты освоения программы…………………………………………….5
4.Поурочное планирование по разделу………………………………………………………6
5.Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоение учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями…………………….7
6.Обоснование образовательных технологий, методов, форм организации деятельности учащихся………………………………………………………………………………………..8
7.Система знаний и система деятельности…………………………………………………..16
8.Разработка урока……………………………………………………………………………..17
9.Список литературы…………………………………………………………………………..22
Приложения…………………………………………………………………………………….23
Пояснительная записка
Цель современного образования – предельно достижимое развитие тех способностей личности, которые нужны и ей, и обществу, формирование социально активной личности, обеспечение ее возможностей эффективного самообразования. Основной целью образования является становление и развитие творческой личности, она же является главной и при обучении математике.
При таком подходе математическое образование выступает как средство реализации главной цели, как средство развития личности. Последнее включает в себя развитие всех психических процессов. Поэтому, развитие мышления учащихся – одна из основных задач современного школьного обучения. Зная психолого-дидактические закономерности, учитель может путем видоизменения внешних условий координировать внутренние процессы, протекающие в сознании учащихся, у педагога возникает возможность целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учеников. Тем самым учитель может выбирать различные методики обучения.
В данной работе приведена методическая разработка раздела учебной программы по теме «Прогрессии». Глава «Прогрессии» рассматривается после изучения глав «Рациональные неравенства и их системы», «Системы уравнений», «Числовые функции». Учебный план по алгебре 9 класса рассчитан на 102 учебных часа (из них 16 часов на главу «Прогрессии») при 3 часах в неделю.
Тема «прогрессии» является заключительной темой курса алгебры девятого класса. Основной целью изучения этой темы является «знакомство» с понятием последовательности, как некоторым упорядоченным набором чисел, способом ее задания, подробное рассмотрение особых числовых последовательностей – арифметической и геометрической прогрессии.
Методическая разработка содержит несколько разделов: пояснительную записку; цели и задачи раздела; ожидаемые результаты освоения программы; поурочное планирование по разделу; психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями; обоснование образовательных технологий, методов, форм организации деятельности учащихся; систему знаний и система деятельности; разработку урока; список литературы и приложения.
Цели изучения раздела «Прогрессии»
Основная цель главы – сформировать понятие последовательности, основные способы ее задания, подробно рассмотреть арифметическую и геометрическую прогрессии, как частные случаи последовательностей, познакомить с характеристическими свойствами прогрессий, показать учащимся их применение к решению задач.
Развитие логического мышления, умения оценивать свои возможности, рефлексировать свои действия, умения самостоятельно ставить и решать учебные задачи, развивать интерес к учению.
Воспитание эмоционально-ценностного отношения к учебной деятельности, формирование интереса к предмету математики через исторические факты и занимательные задачи по теме «Прогрессия».
Задачи раздела «Прогрессии»
Обучающие: сформировать понятие «числовая последовательность» и основные способы ее задания, изучить арифметическую и геометрическую прогрессии как числовые последовательности особого вида, познакомиться с формулами n-го члена и формулами суммы членов арифметической и геометрической прогрессии, изучить их характеристи-ческие свойства и сформировать навыки их применения при решении задач, познакомиться с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Развивающие: развитие представления о числовых последовательностях, сформировать практические навыки выполнения устных и письменных вычислений (вычислительную культуру).
Воспитывающие: воспитывать культуру личности, волю, настойчивость, умение добиваться поставленной цели.
Ожидаемые результаты освоения раздела программы
Раздел «Прогрессии» является одним из ключевых в курсе алгебры 9 класса. Понятие последовательности находит широкое применение и в дальнейшем: при определении степени с действительным показателем, при введении понятия определенного интеграла и т.д.
Таким образом, в результате изучения раздела «Прогрессии» ученик должен знать:
- определение арифметической и геометрической прогрессий;
- основное характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессии;
- формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии;
- формулу суммы n-первых членов арифметической и геометрической прогрессии.
Ученик имеет представление о:
-последовательности, как некотором упорядоченном наборе чисел;
- способах задания последовательности;
- бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Ученик умеет:
- определять, является ли данная последовательность арифметической или геометрической прогрессией;
- определять, является ли число членом арифметической или геометрической прогрессии;
- находить n-ый член арифметической или геометрической прогрессии;
- применять формулу суммы первых n членов арифметической или геометрической прогрессии при решении задач.
Поурочное планирование по разделу «Прогрессии»
Содержание обучения.
Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.
Предлагаемые программы по алгебре составлены в соответствии с требованиями федерального компонента Государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике. Они позволяют получить полное представление о целях и содержании обучения алгебры в 7 – 9 классах. Авторские программы составлены в соответствии с требованиями, предъявляемыми к базовому уровню обучения. При этом авторами программ и учебников предлагаются различные структуры учебного материала, которые определяют последовательность изучения материала в рамках стандарта для основной школы.
Планирование раздела «Прогрессии» разными авторскими коллективами.
