«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ» (Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся 9 класса.)
Программа элективного курса
для предпрофильной подготовки
учащихся 9 класса.
«ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ»
Выполнила:
учитель математики Жарковской средней
общеобразовательной школы
Фролова Лидия Васильевна
пос. Жарковский
Жарковского района
Тверской области
2011
I. Маркетинг деятельности
Обоснование выбора темы.
Правительство РФ в концепции модернизации Российского образования на период до 2010 г. (распоряжение правительства РФ от 29.12.2001г. № 1756 – р) ставится задача создания « системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда».
Обновление старшей ступени общего образования (профильное обучение) предусматривает предпрофильную подготовку – элективные курсы по выбору учащихся, способствующие осознанному выбору профиля обучения в 10-11 кл. будущей профессии, но отсутствие программ элективных курсов «подтолкнуло меня на разработку программы курса по выбору (для предпрофильной подготовки в 9-х классах).
В настоящее время между требованием жизни (необходима активная, творческая молодежь, у которой выработана потребность в самообразовании, самостоятельность и личная ответственность) и действительностью (отсутствие у выпускников навыков самостоятельной деятельности, умения и желание принимать самостоятельные решения, нести ответственность) возникает противоречие, которое не в полной мере, но частично можно разрешить на занятиях элективного курса, продолженное обучение в профильном классе полностью его ликвидирует.
Выбор темы также связан с необходимостью обучения всех учащихся, но уровень развития и подготовленности учащихся различный, поэтому выбранный курс должен помочь одной части группы ликвидировать проблемы, а другой части получить опыт решения задач повышенного уровня сложности, а также помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, проверить себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?»
Цель .
Разработать программу предпрофильного курса по выбору «Вписанные и описанные многоугольники» и учебно-методический комплект.
Задачи.
- познакомиться с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования»;
- познакомиться с письмом Департамента общего и дошкольного образования об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования от 13.11.2003 года;
- познакомиться с «Положением об элективных курсах в МОУ «Жарковская средняя общеобразовательная школа № 1»;
- познакомиться с структурной программы элективных курсов;
- познакомиться с публикациями о предпрофильном обучении в учебно- методических и научно- практических журналах;
- выяснить интересы детей, готовность реализации, изучить опыт детей;
- познакомиться с новыми технологиями, видами контроля, подобрать инструментарий для достижения цели;
- подобрать соответственную литературу;
- ознакомиться и систематизировать материал по геометрии из сборников заданий по ЕГЭ за 2010-2015г.
Планируемый результат.
- составить программу предпрофильного курса по выбору и УМК;
- реализовать программу своей деятельности.
Инструментарий.
Сертификация.
Литература.
Ермаков Д.С., Петрова Г.Д. Элективные курсы для профильного обучения (народное образование, 2004, № 2. с. 114-119)
Школьные технологии. 2003, № 6, с. 23.
Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года. (Вестник образования России. 2002г. № 6 с.10-40)
Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Стандарты и мониторинг в образовании. (Вестник образования 2002г. № 4 с3-16
Артюхова И.С. «Проблема выбора профиля обучения в старшей школе» Педагогика 2004 № 2 с.28-33
Артемова Л.К. «Профильное обучение: опыт, проблемы, пути решения» Школьные технологии 2003г. № 4 с. 22-31
Элективные курсы в профильном обучении «Управление школой» № 9 2004г. стр.8-9.
Пояснительная записка.
Элективный курс для предпрофильной подготовки учащихся 9-х классов (второе полугодие) посвящен трудной теме для учащихся в планиметрии «Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники».
К, сожалению, в основной школе, где на изучении этих вопросов отводится мало часов и этот материал изучается в конце учебного года в 8 классе (по остаточному принципу), трудно поддержать интерес учащихся из-за ограниченности приобретенных знаний. А важные свойства, необходимые при решении задач, вообще отсутствует или перенесены в задачи и не воспринимаются школьниками как теоретические положения.
