Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Линейные, квадратные и иррациональные уравнения и неравенства».

Департамент образования, науки и молодежной политики Воронежской области
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области
«Воронежский политехнический техникум»
(ГБПОУ ВО «ВПТ»)
РАССМОТРЕНО
на заседании цикловой комиссии
математических, естественно-научных дисциплин
Протокол от «___»_______ 201___ г.
№ ___ УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора по учебной
работе
_________ Т.И. Агафонова
«____»____________ 20_____ г.
Методическое пособие для самостоятельной работы по разделу «Линейные, квадратные и иррациональные уравнения и неравенства».
по дисциплине Математика
19.02.10 Технология продукции общественного питания
23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта
Разработал: ______преподаватель Л. Н. Ткаченко
Председатель
цикловой комиссии: _________ В.В. Солманова2016 г.
Пояснительная записка
В условиях реализации государственных образовательных стандартов нового поколения внеаудиторная нагрузка является обязательной формой работы для каждого студента и подлежит контролю и оцениванию со стороны преподавателя. Новизна требования образовательных стандартов для студентов состоит в том, чтобы сформировать желание и умение учиться и самосовершенствоваться, развиваться всю жизнь, работать в команде. В основе самостоятельной работы студента должен лежать деятельностный подход. Он заключается в том, что бы учащиеся получали не только готовые знания, но и добывали их сами, осознавая при этом содержание и формы своей учебной деятельности. Данные подходы развивают творческий потенциал личности и способствуют приобретению собственного опыта деятельности, способности адекватного принятия решения в условиях выбора. Вам будут предложены разнообразные формы работы:
работа с источниками информации, с современными средствами коммуникации;
решение познавательных и практических задач, отражающих типичные ситуации;
Методичка содержит основные вопросы теории по изучаемому разделу математики, примеры решения задач, контрольные вопросы по данному разделу для систематизации материала, а также задачи для самостоятельного решения.
Линейные, квадратные и иррациональные уравнения и неравенства.
1. Линейные уравнения и неравенства.
Определение. Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида .
Определение. Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Теоремы об уравнениях.
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
Пример 1.
Решить уравнение .
Решение.
.
Пример 2.
Решить уравнение .
Решение.
Умножив обе части уравнения на 15, получим:

Определение. Линейным неравенством называется неравенство вида или , где и - некоторые числа.
Свойство 1. Если обе части неравенства умножить или разделить на положительное число, получится неравенство, равносильное данному.
Свойство 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, получится неравенство, равносильное данному.
Свойство 3. Если слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, оно изменит свой знак на противоположный.
Пример 4.
Решить неравенство .
Решение.
.
Ответ: .
Пример 5.
Решить неравенство .
Решение.
Умножив обе части неравенства почленно на 12, получим
Ответ: .
Пример 6.
Решить неравенство.
Решение.
12x-11x-6x >4+16 -5x >20 x< -4.
Ответ: x∈ -∞; -4.
Системы линейных уравнений.
Способ подстановки.
Этот способ заключается в том, что из одного уравнения системы выражают какую-либо переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение, в результате чего получают уравнение с одной переменной.
Пример 7.
Решить способом подстановки систему:
Решение.

Ответ:
Способ алгебраического сложения.
Этот способ заключается в том, что оба уравнения умножаются на специально подобранные числа, чтобы коэффициенты при одной и той же переменной в обоих уравнениях оказались противоположными числами, а затем уравнения почленно складываются, в результате получается уравнение с одной переменной.
Пример 8.
Решить способом сложения систему:
Решение.


Ответ:
Контрольные вопросы
Какое уравнение называется линейным?
Что называется корнем уравнения?
Сформулируйте теоремы, на основании которых решаются линейные уравнения.
Перечислите основные свойства неравенств.
Как решаются системы двух линейных уравнений способами подстановки и алгебраического сложения?
Домашнее задание/ задание для самостоятельной работы:
№ 1. Решить линейные уравнения:
1); 2); 3); 4) .
№ 2.Решить линейные неравенства:
А) 1) 3x-4≤2x+5; 2) 8x+7 >2+3x; 3) 10-4x<2x-8 .
Б) 1) 7; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ;
№ 3. Решить системы линейных уравнений с двумя переменными:
1) 2) 3) 4) 7) 8)
2. Квадратные уравнения и неравенства.
Определение. Уравнения, в котором левая часть является многочленом второй степени относительно переменной х, а правая часть равна нулю, называется квадратным уравнением.
Уравнение называется уравнением общего вида.
Определение. Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение .
1.. В этом случае уравнение имеет два различных действительных корня: .
Пример 1. Решить уравнение .
Решение.

, .
2.. В этом случае уравнение имеет один действительный корень: .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение.

.
3. .В этом случае уравнение не имеет действительных корней.
Определение. Квадратное уравнение общего вида называется приведенным, если коэффициент при равен 1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
Пример 3. Найти корни квадратного уравнения .
Решение.
По теореме Виета имеем: . Решая данную систему, получим: .
Неполные квадратные уравнения
Определение. Квадратное уравнение называется неполным, если один их коэффициентов или или оба одновременно равны нулю.
1. , т. е. . В этом случае корни уравнения находят по формуле: .
2. , т. е. . В этом случае корни уравнения находят по формуле: .
3. , т. е. . Корнем такого уравнения является 0.
Дробно-рациональные уравнения.
Определение. Дробно-рациональным уравнением с одной переменной называется уравнение, содержащее переменную в знаменателе дроби.
Пример 4.
Решить уравнение .
Решение.
Умножив все члены уравнения на произведение , приведем уравнение к целому виду. Учитывая, что на нуль делить нельзя, каждый из знаменателей не может быть равен нулю. Таким образом,