Авторы учебников Количество
часов
Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешников, С.Б. Суворова 15
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, С.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин14
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин14
Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева 17
А.Г. Мордкович, П.В.Семенов16
Я преподаю в 9-х классах средней общеобразовательной школы. Поурочное планирование по алгебре 9 класса по разделу « Прогрессии» взято мной из книги «Программы. Математика .5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы/авт.-сост.И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович» (3 часа в неделю, всего 102 часа) по учебнику Алгебра, 9 класс (учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.:Мнемозина, 2010.)Номер § Содержание материала Количество часов
Глава 4. Прогрессии 16
§ 15 Числовые последовательности 4
§ 16 Арифметическая прогрессия 5
§ 17 Геометрическая прогрессия 6
Контрольная работа № 5 1
Психолого - педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала учащимися в соответствии с возрастными особенностями.
В процессе обучения математике участвуют с одной стороны – учитель, с другой стороны - ученик, при этом учитель организует, направляет и руководит учебным процессом, а ученик должен учиться, выполнять все требования учителя.
Все знают, что при обучении надо учитывать возрастные особенности учащихся. Подростковый возраст – это весьма сложный, таящий в себе опасность, период в жизни ученика. Подросток становится менее зависимым от взрослых, и это зачастую отрицательно сказывается на отношении учащихся к учению. Дети в этом возрасте часто относятся к учению благодушно, выполняют уроки только в пределах заданного, часто находят поводы для развлечения. Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности. Самостоятельное открытие знаний, преодоление трудностей вызывает чувство удовлетворения, гордости, успеха и создает благоприятный эмоциональный фон, способствующий повышению интереса к предмету. Поддержанию и развитию интереса к предмету так же способствует применение исторического материала, создание проблемных ситуаций, применение разнообразных форм самостоятельной работы, творческих и практических работ, исследовательский подход к изучаемому материалу. Многое зависит и от самого учителя, от его умения преподнести материал и создания благоприятной атмосферы для обучения. Учитель должен быть готов всегда прийти на помощь ученикам, верить в их силы и возможности, быть требовательным и справедливым. Учитель должен отлично владеть своим предметом, применять современные педагогические технологии в образовательном процессе. Учащимся нравится, когда урок отличается быстрым темпом, ясностью изложения материала и воодушевлением самого учителя.
Обоснование образовательных технологий, методов и форм организации деятельности учащихся.
Анализ теоретического и задачного материала показал, что в разделе «Прогрессии» можно выделить следующие дидактические единицы:
Новая математическая модель – числовая последовательность (функция натурального аргумента).
Новые термины математического языка: числовая последовательность, n-й член последовательности; монотонная (возрастающая, убывающая) последовательность; арифметическая прогрессия, разность арифметической прогрессии; геометрическая прогрессия, знаменатель геометрической прогрессии, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.Теоремы – формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии, формулы суммы членов конечной арифметической и геометрической прогрессии, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии.
Ключевые задачи по данной теме можно разбить на несколько групп:
1.Задачи, в которых числовая последовательность задана формулой и нужно доказать, что она является арифметической или геометрической прогрессией.
2.Задачи, в которых необходимо показать, что число является членом арифметической или геометрической прогрессии.
3.Задачи, в которых необходимо записать формулу n-го члена арифметической или геометрической прогрессии.
4.Задачи на нахождение n-го члена арифметической или геометрической прогрессии.
5. Задачи на нахождение суммы n-первых членов арифметической или геометрической прогрессии.
6.Содержательные задачи, т.е. задачи, в которых ничего не говорится о прогрессии, но она используется при их решении. Это задачи повышенной трудности.
7.Задачи-теоремы. Это задачи повышенной трудности.
В связи с тем, что теоретический и задачный материал по теме «Прогрессии» очень объемный, его можно разделить на три основных блока: «Числовые последовательности» (§ 15), «Арифметическая прогрессия» (§ 16), «Геометрическая прогрессия» (§ 17) и изучать их соответственно поэтапно.
Блок 1. «Числовые последовательности» (4 часа)
Цели: познакомить учащихся с понятием «числовая последовательность», ее определением и обозначением, с тремя способами ее задания; формировать у учащихся навыки распознания числовых последовательностей, навыки нахождения n-го члена по заданным формулам и составления формул по заданным свойствам; познакомить со свойством монотонности числовых последовательностей.
Поскольку в учебнике А.Г. Мордковича последовательности рассматриваются как функции натурального аргумента, то изучение нового материала можно начать так: 4 учащихся получают индивидуальные карточки для работы у доски, а с остальными учащимися учитель работает фронтально, проводится теоретический опрос:
- Что такое функция?
- Дать определение области определения функции, области значения функции?
- Каковы способы задания функции?
- Приведите примеры известных вам функций, назовите их области определения.
Карточки для работы на доске:
1 карточка: Построить график функции у = х2, х ∈ 0;2.
2 карточка: Построить график функции у = х2, х ∈ 0; ∞).
3 карточка: Построить график функции у = х2.
4 карточка: Построить график функции у = х2, х ∈ N.
После того, как чертежи будут выполнены на доске, учитель предлагает вопросы для их обсуждения:
- Чем отличаются построенные графики?
- Какова область определения каждой из функций?
- Область определения четвертой функции – множество N. Как это повлияло на график?
Вывод: график состоит из отдельных точек, математики говорят из «изолированных точек» и такие функции называют функцией натурального аргумента.
Рассматривая график 4, ответьте на вопрос: Какие значения принимает функция при х = 1, х = 2, х = 3, х = 4, х = n.
Учитель пишет на доске: f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, f(4) = 16, f(n) = n2 или у1 = 1, у2 = 4, у3 = 9, уn = n2. Полученные числа можно записать последовательно одно за другим 1, 4, 9, 16, n2, получив последовательность чисел, значения у1, у2, у3, у4 называют членами последовательности.