Теоретический материал ученик применяет всегда, а свойства, заложенные в задачу, в лучшем случае, при изучении конкретной темы. Такое положение создает определенные трудности для дальнейшего изучения геометрии учащихся в 10-11 классах и как результат – сдача ЕГЭ, где 3 задачи геометрического содержания решаются детьми очень слабо. Данный элективный курс позволит детям почувствовать себя увереннее и комфортнее на экзамене, смягчает стрессовую ситуацию.
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся. Все свойства, входящие в элективный курс, и их доказательство не вызовут трудности у учащихся, т.к. не содержат громоздких выкладок, и каждое предыдущие готовит последующее. При направляющей роли учителя, школьники смогут самостоятельно сформулировать новые для них свойства и даже доказать их. Все должно располагать и самостоятельному поиску и повысить интерес к изучению предмета. Представляя, возможность осмысливать свойства и их доказательства, учителем развивает геометрическую интуицию, без которой немыслимо творчество. Можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных детей. Организация на занятиях должна несколько отмечаться от урочной: ученику необходимо давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы. В курсе звложена возможность дифференцированного обучения. Одной группе учащихся дать нетривиальные задачи, для решения которых требуется необычные идеи и специальные методы, а для другой – более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом. Чаще давать задачи, которые используют в своем решении необычную идею, как правило, дополнительное построение.
Цель курса.
- обобщить и расширить знания по теме «Вписанные и описанные многоугольники»;
- познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения нового класса задач;
- сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач.
Задачи курса.
- дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи;
- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения планиметрических задач;
- помочь овладеть технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
- развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии.
Структура курса представляет собой четыре логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направлены на расширение и углубление базового курса содержание курса можно варьировать с учетом склонности, интересов и уровня подготовленности учеников.
Основной тип занятий – практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируется различные формы работы с учащимися:
- лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работы.
В результате изучения курса учащихся должны уметь:
- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;
- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;
- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.
Содержание программы.
Тема 1. Окружность
На первом занятии учащимся сообщаются цель и значение элективного курса, систематизируются знания учащихся и центральных и вписанных углах, развивая их, учащиеся формируют и доказывают теоремы об углах между хордами, секущими, касательной и хордой, двумя касательными. В результате учащиеся получают необходимые знания, расширяющие пласт посильных задач. Применение полученных знаний к практике решения задач полезно организовать в малых группах. Лучшему осмыслению учебного материала послужит составление справочной таблицы, озвучивая которую, учащиеся оценят себя и своего товарища.
Тема 2. Окружности и треугольники
Тема 3. Окружности и четырехугольники
В программе для общеобразовательных школ не апцептируется внимание на некоторых геометрических фактах, которые были бы полезны и значительно упрощают решение некоторых задач (свойство биссектрисы треугольника, параллелограмма и т.д.). Содержание элективного курса призвано ликвидировать этот пробел. Последовательность заданий составлены так, что при определенной организации учебного процесса школьники будут приобщаться к исследовательской деятельности и сами формулировать новые свойства. Полезно выделить время на индивидуальную работу учащихся.
Тема 4. Решение олимпиадных задач и задач контрольно-измерительных материалов.
Содержание заключительной темы курса рассчитано на повышение учебной мотивации за счет нетрадиционных заданий, имеющих практическую направленность, психологической готовности «Я смогу!»
Учебно – тематический план
№ пп
Наименование тем курса
Всего часов
В том числе
Форма контроля
лекция
практика
семинар
1
2
3
4
5
6
7
1
Окружность
2
1
1
Составление справочной таблицы самостоятельная работа
2
Окружности и треугольники
5
2
3
3
Окружности и четырехугольники
5
2
3
Самостоятельная работа
4
Решение олимпиад-ных задач и задач контрольно-измери-тельных материалов
5
4
1
Собеседование с учащимися. Самооценка и оценка товарищей
5
Итоговый контроль
1
1
Контрольная работа
Литература для учащихся
Геометрия. Атанасян и др. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М: Просвещение 2010г.