Квадратные неравенства
Квадратный трехчлен, имеющий действительные корни, всегда можно разложить на множители по формуле: .
Неравенства второй степени (и выше), левая часть которых разложена на множители, можно решать методом промежутков. Для этого корни квадратного трехчлена отмечают на числовой прямой точками, тем самым разбивая прямую на промежутки. Определяя знак квадратного трехчлена на каждом промежутке, выбираем промежутки со знаками, удовлетворяющими знаку неравенства. Выбранные промежутки записываем в ответ. Для разложения частей неравенства на множители полезно вспомнить формулы сокращенного умножения:
a2±2ab+b2=a±b2;
a2-b2=a-ba+b;
a3±b3=a±ba2∓ab+b2;
a3±3a2b+3ab2±b3=a±b3.Место для формулы.Пример 1. Решить методом промежутков неравенство .
Решение.
Приравняем левую часть неравенства к нулю и, решив уравнение, получим корни квадратного трехчлена: , . Отметим на числовой прямой точки, соответствующие найденным корням. В результате получим три промежутка: . Определим знак квадратного трехчлена на каждом промежутке. Для этого из каждого промежутка произвольным образом выберем число и, подставив его вместо переменной, вычислим значение квадратного трехчлена. Например, из первого промежутка возьмем число (-2), из второго – (-0,5), а из третьего – (1). Подставляя их поочередно в левую часть примера, получим:
1) ;
2) ;
3) .
В первом и третьем промежутках полученные числовые значения больше нуля, а во втором – меньше.
В ответ выпишем промежутки, на которых знак числового значения совпадет со знаком неравенства, т. е. второй промежуток.
Ответ: .
Пример 2. Решить методом промежутков неравенство .
Решение.
Из первого множителя получаем , из второго , из третьего . Отметив эти числа на числовой прямой, получим четыре промежутка: ; ; ; . Найдем значение левой части неравенства на каждом промежутке.
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
В первом и третьем промежутках полученные числовые значения меньше нуля, а во втором и четвертом – больше.
В ответ выпишем промежутки, на которых знак числового значения совпадет со знаком неравенства, т. е. второй и четвертый промежутки.
Ответ: .
Иррациональные уравнения.
Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.
Алгоритм решения иррациональных уравнений
1. Обе части уравнения возводят в степень, равную показателю корня, чтобы избавиться таким образом от знака радикала.
2. Решают полученное уравнение по общим правилам.
3. Делают проверку корней, чтобы удалить посторонние корни.
Определение. Корень называется посторонним, если он является корнем уравнения, полученного в результате преобразований, но не является корнем исходного уравнения.
Примеры решения
Пример 1
Решить уравнение .
Решение
Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что
,
т. е. х = 3 или х = -3.
Проверим, являются ли полученные числа корнями уравнения. При подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства
и .
Следовательно, числа 3 и -3 являются корнями уравнения.
Ответ: 3; -3.
Пример 2.
Решить уравнение .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат и получим
.
После преобразования получим уравнение
,
корни которого х = 1 и х = 4.
Выполним проверку. Подставим в уравнение число 4. Получим
,
т. е. 2 = 2, следовательно, число 4 является корнем нашего уравнения. Проверим второй корень, подставив в уравнение число 1.
При такой подстановке получаем в правой части -1, а в левой 1. Следовательно, число 1 не является корнем уравнения.
Ответ: 4.
Пример 3.
Решить уравнение .
Решение
При возведении обеих частей уравнения в квадрат, получим
.
Корнями этого уравнения будут числа 2 и -1. При подстановке числа 2 получим
,
а при подстановке числа -1
.
В первом случае получили верное равенство, а во втором – нет. Следовательно, число 2 является корнем уравнения, а число –1 ― нет.
Ответ: 2.
Пример 4.
Решить уравнение .
Решение
Возведем обе части уравнения в квадрат, т. е. х - 6= 4 – х. Корнем этого уравнения будет х = 5, однако при подстановке числа 5 в исходное уравнение получим
,
или
,
что противоречит определению квадратного корня.
Ответ: нет решения.
Пример 5.
Решить уравнение .
Решение
По определению корня выражение х - 8 не может принимать отрицательные значения. Поэтому рассмотрим систему

решая первое уравнение системы получим корни 11 и 6, но условие выполняется только для х = 11. Поэтому данное уравнение имеет только один корень.
Контрольные вопросы
Определение иррационального уравнения.
Алгоритм решения иррациональных уравнений.
Правила решения квадратных уравнений и уравнений, приводимых к квадратным.
Формулы сокращенного умножения.
Какое уравнение называется квадратным? Приведенным квадратным?
Какое выражение называется дискриминантом?
Как по дискриминанту определить количество корней квадратного уравнения?
Перечислите виды неполных квадратных уравнений и способы их решения.
Сформулируйте теорему Виета.
По какой формуле квадратный трехчлен раскладывается на множители?
В чем заключается суть метода промежутков при решении неравенства?
Домашнее задание/ задание зля самостоятельной работы:

№ 1. Решить квадратные уравнения:
1); 2) ; 3) ; 4) .
№ 2. Решить квадратные неравенства:
1) ; 2) 3) ; 4)
5) ; 6) 7) 8) .
№ 3. Решить неравенства методом интервалов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) . № 4. Решить иррациональные уравнения:
1); 2) ; 3) ; 4) ; 4) ; 5) ; 6) ; 8)=;
9) ; 10) .