Далее учитель дает определения числовой последовательности, вводит ее обозначение, а так же знакомит учащихся с тремя основными способами ее задания: аналитическим, словесным и рекуррентным.
Для закрепления этого материала можно провести математический диктант.
Вариант 1. Вариант 2.
1.Является ли числовой последовательностью функция, заданная формулой:
а) у = 3х + 1, х ∈ Z а) у = 5х2 + 2, х ∈ N
б) у = 4х-1x2 , х ∈N б) у = 2х+13 , х ∈N2.Найдите пять первых членов последовательности чисел:
кратных пяти являющихся квадратами натуральных чисел
3.Назовите члены последовательности аn, которые расположены между:
а) а103 и а106; б) аn + 2 и an + 6 а) а213 и а216; б) аn + 6 и an + 10
4.Числовая последовательность задана аналитически формулой
Хn = n2 + 1, найдите ее шестой член Хn = n2 – 15, найдите ее пятый член
5.Выпишите первые четыре члена последовательности, если:
Х1= 1, Хn = 2 + Xn – 1, (n = 2, 3, 4…) X1 = 3, Xn= Xn – 1 – 2 , (n = 2, 3, 4…)
Введение понятия монотонной последовательности можно начать с проведения практической работы. Класс разбить на 4 группы. Выполнение заданий идет по индивидуальным карточкам (карточки для работы в группах расположены в приложении 1), затем группы сверяют ответы. Далее учитель задает общие вопросы к заданиям карточек:
- Сравните первый член последовательности со вторым, второй с третьим, третий с четвертым, n член с n + 1 членом. Что происходит с членами?
- Как можно было бы назвать последовательность, у которой последующий член возрастает (убывает) по сравнению с предыдущим?
- Попытайтесь дать определение возрастающей и убывающей последовательности.
В начале определения дают учащиеся, а затем учитель.
В качестве устной работы можно предложить следующие задания:
1.Назовите член последовательности Уn, который:
а) следует за у31, уn, yn + 9, y2n; б) предшествует члену у91, у639, уn – 1, y3n.
2.Члены некоторой последовательности аn + 1, an – 2, an, an + 2, an – 1 назовите в том порядке, в котором они должны располагаться в этой последовательности.
3.Под какой буквой записана математическая модель числовой последовательности:
а) f(x) = x + 3; б) f(x) = x + 3, x∈ N; в) f(x) = x + 3, x ϵ Q; г) f(1,2), f(1,3), f(1,4), …,f(x) = x + 3.
4.Последовательность 7, 14, 21, 28, 35, …задана формулой
а) аn = 7n + 2; б) an = 7n ; в) an = 7n; г) an = 7n5.Числовая последовательность, первый член которой равен 2, а каждый последующий, начиная со второго, равен предыдущему минус 5, задана рекуррентной формулой:
а) аn – 1 = an – 5; б) an + 1 = an – 5; в) an = 5 – an – 1
6.Среди последовательностей укажите возрастающую, убывающую, стационарную
а) 3; 5; 7; 9; 11;… б) 5; 5; 5; … в) -3; 4; -8; 4;… г) -1; -2; -3; -4;…
На последнем уроке учащимся предлагается выполнить тест (см. приложение 2), позволяющий проверить умения и навыки решать задачи по данной теме.
Блок 2. «Арифметическая прогрессия» (5 часов)
Цели: изучить арифметическую прогрессию как числовую последовательность особого вида, научить применять формулу n-го члена и формулу суммы членов конечной арифметической прогрессии, познакомить с характеристическим свойством арифметической прогрессии, доказать его и сформировать навыки его применения при решении задач.
Так как теоретический и задачный материал по теме очень объемный, то его изучение можно спланировать следующим образом: на 1 и 2 уроках ввести понятие арифметической прогрессии и изучить формулу n-го члена; на 3 уроке – вывести формулу суммы конечной арифметической прогрессии; на 4 уроке - познакомить учащихся с характеристическим свойством арифметической прогрессии; а на 5 уроке – систематизировать и обобщить материал по теме «Арифметическая прогрессия».
Первый урок по данной теме можно начать с устной работы:
- Последовательность задана рекуррентным способом. Вычислите ее первые пять членов:
а) Х1 = 3, Хn = Хn – 1 + 5 (n = 2, 3, 4,…) б) Х1 = 11, Хn = Xn – 1 – 4 (n = 2, 3, 4,…)
- Что, вы можете сказать о членах этих последовательностей?
Далее учитель говорит, что мы рассмотрели 2 примера особого вида последовательности, который имеет название арифметическая прогрессия и вводит ее определение и обозначение, затем учащиеся совместно с учителем выводят формулу n-го члена.
На втором уроке необходимо показать учащимся, что арифметическую прогрессию
можно рассматривать как линейную функцию y = dx + m, заданную на множестве натуральных чисел. На этом же уроке можно провести математический диктант, ответы которого заранее заготовлены на доске. Учащиеся проверяют работы друг друга.
Диктант.
Вариант 1 (2)
1. У арифметической прогрессии первый член 4 (6), второй 6 (4). Найдите разность.
2. У арифметической прогрессии первый член 6 (4), второй 2 (6). Найдите ее третий член.