Атанасян и др. Дополнительные главы к школьному учебнику. М: Просвещение 2010 год.
Петраков И.С. Математические кружки М: Просвещение 1987 год.
Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия 5-11 классы Москва Айрис – пресс (5) 2007 год.
КИМы ГИА – 2010 – 2015 года издания.
Литература для учителя
Звавич Л.И. Геометрия 8-11 классы. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. М: Дрофа 2000г.
Зив Б.Г. дидактические материалы по геометрии для 8-9 кл. М: Просвещение 2002г.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. – курс геометрии 8 кл. в задачах М: 1996 год.
Глазков Ю.А. и др. Планиметрия в едином государственном экзамене. Математика для школьников – 2008 год.
Киселев А.П. Элементарная геометрия: книга для учителя. М: Просвещение, 1990г.
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии Ч 1, 2. М: Просвещение, 1986г.
Шабунин М. Математика для поступающих в ВУЗы. М: Лаборатория базовых знаний 1999г.
ФГОС КИМ «Геометрия» к учебнику Л.С. Атанасяна, Москва «ВАКО» 2011
Поурочные разработки по геометрии 7-9 классы. М – 2010 год.
ТЕМА 1.
Окружность.
Свойства касательных, хорд и секущих.
1.
а) отрезки касательных АМ и А равны
О оооо б) прямая, проходящая через центр окружности
и точку А делит угол пополам
2.
а) MA2 =13 EMBED Equation.3 1415
·
· б) 13 EMBED Equation.3 1415
F
3. а) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит
её пополам;
б) Обратно: диаметр, проходящий через середину
хорды, перпендикулярен ей.
4. 13 EMBED Equation.3 1415
где АВ1 и АВ2 - внешние части секущих/
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415ВАС и 13 EMBED Equation.3 1415ВА1 С – вписанные опираются на
дугу ВС, значит 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 13 EMBED Equation.3 1415ВА1 С = 13 EMBED Equation.3 1415 ВС
б) Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
является прямым.
в) Если в окружность радиуса R вписанный угол1
опирающийся на хорду длины а равен 13 EMBED Equation.3 1415, то
а = 2R sin 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415 Угол между пересекающимися хордами:
· = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
7. Угол между секущими, пересекающимися
вне окружности 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
8. Угол между касательной и секущей: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
9. Угол между касательными 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
10. Угол между касательной и хордой. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение задач
Задача № 1.
Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415АВС+ 13 EMBED Equation.3 1415АОС = 180
Творческое задание: доказать несколькими способами.
Задача № 2.
На окружности выбраны диаметрально противоположные
точки А и В и отличная от точка С. Касательная к окружности
в точке А и прямая ВС пересекаются в точке D.
Докажите, что прямая, касающаяся окружности в точке С,
делит пополам отрезок АD.
Дано: Окружность, т. А и В – диаметрально
противоположные, т. С принадлежит
окружности АD - касат., ВС- секущая,
АD ВС=D.
СF – касат., СF АD = Е
Доказать, что АЕ = ЕD
Выполним дополнительное построение:
Проведем АВ и ОС
АЕ – ЕС – как отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности.
В
· ВОС, ОВ = ОС = R, то 13 EMBED Equation.3 1415ОВС = 13 EMBED Equation.3 1415ОСВ;
т.к. ОС 13 EMBED Equation.3 1415 ЕС, то 13 EMBED Equation.3 1415ЕСD = 13 EMBED Equation.3 1415ВСF = 90 - 13 EMBED Equation.3 1415ОСВ = 90 - 13 EMBED Equation.3 1415ОВС;
В13 EMBED Equation.3 1415 АВD. 13 EMBED Equation.3 1415ВDА = 90 – 13 EMBED Equation.3 1415ОВС, значит 13 EMBED Equation.3 1415ВDА = 13 EMBED Equation.3 1415ЕСD, а значит 13 EMBED Equation.3 1415ЕСD – равнобедренный, поэтому СЕ = ЕD.
