Урок математики РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ВЫЧИСЛЕНИЕ БИССЕКТРИС И МЕДИАН ТРЕУГОЛЬНИКА. НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ. ТЕОРЕМА ЧЕВЫ И МЕНЕЛАЯ

Решение треугольников.Вычисление биссектрис и медиан треугольника.Нахождение площадей. Теорема Чевы и Менелая
Цели: обобщить и систематизировать знания и умения; усвоить системы опорных знаний и умений; углубить знания в пределах темы.
Ход урока
I. Актуализация опорных теоретических знаний.
Учащиеся работают в группах из 4 человек. Учебные группы сформированы из учащихся с неравными возможностями.
На каждом столе карточки с вопросами по обозначенной теме, тематические и опорные таблицы, составленные в 7–9 классах
Из учащихся с высокими учебными возможностями можно создать отдельную группу, они могут самостоятельно повторить теорию и приступить к решению задач.
Вопросы, требующие повторения:
1-я часть. Углы. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые.
1. Угол. Градусная и радианная мера углов. Построение угла, равного данному. Построение биссектрисы угла. Смежные углы и их свойства.
Вертикальные углы и их свойства.
2. Параллельные прямые. Существование и единственность прямой, параллельной данной и проходящей через точку вне ее.Признаки параллельности прямых.
Теоремы об углах, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей.
3. Перпендикулярные прямые. Существование и единственность перпендикуляра к прямой, проведенного через данную точку.
Построение прямой, перпендикулярной данной.
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных. Деление отрезка пополам.
4. Расстояния: между двумя точками; от точки до прямой; между параллельными прямыми.
Уравнение прямой.
Теорема Фалеса.
2-я часть. Треугольники.
1. Соотношение между сторонами и углами треугольника.
Неравенство треугольника.
Средняя линия треугольника.
Биссектриса угла треугольника и ее свойства.
Четыре замечательные точки треугольника. Свойства замечательных точек.
Равные треугольники. Признаки равенства треугольников.
Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
2. Равнобедренный треугольник. Теорема об углах при основании равнобедренного треугольника и теорема, обратная ей. Свойства медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника, проведенных к его основанию. Сумма углов треугольника. Свойства внешнего угла треугольника.
3. Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников.
Теорема Пифагора.
Перпендикуляр, наклонная и ее проекция.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.
4. Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике.
Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов.
Решение прямоугольных треугольников. Основные тригонометрические тождества.
5. Теорема косинусов.
Теорема синусов.
Площадь треугольников.
Решение треугольников.
Теоремы Чевы и Менелая.
Для повторения используются тематические и опорные таблицы.
II. задачи для устного решения.
1. Верно ли:
– что угол, смежный с тупым углом, – тупой;
– угол, смежный с прямым углом, прямой;
– если два угла сложные, то они прямые;
– если два угла смежны с одним и тем же углом, то они равны?
2. Если две параллельные прямые пересечены секущей,
– то сумма односторонних углов равна 180°;
– сумма накрест лежащих углов равна 180°;
– соответственные углы могут быть тупыми;
– односторонние углы могут быть острыми;
– среди образовавшихся углов есть не менее четырех равных;
– среди образовавшихся углов есть ровно четыре равных угла?
3. Может ли при пересечении двух прямых образоваться:
– четыре прямых угла;
– четыре острых угла;
– три тупых и один острый угол;
– два прямых и два тупых угла?
4. Могут ли:
– две прямые, имеющие общую точку, быть параллельными третьей прямой;
– две прямые, параллельные третьей, иметь общую точку;
– две прямые, перпендикулярные третьей, быть перпендикулярными между собой;
– две прямые, перпендикулярные третьей, быть параллельными?
III. Задачи на готовых чертежах.
1-я часть.



Найти х.



2-я часть.
1. Найти равные треугольники:

2. Найти: АВ. Найти: АЕ. Дано: АВ = ВС.
Доказать:
АD = СЕ.

3. Найти неизвестные углы треугольника:

4. Дано:
Найти: х, у, z.

Дано:
а : b : с = 5 : 6 : 7,
Р∆АВС = 108. Дано:
= 9. Дано:
РАВС = 39,
= 26,
а : b = 2 : 3.
5. Указать подобные треугольники, доказать их подобие.

Дано: АВ · ВК = СВ · ВР.
Доказать:
∆АВС ∆А1В1С1.

6. Решить треугольники (для учащихся с высоким уровнем подготовки).
Найти: х, у.



Ответы к п. 6: 1. . 2. .
3. .
4.
5.
ВС = .
6. где АD = d tg ;
DС = .
7. х = tgγ = где МВ =
.
8. ;
.
IV. Тестирование.
Тест по теме «Углы. Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые»
Вариант 1
1. Величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7. Найдите разность между этими углами.
а) 24°; б) 30°; в) 36°; г) 40°.
2. Разность между двумя односторонними углами при параллельных а и b и секущей с равна 24°. Найдите больший из этих углов.
3. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е, причем сумма углов ВЕС и АЕD равна 194°. Найдите угол АЕС.
а) 97°; б) 83°; в) 117°; г) 73°.
4. Углы ВОD и СОD – смежные. ОЕ – биссектриса угла ВОD, причем угол СОD на 21° больше угла DОЕ. Найти угол ВОЕ.
а) 67°; б) 74°; в) 46°; г) 56°.
5. Прямые MN и РК пересекаются в точке Е, ЕС – биссектриса угла МЕР, СЕК = 137°. Найдите угол КЕМ.
а) 108°; б) 84°; в) 94°; г) 82°.
[ а) 114°; б) 112°; в) 102°; г) 124°. ]6. Дано: СD АК, MN АК, AMN = 28°, CЕ – биссектриса ВСD.