3. Найдите десятый (восьмой) член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность d равна 4 (5).
4. Является ли последовательность четных (нечетных) чисел арифметической прогрессией?
5. bn- арифметическая прогрессия. Выразите через b1 и d члены b10 ; b100 ; bk ; bk + 1. (b20 ; b200 ; b2k ; d2k + 2)
В начале следующего урока можно провести тест (см. приложение 3) с последующей взаимопроверкой под контролем учителя.
Для вывода формулы суммы членов конечной арифметической прогрессии учащимся можно предложить устно найти сумму чисел циферблата часов, а так же по аналогии сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно, при этом можно отметить, что немецкий математик 19 века Карл Фридрих Гаусс решил этот пример в возрасте 5 лет за минуту, заметив закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Для закрепления характеристического свойства арифметической прогрессии полезно рассмотреть такие задания:
1.Найти пятый член арифметической прогрессии, если
а) а4 = 3, а6 = 7 ; б) а4 = – 2, а6 = – 8
2.Найти а5 + а6 + а7, если а) а6 = 11 ; б) а5 + а7 = 10
На последнем уроке необходимо систематизировать и обобщить материал по теме «Арифметическая прогрессия» в ходе решения более сложных задач по данной теме. На этом же уроке можно провести самостоятельную работу по перфокартам (см. приложение 4), которые позволяют легко проверить эту работу на уроке.
Блок 3. «Геометрическая прогрессия» (6 часов)
Цели: изучить геометрическую прогрессию как числовую последовательность особого вида, научить применять формулу n–го члена геометрической прогрессии и формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, познакомить с характеристическим свойством геометрической прогрессии, доказать его и сформировать навыки его применения при решении задач, ознакомление учащихся еще с одним видом последовательностей – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Для удобства изучение этой темы строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем блоке.
На первом уроке необходимо ввести определение геометрической прогрессии, понятия возрастающей и убывающей геометрических прогрессий. Начать урок можно с рассмотрения практической задачи.
- Нам дан равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
-241301841500- Чему будет равна сторона второго треугольника?
7569203187700053784531877000756920318770003092453187700030924531877000- Продолжая аналогичные построения, мы получим так же
53784524701500равносторонние треугольники, а чему будут равны их стороны?
- Запишем длины сторон этих треугольников в виде последо-
вательности: 4, 2, 12 , 14 , 18 , …
- Как связаны члены этой последовательности, начиная со второго с предыдущим?
- Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями и обозначаются b1 , b2 , b3 , …, bn , …Попытайтесь сами сформулировать определение геометрической прогрессии.
В начале второго урока 3 учащихся работают по индивидуальным карточкам, остальные работают устно, решая задачи (фронтальная работа с классом).
Индивидуальные задания по карточкам.
1 уровень
1.Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = – 16, q = 12 .
2.Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие убывающими?
а) 2, - 6, 18, - 54, …; б) 12 , 14 , 18 , 116 ,…; в) - 9, - 3, - 1, - 13, …
2 уровень
1.Зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6 ; 0,8 ; …, найдите следующие за ними четыре члена.
2. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие убывающими?
а) 13 , 1, 3 , 3, … б)-52 , 52 ,-52 , 52 ,…
3 уровень
1.Найдите обозначенные буквами члены геометрической прогрессии (bn): b1 , b2 , 225 , - 135 , 81, b6 , …
2. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие убывающими?
а) 132 , 16 , 162 , …; б) – 5 , – 57 , -35 , -357 , …
На третьем уроке необходимо вывести формулу суммы n-членов геометрической прогрессии. Для этого можно использовать легенду о шахматах (см. приложение 5).
На четвертом уроке необходимо познакомить учащихся с характеристическим свойством геометрической прогрессии и рассмотреть его применение при решении задач.
На пятом уроке необходимо познакомить учащихся еще с одним видом последова-тельностей – бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Так как в учебнике нет этого материала, а так же в целях экономии времени целесообразно по данному материалу провести лекцию, по ходу которой обратить особое внимание на решение задач. В конце урока можно провести самостоятельную работу по тестам.
Вариант 1.
1.Найдите первый член геометрической прогрессии: b1, b2 , 4 , -8, …
а) 1; б) - 1; в) 28 ; г) 12 .
2.Дана геометрическая прогрессия: 1 , 32 , … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного 72964 .
а) 5 ; б) 6 ; в) 7 ; г) нет такого номера
3.Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, заданной формулой bn = 3n – 2 .
а) 7283 ; б) 7276 , в) 727 2 , г) 3643 .
4.Третий член геометрической прогрессии равен 2, а шестой равен 54. Найдите первый член прогрессии.
а) 1 ; б) 6 ; в) 23 ; г) 29 .
5.Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого ее членов равна – 20. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?
а) 126 ; б) - 42 ; в) - 44 ; г) - 48 .
Вариант 2.
1.Найдите первый член геометрической прогрессии: b1, b2 , 3, - 9,…
а) - 3; б) - 1; в) - 13 ; г) 13 .
2.Дана геометрическая прогрессия: 1 , 12 , … . Найдите номер члена этой прогрессии, равного 332 .
а) 5 ; б) 4 ; в) 6 ; г) нет такого номера.
3.Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, заданной формулой bn = 2n – 2 .
а) 1273 ; б) 63,5 , в) 127 4 , г) 32 .