СЕ = АЕ
13 EMBED Equation.3 1415АЕ = ЕD
СЕ = ЕD
Задача № 3
Окружность с центром О касается сторон угла 13 EMBED Equation.3 1415 в точках А и С. Отрезок ВО пересекает окружность в точке К. Найдите периметр АКСО, если 13 EMBED Equation.3 1415В = 60, ВК = 12.
1. Пусть ОК = r. В прямоугольном 13 EMBED Equation.3 1415ВАО, 13 EMBED Equation.3 1415АВО = 30,
следовательно ВО = 2АО = 2r, ВК + r = 2r, следовате-
но ВК = r.
2. 13 EMBED Equation.3 1415АВО. 13 EMBED Equation.3 1415АОВ = 60, АО = ОК, треугольник
равносторонний, АК = r = 12.
3. Аналогично СК = r = 12
4. Р АКСО = 13 EMBED Equation.3 1415 = 48
Ответ: 48
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 1. Радиус окружности равен 13 EMBED Equation.3 1415. Определите длины хорды, проведенную из
конца данного диаметра через середину перпендикулярного ему радиуса.
Р
·ешение.
1. 13 EMBED Equation.3 1415АОМ. 13 EMBED Equation.3 14150 т. 13 EMBED Equation.3 1415. АМ =
= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 2. Продолжим радиус ОD до пересечения с окружностью
в т. К.
По свойству пересекающихся хорд в окружности имеем: 13 EMBED Equation.3 1415 =
= 13 EMBED Equation.3 1415, МС =13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. DМ =13 EMBED Equation.3 1415 МК =13 EMBED Equation.3 1415, получаем МС = 13 EMBED Equation.3 1415
Значит АС = АМ + МС = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 4
Задача № 2. Из точки В к окружности проведены касательные ВР и ВQ (Р и Q – точки
касания).
Найдите длину хорды РQ, если дли отрезка РВ = 40, а расстояние от
центра окружности хорды РQ равно 18.
Решение:
РQ = 2 РМ, 13 EMBED Equation.3 1415РОВ – прямоугольный
РМ – высота
РВ2 = 13 EMBED Equation.3 1415
2. Пусть ВМ = х, тогда 402 = 13 EMBED Equation.3 1415
х2+18х-1600=0
х1,2= -913 EMBED Equation.3 141541
х = 32
РМ2 =13 EMBED Equation.3 1415, РМ= 24
РQ = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 48
Самостоятельная работа
Задача № 1 Известно, что АВ = 6, ВС = 9, DЕ = 13
Найти: АD
Ответ: 5
Задача № 2. CD=CE, О – цент окружности. Угол 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 больше
угла 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите угол 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 5
О
Задача № 3. На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С и
D так, что величины Дуг АВ и ВС равны соответственно 500 и 800, а
диагонали четырехугольника АВСD равны между собой. Найдите
длину наибольшей стороны четырехугольника.
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415по условию, значит
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415,AD- диаметр,AD = 2 R
Ответ: 2 R
ТЕМА 2.
Треугольники и окружность.
2.1. Окружность, вписанная в треугольник.
Большинство планиметрических задач, предлагаемых на ЕГЭ, составляют задачи, связанные с окружностью, вписанной в треугольник – произвольной, равнобедренный, прямоугольный.
При решении задач следует опираться на следующие факты:
отрезок, соединяющий центр окружности и точку её касания со стороной, перпендикулярен этой стороне;
отрезки двух соседних сторон от общей вершины до точек касания равны между собой;
центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов треугольника;
в треугольниках АОИ, АОС,ВОС, образованных отрезками биссектрис 13 EMBED Equation.3 1415АВС, углы при вершине О связаны с углами 13 EMBED Equation.3 1415АВС следующими соотношениями: 13 EMBED Equation.3 1415;
если окружность вписаны в прямоугольный треугольник АВС 13 EMBED Equation.3 1415, то угол между биссектрисами острых углов 13 EMBED Equation.3 1415.