Найти: AСЕ.
а) 92°;
б) 104°;
в) 114°;
г) 98°.
Вариант 2
1. Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 11. Найдите разность между этими углами.
а) 84°; б) 76°; в) 96°; г) 68°.
2. Разность между двумя внутренними односторонними углами при параллельных прямых а и в с секущей с равна 46°. Найдите больший из этих углов.
а) 126°; б) 123°; в) 113°; г) 136°.
3. Прямые MN и КР пересекаются в точке О, причем сумма углов КОМ и NOP равна 134°. Найдите величину угла КОN.
а) 44°; б) 46°; в) 113°; г) 67°.
4. Углы АОМ и СОМ – смежные. ОК – биссектриса угла АОМ, причем угол АОК в 4 раза меньше, чем угол СОМ. Найдите угол КОМ.
а) 45°; б) 30°; в) 36°; г) 40°.
5. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О, ОК – биссектриса угла АОD, СОК = 118°. Найдите угол ВОD.
а) 59°; б) 64°; в) 68°; г) 56°.
6. Дано: АВ ЕD, КМ ЕD, АВЕ = 34°. MN – биссектриса КМС.

Найти: ЕMN.
а) 107°;б) 117°;в) 97°; г) 113°.
Ключ к тесту:
Задание 1 2 3 4 5 6
вариант 1 б в б г в б
вариант 2 а в в б г а
Тест по теме «Признаки равенства треугольников»
Вариант 1
1. Укажите, на каком из рисунков есть равные треугольники.

2. Так как АС – биссектриса BAD и АВ = AD, то ΔВАС = ΔCAD:

а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам.
3. ΔАВС – равнобедренный. AD и СF – биссектрисы углов CAB и АСВ coответственно. Тогда ΔADC = ΔCFA:

а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам.
4. ΔDEA = ΔFEB. Тогда ΔAEB
а) разносторонний;
б) равносторонний;
в) равнобедренный.

5. В треугольнике ABC АВС = 90°, AD = BD = DC, BCD = 64°.
Найдите: DAB.

6. В равнобедренном треугольнике АВС проведена медиана АD. Если периметр ΔABC равен 50 см, а периметр ΔABD – 30 см, то длина AD равна:
а) 10 см; б) 5 см; в) 20 см; г) 35 см.

7. Периметр треугольника RQP равен 34 см, а сторона RQ – 12 см. Если то сторона RP равна:
а) 11 см; б) 10 см; в) 12 см; г) 23 см.

8. Треугольник RST – равнобедренный. Определите 1, если 2 = 112°.

9. DA – медиана равнобедренного треугольника ВDC с основанием СВ: D = 120°.
Найдите углы ΔADC.
Вариант 2
1. Укажите, на каком из рисунков есть равные треугольники.

2. Так как AD = АВ и ВС = DC, то ΔВAС = ΔDAС:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам.

3. ΔВАС – равнобедренный. AD и CF – медианы. Тогда ΔADC = ΔCFA:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам.

4. Треугольник DGH – равнобедренный. Определите 2, если 1 = 67°.

5. ΔAВC – равносторонний, АF = BG = CD.
Тогда ΔFGD:
а) разносторонний;
б) равносторонний;
в) равнобедренный.

6. В равнобедренном треугольнике AВС медиана ВD = 8 см. Если периметр ΔABD равен 28 см, то периметр треугольника ABC равен:
а) 40 см; б) 50 см; в) 20 см; г) 36 см.

7. Периметр треугольника FBG = 38 см, а сторона FB = 14 см. Если BFA = BGD, то сторона FG равна:
а) 14 см; б) 10 см; в) 12 см; г) 26 см.

8. В треугольнике ABC AD = BD = DC, A = 37°, C = 53°. Найдите ABC.

9. ΔADB – равносторонний, сторона DB является медианой треугольника ABC; ВСА = 30°. Определите углы ΔBDC.

Ключ к тесту:
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вариант 1 б, в, с, ж а б в 26° 5 б 69° 30°, 60°, 90°
Вариант 2 а, г, д, е в а 67° б а б 90° 30°, 120°, 30°
Тест по теме «Сумма углов треугольника»
Вариант 1
1. Прямые ВС и AD параллельны. Угол ВСА в треугольнике AВC равен 34°. Чему равен в треугольнике ADC?

2. Треугольник АВС – равносторонний. Найдите его углы.
3. Определите взаимное расположение биссектрис внешних углов DBA и FAB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC.