4.четвертый член геометрической прогрессии равен 3, а седьмой равен 81. Найдите первый член прогрессии.
а) 1 ; б) 3 ; в) 13 ; г) 19 .
5.Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 90, а сумма второго и четвертого ее членов равна – 30. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?
а) - 182 ; б) 1823 ; в) 182,5 ; г) - 182,5
В качестве домашнего задания можно раздать тесты по теме «Геометрическая прогрессия» в двух вариантах (см. приложение 6), за выполнение которых они получат оценку в журнал.
На последнем уроке необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Прогрессии», подготовить учащихся к контрольной работе. Разработка такого урока представлена далее.
Система знаний и система деятельности
Тема «Прогрессии» очень важна в курсе алгебры 9 класса. При ее изучении формируются основные знания, умения и навыки работы с числовыми последовательностями. Фундаментальные знания по теме включает в себя следующие понятия: числовая последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.
В результате изучения темы «Числовые последовательности» учащиеся должны знать определение числовой последовательности, ее обозначение и три основных способа ее задания, а также уметь распознавать числовые последовательности, находить n-ый член по заданным формулам и составлять сами формулы по указанным свойствам, уметь определять возрастание и убывание числовой последовательности.
В результате изучения тем «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия» ученик должен знать определения и основные характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их n-го члена и формулы суммы n-первых членов и уметь применять эти формулы при решении задач.
Система деятельности включает:
1.Познавательная деятельность: интеллектуальные мыслительные операции (анализ, синтез, обобщение, аналогия), наблюдение, постановка проблемных ситуаций.2.Общеучебная деятельность: организация учебного места, способы поиска информации, работа с литературой, навыки общения (монолог, диалог, умения слушать и задавать вопросы), организация работы в группах, взаимопроверка, взаимооценка.
3. Самоорганизующая деятельность: постановка целей, техника планирования, самоконтроль.
Разработка урока по теме «Прогрессии»
Тип урока: урок – семинар
Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Прогрессии» и тем самым подготовить учащихся к контрольной работе; ознакомление учащихся с историческим материалом.
Оборудование: мультимедийный проектор, раздаточный материал.
Предварительная подготовка: перед уроком учащиеся делятся на четыре группы. При этом силы всех четырех групп должны быть примерно одинаковыми.
К этому уроку учитель готовит карточки с заданиями следующего содержания:
Задача 1. Служившему войну дано вознаграждение: за первую рану – 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По истечению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.
Задача 2. Некто продал лошадь за 156 руб., но покупатель раздумал ее покупать и возвратил лошадь продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил следующее: «Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За один гвоздь дай мне 14 копейки, за 2 - 12 копейки, за 3 – 1 копейку и т.д.» Покупатель, соблазненный ценой и, желая даром получить лошадь принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. За сколько же он купил лошадь?
Задача 3. «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми, разность между каждым человеком и его соседом равна 18 меры». Сколько получит последний?
Задача 4. «Десять братьев и 123 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько не знаю. Доля восьмого брата равна 6. Указание к задаче: одна мина равна 60 шекелям (мера массы); 123 мины равна 100 шекелям.
Ход урока
1.Организационный момент
Ребята, сегодня у нас необычный урок, мы проведем урок семинар по теме «Прогрессии», цель которого обобщить и систематизировать знания по данной теме и тем самым подготовиться к контрольной работе. Для этого вы разделились на четыре группы и работать будете совместно, а для этого нужна взаимовыручка, взаимоподдержка, умение слушать друг друга. Надеюсь, ваша совместная работа будет именно такой.
2.Актуализация знаний учащихся
- Ребята, мы «подошли» к концу изучения темы «Прогрессии». Давайте «оглянемся» назад и вспомним, что нового вы узнали на этих уроках, чему научились (узнали определения и характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии, научились находить их суммы и решать задачи).
- Под скрип пера о лист бумаги
Заполните сии листы
Да, помогут вам ваши знания!
Раздаются заготовки листов для проверки знаний теории по теме «Прогрессии».
№ Прогрессии Арифметическая прогрессия (аn) Геометрическая прогрессия (bn)
1. Определение 2. Формула n-го члена 3. Сумма n первых членов прогрессии 4. Характеристическое свойство Ученики заполняют таблицу. На экране появляется следующая таблица.
№ Прогрессии Арифметическая прогрессия (аn) Геометрическая прогрессия (bn)
1. Определение an + 1 = an + d bn + 1 = bn q (q ≠0,q ≠1)
2. Формула n-го члена an = a1 + d(n – 1) bn = b1 qn3. Сумма n первых членов прогрессии Sn = (a1+ an)2 n Sn = b1(qn- 1)q-14. Характеристическое свойство an = an-1+ an+12bn = bn-1 ∙ bn+1-Зная, эти формулы можно решить много интересных задач. Можете ли, вы теперь решить любую задачу на прогрессии? (Нет)
- Тогда, как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Решать более сложные задачи по этой теме).
-Сейчас каждая группа получит по одной задаче. Вы должны решить ее и выбрать докладчика, который будет объяснять ее решение у доски для всех остальных учащихся.
3. Решение задач
Учащиеся решают полученные задачи.