- Четырехугольники КОМС – квадрат,
а r = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задач.
Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием
АС касается сторон АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите КМ,
если АК = 6, КВ=12.
Решение.
МВ=ВК=12, КА=АТ=ТС=СМ = 6, как отрезки касательных,
проведенных из одной точки. АВ=18; АС = 12.
2. 13 EMBED Equation.3 1415~ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 8
Задача № 2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2,
радиус описанной окружности – 5. Найдите большой катет треугольника.
Решение:
АВ = 2R = 10, ОК = ОР = r = 2.
Пусть АК = х, тогда АТ = х, а ВТ = 10-х, ТВ = РВ.
По т. П из 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 АВС имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Но АК не может быть меньше 5, следовательно, АК = 6. Итак АС = 6 + 2 = 8
Ответ:8.
Задача № 3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный 13 EMBED Equation.3 1415 АВС, если
высота ВН равна 12 и известно, что sin 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
1. 13 EMBED Equation.3 1415прямоугольный, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
по теореме Пифагора из 13 EMBED Equation.3 1415АВН имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично для 13 EMBED Equation.3 1415ВНС
13 EMBED Equation.3 1415
3.SАВС=13 EMBED Equation.3 1415
4. Воспользуемся формулой S=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 4
Задачи для самостоятельного решения
Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и Р, АР = 12.
Найдите периметр треугольника.
Решение.
Проведем высоту СН. Т.к. треугольник равнобедренный, то
то ВН =НF = 18.
По свойству касательных:
АВ = ВН = НF = FР = 18.
Пусть АС = х, 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415, тогда13 EMBED Equation.3 1415
36х =12х + 216, 24х = 216, х = 9. Поэтому ВА + АС = ВС = 18 + 9 = 27, Р = 27+27+36=90
Ответ: 90
Задача № 2. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС 13 EMBED Equation.3 1415,
касается катета ВС в точке Н. Биссектриса угла А пересекает катет ВС
в т. М. Найдите НМ, если СН = 4, ВН = 12.
Решение.
1. Пусть т. О – центр окружности, вписанной в 13 EMBED Equation.3 1415АВС.
Тогда О Є АМ; ОН 13 EMBED Equation.3 1415ВС
2. Пусть окружность касается гипотенузы в т. К, а катета АС –
- в точке Т. АК = х. Тогда АТ = АК = х
ВК = ВН = 12, СТ = СН = 4
По т. П. получаем 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415(по двум углам)
Следовательно, НМ : ОТ = ОН : АТ
Получаем, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2
Окружность, описанная около треугольника
Цент О окружности, описанной около 13 EMBED Equation.3 1415АВС, есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.
Треугольники АОВ, ВОС, СОА – равнобедренные (ОА = ОВ = ОС = R).
13 EMBED Equation.3 1415
Длины сторон 13 EMBED Equation.3 1415АВС определяются по формулам АВ = 2 sin13 EMBED Equation.3 1415
Решение задач.
Задача № 1. Около 13 EMBED Equation.3 1415АВС описаны окружности. Медиана АМ, проведена до пересечения
с окружностью в точки К. Найти АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10
Решение.
1. 13 EMBED Equation.3 1415откуда 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415~13 EMBED Equation.3 1415 (по двум углам)
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:15.
Задача № 2. Основание равнобедренного остроугольного треугольника 48, а радиус
описанной около нею окружности 25. Найдите расстояние между цент-
рами вписанной и описанной окружностей треугольника.
Решение.
О: - цент вписанной окружности, лежит на серединном перпендику-
ляре, содержащем высоту АН треугольника к основанию ВС. Т.к.
