Средняя линия треугольника. Свойство медиан

конспект урока
Класс 8
Тема: Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника
Образовательная цель:
1. Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о средний линии треугольника и свойства медиан треугольника.
Развивающая цель:
Развивать речь, продолжать обогащать и усложнять словарный запас учащихся.
Воспитательная цель:
Воспитывать чувства доброжелательности, ответственности к своему и чужому мнению.
Тип урока: закрепление.
Организационная форма урока: практическая работа с учащимися.
ТСО и наглядность: готовые чертежи, карточки с заданиями для самостоятельной работы.
План урока:
Организационный момент (3 минут);
Актуализация знаний учащихся (7 минут);
Проверка домашнего задания (5 минут);
Практическая работа (25минут);
Итог урока (3минуты);
Домашнее задание (2 минуты).
Ход урока.
Организационный момент:
- приветствие;
- проверка списочного состава класса;
-настрой учащихся на работу;
- сообщение темы урока, целей занятия и плана.
Актуализация знаний учащихся:
Теоретический опрос:
Сформулируйте и докажите теорему средней линии треугольника.
Сформулируйте свойства медиан треугольника.
Проверка домашнего задания:
Проверить решение задач № 567.
Практическая работа:
1. Решение задач на готовых чертежах. Устно с обсуждением решений.

В В 4 С В

Е М N P C№ O A№

·
·
·
·
·
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Найти: а) EF, если BC=10,6 см; б)BC, если EF=4,2. (Ответ: а) EF=5,3; б) ВС=8,4)
ABCD – трапеция. Найти: MP. (Ответ: MP=5 см.)
Найти: С№О и А№О. (Ответ: по свойству медиан треугольника С№О =9/2=4,5; А№О=6/2=3).
2. Решение задач. (Один ученик решает у доски, остальные на местах)
В прямоугольном треугольнике АВС медиана ВВ№ равна 10 см. Найдите медианы АА№ и СС№, если известно, что АС=12 см. (Ответ: АА№=4
·10, СС№=2
·13).




А Решение: Рассмотрим треугольник С ВВ№ и найдем СВ по т.Пифагора
СВ=
·10І-6І =
·64 =8 (см). Найдем АА№ по т.Пифагора из
В№ С№ треуг-ка С АА№, АА№=
·12І+4І = 4
·10 (см). Рассмотрим
треуг-к СС№В в нем СС№= С№В ( С№А№ параллельна АВ, т.к.
С В сред. линия АВС, С№А№ перпендикулярна к СВ, значит
А№ С№А№ является и высотой и медианой, а следовательно
треугольник СС№В равнобедр.) Найдем АВ по т.Пифагора
АВ=
·12І+8І = 4
·13 (см)
С С№=С№В=2
·13 (см)
Ответ: АА№=4
·10 (см), С С№=2
·13 (см)

3. Самостоятельная работа (Учащиеся работают на местах самостоятельно)
1 уровень.
1 вариант
Е и F – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
1 уровень.
2 вариант
М и N – середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
2 уровень.
1 вариант
– точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, E и F – середины сторон AB и BC, OE=4 см, OF=5 см. Найдите периметр ABCD.
Вычислите меди анны треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

2 вариант
АВСD – параллелограмм с периметром 28 см, O – точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки O до середины CD, если расстояние от точки O до середины BC равно 3 см.
Вычислите медианы треугольника со сторонами 13 см, 13 см, 10 см.
Ответы к самостоятельной работе:
1 уровень.
1 вариант
1. EF=7см,
·BEF=72°. (По теореме о средней линии треугольника)
2. рис. АА№=
·13І+5І = 12, ОА№=2:1 АО=8, ОА№= 4, ОВ=
·5І+4І =
·41.
Ответ: ОВ=
·41
А

13 О 13

4
В 5 5 С
2 вариант
1. АВ=16см,
·B=46°. (По теореме о средней линии треугольника)
2. рис. ВВ№=
·10І+8І = 6, ОВ:ОВ№=2:1 АО=8, ОВ№= 2, АО=
·8І+2І =
·68 =2
·17
Ответ: АО=2
·17
В

10 О 10
2
А 8 В№ 8 С
2 уровень
1 вариант
1. рис. EO и OF – средняя линия, АВС ВС=8см, АВ=10см. PABCD=36 см.
Ответ: 36 см.
F
В C

· 5
E 4 O


A D
2. рис. ВВ№=
·25І+7І= 24 см, ОВ№=8 смАО=
·7І+8І =
·113 см, АА№=СС№=1,5
·113 см
Ответ: 24 см,
·113 см, 1,5
·113 см
В


С№ А№
О
8
А С
7 7 2 вариант
1. OM и ON - средняя линия, BCD CD=6 см, BC=2ON
PАВСD= 2(CD+BC)=2(6+2ON)=28, откуда ON=4 см.
Ответ: 4см.
В M C

3
O N

A D

2. рис. ВВ№=
·13І-5І= 12 см, ОВ№=4 см, АО=
·5І+4І =
·41 см, АА№=СС№=1,5
·41 см
Ответ: 12 см,
·41 см, 1,5
·41 см.
В



С№ А№
О

4
А 5 В№ 5 С

Итог урока:
- И так, сегодня мы с вами повторили теорему о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника, решили задачи на применение данных теорем, а так же прошла небольшая самостоятельная работа, после проверки которой, вам будут выставлены соответствующие оценки.


Домашнее задание: п. 62, № 568(а), № 569.










Самостоятельная работа
1 вариант
Е и F – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.

2 вариант
М и N – середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
Е и F – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
М и N – середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
Е и F – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
М и N – середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
Е и F – середины сторон AB и BC треугольника ABC. Найдите EF и угол BEF, если AC=14 см, угол A=72°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.
вариант
М и N – середина сторон AC и CB треугольника ABC. Найдите AB и угол B, если MN=8 см, угол CNM=46°.
В равнобедренном треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС=16 см.










2 уровень.
1 вариант
O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, E и F – середины сторон AB и BC, OE=4 см, OF=5 см. Найдите периметр ABCD.
Вычислите меди анны треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.



2 вариант
АВСD – параллелограмм с периметром 28 см, O – точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки O до середины CD, если расстояние от точки O до середины BC равно 3 см.
Вычислите медианы треугольника со сторонами 13 см, 13 см, 10 см.


3 уровень
1 вариант
В параллелограмме ABCD угол A=30°, AD=16 см, M - середина BC. AM пересекает BD в точке N, CN пересекает AB в точке P, AP=6 см. Найдите площадь параллелограмма.
В треугольнике со сторонами 15 см, 15 см, 24 см найдите расстояние от точки пересечения медиан до сторон треугольника.



2 вариант
В параллелограмме ABCD угол A=60°, AВ=10 см, E - середина CD. BE пересекает AC в точке P, DP пересекает BC в точке K, BK=7 см. Найдите площадь параллелограмма.
Расстояние от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см, 5 см. найдите стороны треугольника.