-Как вы думаете, изучив тему «Прогрессии», все ли вы знаете об этих последовательностях? (Нет)
-Значит, сегодня на уроке вы узнаете что-то новое и интересное о прогрессиях. Ребята, сейчас перед вами выступит ваш одноклассник с небольшим сообщением, давайте его внимательно послушаем. (Термин прогрессия (от лат. Progression – движение вперед) был введен римским автором Боэцием (5-4 в). Тогда под прогрессией понимали любую числовую последовательность, построенную таким образом, чтобы имелась возможность неограниченно ее продолжать в одном направлении. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Равенство вида ak – 1 – ak = ak – ak + 1 они называли непрерывной арифметической пропорцией. Из этих равенств следует, что
ак = ак-1+ ак+12, т.е. этими соотношениями выражаются характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессиями).
- В одном из старинных русских учебников математики, который носит пространное заглавие «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык – Юнкером «Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтеховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике» (1795 г.) встречается следующая задача.
Далее группа, которая работала над задачей 1, зачитывает ее текст и приводит свое решение, которое остальные учащиеся фиксируют в тетрадях.
15665456985000Дано: Решение:
1; 2; 4;… - геом. пр., Sn = b1(qn- 1)q-1, bn = b1 qnSn = 65 535, 2bn- 12-1 = 65 535
q = 2, bn = 32 768
-12890526543000b1 = 1, 2n – 1 = 32 768
n = ? 2n – 1 = 215
n = 16
Ответ: n = 16.
- При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 рублей 35 копеек.
- Перейдем к задаче, которую решала 2 группа.
163322030289500Группа, которая работала с задачей 2, приводит свое решение.
Дано: Решение:
14 ; 12 ;1 ;… - геом. пр., Sn = b1(qn- 1)q-1, bn = b1 qn
-12890542672000b1 = 14 , q = 2, n = 24, S24 = 224-3∙2- 142-1 = 222 - 14 ≈ 42 000 рублей
Sn = ? Ответ: 42 000 рублей.
- Да, при таких условиях не было обидно отдать и лошадь в придачу! Ребята, а знаете ли вы, что еще в древности ученые рассматривали числовые последовательности, которые мы сегодня называем прогрессиями. Так, на египетских папирусах и клинописных табличках вавилонян, относящихся ко 2 тысячелетию до н.э., встречаются задачи, в которых исследуются последовательности, являющиеся арифметическими прогрессиями. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса.
Группа, которая работала с задачей 3, показывает свое решение.
14046208191500Дано: Решение:
Ариф. пр ., Sn = 2a1+ n-1d2 ∙nS10 = 10, 2 ∙ a1+982 ∙10 = 10
d = 18, a1 = 716-11938030226000n = 10 an = a1 + d(n – 1)
a10 = ? a10 = 716+ 98=1916 Ответ: 1916 меры.
- При решении этой и аналогичных задач египтяне использовали правило, которое на нашем языке можно записать так: а1 = Sn-n-1∙ d2 .
Из этой формулы получается знакомая нам формула суммы членов арифметической прогрессии Sn = 2a1+ n-1d2 ∙n или Sn = (a1+ an)2 n.
А вот задача, которая встречается на клинописных табличках вавилонян.
Группа, решающая задачу 4, рассказывает ее решение.
1547495-317500Дано: Решение:
Ариф. пр., an = a1 + d(n – 1)
Sn = 100 (123 мины), а1 + 7d = 6 ⇒ a1 = 6 – 7d
an = 6, Sn = 2a1+ n-1d2 ∙n,
-23368031559500n = 10, 2а1+ 9d2 ∙10 = 100
d = ? 2a1 + 9d = 20
2(6 – 7d) + 9d = 20
12 – 5d = 20
d = – 135
Ответ: d = – 135Как видите, вавилоняне так же решали задачи на прогрессии при этом уровень развития арифметики у вавилонян был достаточно высок.
4. Домашнее задание
- Итак, ребята, наш урок подошел к концу. Дома вам надо будет решить следующие задачи:
Задача 1*. Музыкальная октава делится на 12 равных интервалов – полутонов. Частота каждого последующего звука приблизительно в 1,059 раза больше частоты предыдущего. Во сколько раз нота «соль» выше ноты «до» той же октавы?
Задача 2*. Рост дрожечных клеток происходит делением каждой клетки на 2 части. Сколько стало клеток после десятикратного деления, если первоначально было а клеток?
Задача 3*. Настенные русские часы с кукушкой, устроены так, что кукушка кукует 1 раз, когда часы показывают половину очередного часа и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько раз прокукует кукушка за сутки?
5. Подведение итогов
- Ребята, скажите, что вы узнали нового на этом уроке? Что вам понравилось? Что вас удивило? На следующем уроке будет контрольная работа, как вы думаете, готовы ли вы к ней?
Список литературы
1.А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010.- 224 с.
2. А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010.223 с.
3.Е. И. Сычева, А. В. Сычев. Тестовые задания по математике: Алгебра 9 кл. – М.: Школьная пресса, 2006.- 62 с.
4.И. В. Абельсон. Две прогрессии.- М.: Академия наук СССР,1938.- 164 с.
5. Л. А. Александрова. Алгебра 9 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений/ Под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.- 40 с.
6. О. В. Занина, И. Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре к учебному комплекту А. Г. Мордковича: 9 класс. – М.: ВАКО, 2007.496 с.
7. Программы. Математика. 5-6 классы. Алгебра. 7-9 классы. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / авт. – сост. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, М.: Мнемозина, 2009. – 63 с.
