Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ
Уравнения содержащие знак модуля
І. Уравнения вида fx=a(1)
Если a<0, то уравнение (1) корней не имеет.
Если a≥0, то fx=a⟺fx=a,fx=-a.(2)
Пример 1. Решить уравнение:x2+2x-8=7.Решение: x2+2x-8=7,x2+2x-8=-7.⇔x2+2x-15=0,x2+2x-1=0.⇔x1,2=-5;3;x3,4=-1±2.Ответ: -5;3;-1±2.
ІІ.Уравнения вида fx=g(x)(3)
Укажем два способа решений этих уравнений.
fx=g(x)⇔gx≥0,fx=gx,fx=-gx.или f(x)≥0,fx=gx,fx<0fx=-gx(4)
(3)⟺(4).
Пример 2. Решить уравнение: 2x-1=x.
Решение: x≥0,2x-1=x,2x-1=-x.⇔x=1,x=13.Ответ: 13;1.
ІІІ. Уравнения вида fx=|g(x)|(5)
Укажем два способа решений этих уравнений.
fx=|g(x)|⇔fx=g(x),fx=-g(x).(6)
или fx=|g(x)|⟺f2x=g2x⇔f2x-g2x=0.
Пример 3. Решить уравнение: cosx2=sinx2.Решение: cosx2=sinx2⟺cosx22=sinx22⟺cosx22-sinx22=0,
cosx=0⇔x=π2+πn,n∈Z.
Ответ: x=π2+πn,n∈Z.
IV. Уравнения вида f1x+f2x+…+fnx= g(x) (7)
Решение уравнения такого вида основано на определение модуля. Для каждой fix,(i=2,…,n) функций находят область определения, ее нули и точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают область определения функций fix,(i=2,…,n) на промежутки, в каждом из которых каждая из ее функций fix сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждого из найденных промежутков получим уравнение, подлежащее решению.
Пример 4. Решить уравнение: x-5+3x-x2=75-xРешение:
x-5+3x-x2=75-x⟺x-5+x2-3x=75-x-∞<x≤0,-x-5+-3x+x2=75-x0<x≤3,-x-5+3x-x2=75-x3<x≤5,-x-5+-3x+x2=75-x5<x<+∞,x-5+-3x+x2=75-x⟺-∞<x≤0,x2-3x-70=0;0<x≤3,x2-3x+70=0;3<x≤5,x2-3x-70=0;5<x<+∞,x2-3x-80=0.-∞<x≤0,x1=-7,x2=10;0<x≤3,⦰;3<x≤5,⦰;5<x<+∞,x1=1-3212,x2=1+3212.⟺x=-7,x=1+3212.Ответ: -7;1+3212.V. Сведение к неравенству.
fx=fx, fx=-fxfx=fx⟺fx≥0;fx=-fx⟺fx≤0.
Пример 5. Решить уравнение: x-12x2+5x+2=1-x2x2+5x+2.Решение: x-12x2+5x+2≤0;
Ответ: (-∞;-2)∪(-0,5;1].
VI. Уравнения, решаемые с помощью свойств модуля
Пример 6. Решить уравнение:x2+x-4=x2-3+x-1.Решение: Заметим, что x2-3+x-1=x2+x-4. Введем обозначения a=x2-3, b=x-1 и получим следующее свойство модуля:
a+b=a+b⟺a·b≥0. Поэтому, данное уравнение равносильно неравенству x2-3·x-1≥0. Это неравенство решаем методом интервалов.
Ответ: [-3;1]∪3;+∞.Неравенства содержащие знак модуля
Неравенство вида fx≤a, fx≥a;fx<a;fx>a.
1.fx≤a.
Если a<0, то неравенство решений не имеет.
Если a≥0, то fx≤a ⟺-a≤f(x)≤a⇔fx≥-a,fx≤a.или
fx≤a ⟺f2x≤a2⇔f2x-a2≤0.
2.fx≥a.
Если a<0, то fx≥a⇔x∈D(f).
Если a≥0, то fx≥a ⟺fx≥a,fx≤-a.или fx≥a⇔f2x-a2≥0.
Неравенства вида fx≤gx;fx≥gx;fx<g(x); fx>gx.