Они:
а) перпендикулярны;
б) параллельны;
в) пересекаются под углом, не равным 90°.
4. 1+ 2 = 180°, 3 > 4. Какие из прямых с, d и е параллельны?
Ответ: а) с||е; б) с ||d; в) e ||d.
5. В тупоугольном треугольнике ABC (ABC = 105°) высота BD = 10 см отсекает равнобедренный треугольник ABD, тогда сторона ВС равна:

а) 20 см;
б) 10 см;
в) 5 см;
г) 30 см.
6. Могут ли в треугольнике два угла быть прямыми?
7. Треугольник СDF – равнобедренный, АВ || CD. Укажите, какие углы треугольника FDC равны соответствующим углам треугольника ABF.

8. Если у треугольника два внешних угла равны, то он является: а) равносторонним; б) равнобедренным; в) произвольным.
9. Какой из рисунков содержит равные треугольники?

Вариант 2
1. Определите взаимное расположение биссектрисы внешнего угла DBC равнобедренного треугольника ABC и его основания АС. Они:
а) перпендикулярны;
б) параллельны;
в) пересекаются под углом, не равным 90°.

2. 1 = 2, 3 4.
Какие из прямых с, d и е параллельны?

Ответ: а) с || е; б) с || d; в) е || d.
3. Прямые ВС и AD параллельны. Угол CBD в треугольнике BCD равен 31°. Чему равен BDА в треугольнике ABD?

4. Треугольник ABC – прямоугольный равнобедренный (АВ = ВС).
Найдите его углы.
5. В прямоугольном треугольнике ABC медиана CD отсекает равносторонний треугольник CBD. Расстояние от точки D до катета АС равно 10 см, тогда гипотенуза АВ равна:
а) 10 см;
б) 20 см;
в) 30 см;
г) 40 см.

6. Могут ли в треугольнике два угла быть тупыми?
7. DF – высота прямоугольного треугольника ADB. Укажите, какие углы треугольника ADF равны соответствующим углам треугольника ABD.

8. Если у треугольника один из внешних углов острый, то треугольник: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.
9. Какой из рисунков содержит равные треугольники?

Ключ к тесту:
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вариант 1 34° 60° в а а нет FCD
DFC
FDC б г, а
Вариант 2 б в 31° 45°, 90°, 45° г нет АFD
DАF
АDF в a, в
Тест по теме «Теорема Пифагора»
Вариант 1
1. Укажите, какой из рисунков содержит треугольники, к которым применима теорема Пифагора.

2. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см, тогда его сторона равна: а) 10 см; б) см; в) 2 см; г) см.
3. В прямоугольном треугольнике ABC: АС = 13 см, АВ = 12 см, ВС = 5 см.

Найдите sin С.
4. Из точки А к окружности с центром в точке Опроведена касательная АС. Отрезок ОА равен 20 см, а ОС = 16 см, тогда длина отрезка СА равна:
а) 2 см; б) см; в) 12 см; г) 6 см.

5. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если проекция наклонной равна 12 см, а перпендикуляр – 5 см, то длина наклонной равна:
а) см; б) см; в) 13 см; г) см.
6. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см, а его медиана равна:
а) 4 см; 6) см; в) 2 см; г) см.
7. Две окружности равных радиусов с центрами в точках О и О1 пересекаются в точках А и В. Одна сторона треугольника АОВ равна 13 см, другая – 6 см. Определите расстояние между центрами окружностей.
8. В окружности с центром в точке О и радиусом, равным 10 см, проведена хорда GС. Если хорда GС = 16 см, то расстояние от центра окружности до нее равно:
а) см; б) 6 см; в) см; г) см.

9. Дан прямоугольный треугольник ABC. В нем гипотенуза АС = 10 см, cos С = 0,25. Найдите катет ВС.
Вариант 2
1. Укажите, какой из рисунков, к которым применима теорема Пифагора, содержит треугольники.

2. Сторона квадрата равна 3 см, тогда его диагональ равна:
а) 9 см; б) см; в) см; г) см.
3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а основание – 16 см, тогда высота, опущенная на основание, равна:
а) 2см; б) 6 см; в) см; г) см.
4. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если перпендикуляр равен 9 см, а наклонная – 15 см, то длина проекции наклонной равна:
а) 12 см; б) см; в) см; г) см.
5. Из точки D к окружности с центром в точке О проведена касательная DF. Если OD = 17 см, a FD = 15 см, то радиус окружности равен:
а) см; б) 8 см; в) 32 см; г) см.

6. Дан прямоугольный треугольник ABC. Гипотенуза АС = 10 см, sin С = 0,3. Найдите катет АВ.
7. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 11 см, а вторая – 4 см. Найдите третью сторону.
8. В прямоугольном треугольнике ABC: АС = 17 см, ВС = 8 см, АВ = 15 см.
Найдите cos С.

9. В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ, равная 18 см. Если расстояние от центра окружности до хорды равно 12 см, то радиус окружности равен:
а) 15 см; б) см; в) см; г) см.

Ключ к тесту:
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Вариант 1 в а в в б б 2,5
Вариант 2 а г б а б 3 11 а
V. Решение задач.