треугольник остроугольный, то О лежит внутри треугольника, на
высоте АН. При этом ОА = ОВ = ОС = 25 – радиусы описанной окружности 13 EMBED Equation.3 1415
2. Радиус вписанной окружности найдем, используя полупериметр и площадь 13 EMBED Equation.3 1415АВС.
13 EMBED Equation.3 1415
р = 24 + 40 = 64, S13 EMBED Equation.3 1415
3. Центр вписанной окружности точка Q также лежит на высоте АН, значит QН=QН-ОН = = 12 - 7 = 5
Ответ: 5.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 1. Около равнобедренного 13 EMBED Equation.3 1415АВС с основанием АС и углом при основании
750 описана окружность с ц. О. Найдите её радиус, если площадь 13 EMBED Equation.3 1415ВОС
равна 16.
Решение.
1. 13 EMBED Equation.3 1415(по условию), следовательно 13 EMBED Equation.3 1415, т.к.
13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: R=8.
Задача № 2. Около тупоугольного равнобедренного треугольника описана окружность
радиусом 25. Расстояние от центра до основания треугольника равно 7.
Найдите расстояние от центра окружности до боковой стороны треугольника.
Решение.
1. Искомое расстояние – длина перпендикуляра ОК, проведенного
из т. О к стороне АВ.
Прямоугольный 13 EMBED Equation.3 1415АОК~13 EMBED Equation.3 1415АВН, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415
2. Цент О окружности, описанной около тупоугольного равнобедренного 13 EMBED Equation.3 1415АВС лежит вне его, на прямой АН, содержащей высоту треугольника. Поэтому АН=АО–ОН=25–7=18.
3. В прямоугольном 13 EMBED Equation.3 1415ОВН, 13 EMBED Equation.3 1415Тогда в 13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 20.
ТЕМА 3.
Четырехугольники и окружности.
Около параллелограммы можно описать окружность в том и только в том случае, если параллелограмм является прямоугольником.
В параллелограмм можно вписать окружность в том и только в том случае, если он является ромбом.
Параллелограмм, в который можно вписать окружность и вокруг которого можно описать окружность, является квадратом.
4. Если в четырехугольнике можно вписать окружность, то
1) АВ + СD = ВС + АD; 2) S = 13 EMBED Equation.3 1415, где r – полупериметр
четырехугольника.
5. Если около четырехугольника можно описать окружность,
то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Пигаммея: 13 EMBED Equation.3 1415
6. В окружность можно вписать только равнобедренную
трапецию НD=е, где е – средняя линия трапеции,
ВD = 2R sin 13 EMBED Equation.3 1415
7. Если основание трапеции является диаметром, то 13 EMBED Equation.3 1415АВD и
13 EMBED Equation.3 1415АСD – прямоугольные, ВН – высота прямоугольного 13 EMBED Equation.3 1415АВD
8.Если трапеция описана около окружности, то 13 EMBED Equation.3 1415ВОА и 13 EMBED Equation.3 1415СОD
- прямоугольные;
MN = h = 2r
BC + AD = BA = CD
r2 = xy.
9. Если равнобедренная трапеция описана около окружности
то: 1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) НD= е, где е – средняя линия трапеции;
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Окружность, вписанная в ромб.
Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям:
13 EMBED Equation.3 1415, где h – высота ромба
13 EMBED Equation.3 1415, где d1 и d2 – диагонали ромба, d12 + d22 = 4а2.
2. Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его диагоналями и радиусом вписанной окружности следующими соотношениями:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Площадь ромба: S = ah, S = 2ar, S = a2sin13 EMBED Equation.3 1415, S = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задач.
Задача № 1. Диагонали четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, пересекаются
в точке М, АМ = 4, СМ = 9, ВМ = DМ, 13 EMBED Equation.3 1415АМВ = 300.
Найдите площадь четырехугольника.
Решение
1. 13 EMBED Equation.3 1415 (свойство 5)
2.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 39
Задача № 2. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону
ромба в отношении 1:2, считая от вершины острого угла.