1. fx≥gx1-способ. fx≥g(x)⟺fx≥0,fx≥gx;fx<0,fx≤-gx. 2-способ.fx≥ gx⟺fx≥gx,fx≤-gx.3-способ. fx≥ gx⇔gx≥0,f2x-g2(x)≥0;gx<0,x∈D(f).Пример2.1. Решить неравенство: |x5+x2-3x+4|≥x5+x2-3x.
Решение:
x5+x2-3x+4≥x5-x2+3x,x5+x2-3x+4≤-x5+x2-3x⟺x2-3x+2≥0,x5+2≤0.⟺x∈-∞;1U[2;+∞),x≤-52.⟺-∞;1U2;+∞.Ответ: -∞;1U2;+∞.2. fx≤gxfx≤g(x)⟺fx≥0,fx≤gx;fx<0,fx≥-gx.или fx≤gx⟺fx≤gx,fx≥-gx.или fx≤gx⟺f2x-g2x≤0,gx≥0.3. fx<g(x)fx<gx⟺fx≥0,fx<gx;fx<0,fx>-gx.или fx<gx⟺fx<gx,fx>-gx.или fx<gx⟺gx≤0,x∈∅;gx>0,f2x-g2x<0.Пример2.3. Решить неравенство: x-1<1-4x-x2Решение:
x-1>1-4x-x2x-1<x2+4x-1⟺x2+5x-2<0x2+3x<0⇔xϵ-5+332;-5-332,xϵ(-3;0).⇔-5+332<-3, -5-332>0 поэтому, решением неравенства:-3;0.Ответ: -3;0.
4. fx>gxfx>g(x)⟺fx≥0,fx>gx;fx<0,fx<-gx.или fx> gx⟺fx>gx,fx<-gx.или fx> gx⇔gx≥0,f2x-g2(x)>0;gx<0,x∈D(f).Неравенство вида fx≤gxfx≤gx⇔f2x-g2x≤0.
Неравенство вида f1x+f2x+…+fnx≤ g(x)При решении неравенств этого вида используется тот же прием, что при решении уравнений (7).
Пример 4. Решить неравенство: x2-2x+|x-1|≤x2.
Решение: Решаем совокупность четырех систем неравенств:

x≤0,x2-2x-x+1≤x2,0<x≤1,-x2+2x-x+1-x2≤01<x≤2,-x2+2x+x-1≤x2,x>2,x2-2x+x-1-x2≤0,⟺x≤0,x≥13;0<x≤1,2x2-x-1≥01<x≤2,2x2-3x+1≥0,x>2,x≥-1,Решение неравенства: [1;+∞).
Ответ: [1;+∞).
Решение неравенств с модулями методом интервалов.
Пример5. Решить неравенство: 1-x2-32x2-x-1≤0.Решение: Данное неравенство решим двумя способами.
1-способ. Решаем методом интервалов. Пусть fx=1-x2-32x2-x-1. Находим нули и точки разрыва: x3-3=1⇔x1=2; x2=-2; x3=2;x4=-2. 2x2-x=1⇔x5=-12, x6=1.
Отмечаем на числовой прямой полученные точки и определяем знак fx на промежутках.

Ответ:-∞;-2U-2;-12U1;2U2;∞.2-способ. 1-x2-32x2-x-1≤0⇔1-(x2-3)2(2x2-x)2-1≤0⇔4-x2(x2-2)2x2-x-1)(2x2-x+1≤0⇔ x-2x+2x-2(x+2)2x-1x+12(2x2-x+1)≥0⇔x∈-∞;-2U-2;-12U1;2U2;∞.Задания для самостоятельного выполнения.
Решить уравнения.
x2-2x=x-2.x-4+x2-12x+36x-5=|x-2|.x-1=(x-1)2-6.sinx+cosx=cosx+sinx.x2+x-2=x+x2-2.log2x-4-2+log4x-2-2=log2x-4-log4x-2.
x4+x3-6x2=x4+x3-6x2.x2+x·sinx=sinx·|x2+x|.
Решить неравенства.
9. x2+3x-4+x2≤3x-4.
10. x-1<1-4x-x2.
Ответы:
1) x=2. 2) x=5,5. 3)-2;4. 4)2πn;2πn+π2U5π4+2πn, nϵZ. 5)-∞;-3U0U2;+∞. 6) [8;18]. 7)-∞;-2U0U2;+∞.8)-1U2kπ, π+2kπ,kϵZ. 9) [-4;1]. 10) (-3;0).