8. С. Акимова. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997 – 608 с.
9. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова; под ред. проф. Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: НГПУ, 2003.
10. Я. И. Перельман. Занимательная алгебра. - М.: Триада-Литера, 1993.- 167 с.
11Я. И. Перельман. Живая математика. - М.: Триада-Литера, 1994.- 174 с.

Приложение1Карточка 1
1.Найти у1, у2 , у3, у4, у5, …,уn, уn + 1 , если последовательность задана формулой:
а) уn = 2n – 1 ; б) yn = 1n2.
2.Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам: 2, 2, 2, 2, 2, …
Карточка 2
1.Найти у1, у2 , у3, у4, у5, …,уn, уn + 1 , если последовательность задана формулой:
а) уn = 2n + 1 ; б) yn = 1n.
2.Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам: 5; - 5; 5; -5; 5; …
Карточка 3
1.Найдите первые пять членов, n член и n + 1 член последовательности, заданной формулой:
а) уn = 2n ; б) уn = 13n.
2.Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым ее пяти членам: -23, 45, -67, 89, - 1011, … .
Карточка 4
1. Найдите первые пять членов, n член и n + 1 член последовательности, заданной формулой:
а) уn = 3n ; б) уn = 12n.
2.Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым ее пяти членам: 25, - 410, 815, -1620, 3225, … .
Приложение 2
Вариант 1
1.Найдите седьмой член последовательности yn = n+2n2- 13 :а) 23 ; б) 14 ; в) -14 ; г) -23 .
2.Найдите шестой член последовательности, заданной рекуррентным способом у1 = 2, уn = yn – 1 + 4 (n = 2, 3, 4, …)
а) 30; б) 18; в) 22; г) 26.
3.Подберите формулу n-го члена последовательности 21, 3 3, 45, 57, 69,…
а) n+12n-1 ; б) n2n-1 ; в) n+12n+1 ; г) n+1n+2 .
4.Сколько членов последовательности 4, 8, 12, 16, … меньше числа 93?
а) 24; б) 21; в) 22; г) 23.
5. у1 = 1, y2 = 2, yn = 3yn – 2 + 2yn – 1 (n = 3, 4, 5, …) Найдите n, если известно, что уn = 182.
а) нет такого номера; б) 6; в) 5; г) 7.
Вариант 2
1.Найдите девятый член последовательности уn = n2+ 1n-7а) 41; б) - 41; в) 5; г) - 5.
2.Найти пятый член последовательности, заданной рекуррентным способом у1 = 12 , уn = уn – 1 (n = 2, 3, 4, …)
а) 4; б) 8; в) 16; г) 1.
3.Подберите формулу n-го члена последовательности -22, 45, -68, 811, - 1014, … .
а) (– 1)n 2n3n-1 ; б) 2n3n-1 ; в) 2n2n-1 ; г) 2n3n+1 .
4.Сколько членов последовательности 3, 6, 9, 12, …. меньше числа 95.
а) 33; б) 32; в) 31; г) 30.
5. у1 = 2, y2 = 1, yn = 2yn – 2 + 3yn – 1 (n = 3, 4, 5, …) Найдите n, если известно, что уn = 83.
а) 4; б) 6; в) 5; г) нет такого номера.
Номер 1 2 3 4 5
Вариант 1 Б В А Г Б
Вариант 2 А Б А В В
Приложение 3
Вариант1 Вариант 2
1.Среди функций, заданных на множестве N арифметической прогрессией, является:
а) у = х2 + 7; б) у = 3х + 8; а) у = 8 – х; б) у = 2х2;
в) у = х2; г) у = 2х + 7. в) у = 8 + 2х; г) у = х2 – 2.
2.Дана арифметическая прогрессия:
– 1, 1, 3, 5, 7, … . 9, 7, 5, 3, 2, … .
Найдите ее первый член и разность.
а) а1 = 1, d = 7; б) а1 = – 1, d = 2; а) а1 = 2, d = 3; б) а1 = 9, d = 2;
в) а1 = – 1 , d = – 2 ; г) а1 = – 1, d = 6. в) а1 = 9 , d = – 2 ; г) а1 = 9, d = 16.
3.Дана арифметическая прогрессия, у которой:
а1 = 23 , d = 34 a1 = 0,2 , d= 13ее семнадцатый член равен: ее тринадцатый член равен:
а) 12 23 ; б) - 11 13 ; в) - 12 23 ; г) 503 . а) - 4,2; б) 4,2; в) – 3,8; г) 36,2 .
4.Дана конечная арифметическая прогрессия аn . Найдите а1, если известно, что
d = - 0,6 , n = 17 , an = 9,5. d = - 0,3 , n = 15 , an = - 2,94
а) 19,1; б) – 19,1; в) 1,91; г) 191. а) – 1,26; б) 1,26; в) 12,6; г) 126.
5.Найдите разность арифметической прогрессии, у которой
a1 = 5 58 , an = 1 14 , n = 36. a1 = 3,6 , an 0 , n = 37.
а) 0,125; б) 1,25; в) -18 ; г)8. а) 10; б) 0,1; в) 1; г) – 0,1.
Номер 1 2 3 4 5
Вариант 1 Г Б А А Г
Вариант 2 А В Б Б Г
Приложение 4
Вариант 1
1.Найдите четвертый член арифметической прогрессии: 13, 9, …
1) 0; 2) 1; 3) 6; 4) – 1.