Какую часть площади ромба составляет площадь писанного в него круга?
Решение.
Пусть АН = а, тогда НD = 2а и АD = 3а;
ВН = h, r – радиус вписанного круга. По т. П. из 13 EMBED Equation.3 1415АВН имеем: h=ВН=
= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача № 3. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра
окружности до концов боковой стороны трапеции равны 6 и 8.
Найдите S трапеции.
Решение:
Способ 1.
1. 13 EMBED Equation.3 1415СОD – прямоугольный, CD=13 EMBED Equation.3 1415
2. М – точка касания окружности и стороны СD. Тогда ОМ = r, ОМ13 EMBED Equation.3 1415CD. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415COD,
13 EMBED Equation.3 1415
3. Высота прямоугольной трапеции равна её меньшей боковой стороны, т.е. диаметру вписанной окружности. Следовательно, РВ = hтр= 2r = 9,6
Тогда Sтр.=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 94,08
Способ 2.
Разобъём данную трапецию на два квадрата со стороной, равной радиусу вписанной окружности, и две пары равных треугольников.
Следовательно, Sтр.=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 94,08
Задача № 4. Около трапеции описана окружность, центр которой лежит внутри трапеции
Высота трапеции равна 27, а длины оснований равны 48 и 30. Найдите радиус
окружности.
Решение:
Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной.
Центр окружности лежит внутри трапеции на общем серединном перпендикуляре к её основанием.
2. Пусть ОН = х, тогда ОК = 27 – х; из прямоугольных треугольников АОН и ВОК получаем АН2= ОН2= ВК2= ОК2, т.е. 242= х2= 152= (27 – х)2. Решая уравнение получаем
х = 7. Следовательно,R= АО =13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 25.
Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 1. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD,
пересекает большую диагональ ромба АС в т.Е.
Найдите СЕ, если АВ = 13 EMBED Equation.3 1415, BD = 16.
Решение:
Диагонали ромба пересекаются в точке О. Из треугольника АОВ.
находим ОА = 16, следовательно, АС= 32. Из 13 EMBED Equation.3 1415ADE находим DE:
DE = 13 EMBED Equation.3 1415
2. Четырехугольник ABED вписан в окружность.
По теореме Птолелия 13 EMBED Equation.3 1415
АЕ = 20. Следовательно, СЕ = АС = АЕ = 32-20 = 12
Ответ: 12.
Задача № 2. Площадь круга, вписанного в трапецию, равна 913 EMBED Equation.3 1415, а сумма боковых сторон
трапеции равна 20. Найдите площадь трапеции.
Решение:
По условию задачи Sтр.=13 EMBED Equation.3 1415. Тогда диаметр круга, а значит, и высота трапеции равны 6.
Средняя линия трапеции, описанной около круга, равна полусумме её боковых сторон, т.е.10.
Итак, Sтр = 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 60.
Самостоятельная работа.
Задача № 1. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается
гипотенузы АВ в т. Е. Найдите площадь треугольника АВС, если АЕ = 5,
ВЕ = 4.
Решение:
ОМ = ОN = r, МОNС – квадрат, МС = СN = r
АЕ = АМ = 5, ВЕ = ВN = 4, АС = АМ + МС = АМ + r, ВС = DN + r.
По т.П. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда АС =13 EMBED Equation.3 1415
ВС = 13 EMBED Equation.3 1415
3. SАВС = 13 EMBED Equation.3 1415
=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 20.
Задача № 2. Большее основание трапеции является диаметром описанной окружности.
Определите радиус окружности, если средняя линия трапеции равна 8, а её
площадь 32.
Решение:
Трапеция вписана в окружность. Следовательно, она равнобедренная.
13 EMBED Equation.3 1415АВD – вписанный, опирается на диаметр, значит 13 EMBED Equation.3 1415АВD = 900,
13 EMBED Equation.3 1415АВD – прямоугольный.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 5.
жи
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native