2.Дана арифметическая прогрессия - 3,5; - 2; … Найдите номер члена, равного 59,5.
1) 44; 2) 34; 3) 43; 4) нет такого номера.
3.Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn = 6n + 2.
1) 848; 2) 864; 3) 792; 4) 716.
4.Сумма второго и третьего членов арифметической прогрессии, равна 16, а разность прогрессии равна 4. Найдите первый член прогрессии.
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 2.
Вариант 2
1.Найдите первый член арифметической прогрессии: а1, а2 , 4, 8, …
1) 1; 2) – 4; 3) 12; 4) – 1.
2.Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6; … Найдите номер члена, равного - 15,8.
1) 14; 2) 17; 3) нет такого номера; 4) 16.
3.Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn = 5n – 1.
1) 470; 2) 510; 3) 511; 4) – 510.
4.Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.
1) 2; 2) – 1; 3) 1; 4) 0.
Вариант 3
1.Найдите пятый член арифметической прогрессии 15, 8, …
1) – 13; 2) 1; 3) – 6; 4) 7.
2.Дана арифметическая прогрессия 4,2; 2,4; … Найдите номер члена, равного - 4,8.
1) 5; 2) 4; 3) нет такого номера; 4) 6.
3.Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии заданной формулой аn = 4n + 1.
1) 648; 2) 324; 3) 560; 4) 360.
4.Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 14, а разность прогрессии равна 4. Найдите первый член этой прогрессии.
1) 1; 2) 2; 3) – 1; 4) – 2.
Вариант 4
1.Найдите первый член арифметической прогрессии: а1, а2 , 3, 7, …
1) 4; 2) – 1; 3) 19; 4) – 5.
2.Дана арифметическая прогрессия 9,3; 7,6; … Найдите номер члена, равного - 0,9.
1) 5; 2) 7; 3) нет такого номера; 4) 6.
3.Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой аn = 3n – 1.
1) 301; 2) 311; 3) 602; 4) 105,5.
4.Пятый член арифметической прогрессии равен 10, а седьмой равен 12. Найдите первый член прогрессии.
1) 2; 2) 4; 3) 6; 4) 0.
Вопрос 1 2 3 4
Вариант 1 2 2 1 4
Вариант 2 3 4 4 2
Вариант 3 1 3 2 1
Вариант 4 4 1 3 3
Приложение 5
Легенда о шахматах.
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индуистский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.
Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
- Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, - сказал царь.
Мудрец поклонился.
- Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь.
- Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
- Не робей, - ободрил его царь, - выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе свою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зернышко, за вторую клетку – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать, за шестую – тридцать два,…- Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за клетку вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна твоей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца. За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.
- Повелитель,- был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число зерен.
Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.
- Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
- почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.
- прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.
- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которые желает получить Сета. Число это так велико…
- Как бы велико оно не было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскуднеют. Награда обещана и должна быть выдана…
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которые потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве земли…
С изумлением внимал царь словам старца.
- Назови же мне это чудовищное число,- сказал он в раздумье.
- Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о, повелитель! (18 446 744 073 709 551 615)
Приложение 6
1 вариант
1.Какая из указанных последовательностей является геометрической прогрессией?
а) аn = 2n; б) аn = 2n; в) аn = nn+1`.
2.Выберите верное утверждение.
а) Числовая последовательность b1, b2, …, bn, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных nвыполняется равенство bn + 1 = bnq;
б) bn = b1qn + 1 – формула n-го члена геометрической прогрессии;
в) сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле Sn = b1(qn- 1)q-1, q ≠ 1;
3.Известно, что в геометрической прогрессии первый член равен 32, а второй равен 8. Найдите шестой член прогрессии.
а) 132; б) 116; в) другой ответ.
4.Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятый член равен 116, а восьмой член равен 11024.
а) 14 и 16; б) 4 и 116; в) 16 и 14.
5.Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 81, а знаменатель равен 13.
а) 60 23; б) 121 13; в) 121.
6.Известно, что b1 = 8, q = 3, Sn = 8744. Найдите n.
а) 7; б) 6; в) 5.
7.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b5 – b1 = 15, b4 – b2 = 6/
а) - 2 или – 0,5; б) 2 или 0,5; в) 2 или – 2 .
Вариант 2
1.Какая из указанных последовательностей является геометрической прогрессией?
а) an = 2n – 1; б) 2n-13+n ; в) 3n.
2.Выберите верное утверждение.
а) Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов;
б) bn = b1qn – формула n-го члена геометрической прогрессии;
в) сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем 1 вычисляется по формуле Sn = b1n.
3.Известно, что в геометрической прогрессии первый член равен 4, а второй равен 2. Найдите шестой член прогрессии.
а) 8; б) 18; в) 32.
4.Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее пятый член равен 9, а восьмой член равен 243.
а) 19 и 3; б) 13 и 9; в) 3 и 19.
5.Найдите сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 32, а знаменатель равен 12.
а) 127; б0 64,5; в) 63,5.
6.Известно, что b1 = 7, q = 2, Sn = 3577. Найдите n.
а) 9; б) 8; в) 7.
7.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если b7 – b5 = 48, b6 + b5 = 48.
а) 2; б) – 2; в) 0,5.
Вопрос 1 2 3 4 5 6 7
Вариант 1 б в а в б а б
Вариант 2 в в б а в а а